Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

7. Utilice el ejercicio anterior para probar que toda funcióncontinua definida de R en R aplica intervalos en intervalos.8. Dé un ejemplo de una función definida de R en R queaplique intervalos en intervalos y no sea una función continua.9. Sea f : X −→ Y una función continua. Determine cuálesde las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu”ales sonfalsas, justificando en cada caso su respuesta con una demostracióno un contraejemplo.a) Si A ⊂ X y x ∈ A, entonces f(x) ∈ f(A).b) Si A ⊂ X y x ∈ A ◦ , entonces f(x) ∈ f(A) ◦ .c) Si A ⊂ X y x ∈ A ′ , entonces f(x) ∈ (f(A)) ′ .10. Sean X un espacio topológico y (x n ) n∈N una sucesión en X(formalmente, una sucesión en X es una función de N enX). Decimos que (x n ) n∈N converge a un punto x ∈ X si ysólo si para toda vecindad V de x existe N ∈ N tal quex n ∈ V para cada n ≥ N.a) Demuestre que la sucesión(1 − 1 )nn∈Nconverge a 1 enR con la topología usual; pero que no converge si sobreR consideramos la topología generada por los intervalosde la forma (a, b].b) Demuestre que si X y Y son espacios métricos, entoncesuna función f : X −→ Y es continua si y sólo si paracada sucesión (x n ) n∈N que converge a un punto x ∈ X,la sucesión (f(x n )) n∈N converge a f(x) en Y .153