Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X es unorden total si para cada par x, y de elementos de X se tieneexactamente una de las situaciones x = y, x < y o y < x. Eneste caso decimos que el conjunto X está totalmente ordenado.Ejercicios0.8. CardinalidadDecimos que dos conjuntos X y Y son equipotentes si existe unafunción biyectiva de X en Y . Afirmamos que existen conjuntosque se llaman números cardinales, de tal manera que cadaconjunto X es equipotente con exactamente un número cardinalque se denota por |X| y recibe el nombre de cardinal de X.Si A y B son números cardinales, decimos que A ≤ B si y sólosi existe una función uno a uno definida de X en Y . La relación≤ es un orden parcial sobre el conjunto de números cardinales.Los siguientes hechos son evidentes:1. |X| = |Y | si y sólo si X y Y son equipotentes.2. |X| ≤ |Y | si y sólo si X es equipotente con algún subconjuntode Y .Veamos ahora algunos números cardinales. El conjunto vacío esel cardinal 0 y el conjunto {0, ..., n − 1} es el cardinal n. Unconjunto X es enumerable si y sólo si X es equipotente con elconjunto N de los números naturales. En este caso escibimos13
|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente con el conjunto R de los númerosreales, escribimos |X| = c. Un conjunto X es contable si esenumerable o su cardinal es n para algún n = 0, 1, ..., esto es, Xes contable si es enumerable o es finito.Con frecuencia utilizaremos los siguientes hechos:1. n < ℵ 0 < c para todo n = 0, 1, ....2. La unión de cualquier colección contable de conjuntos contableses contable.3. El producto de dos conjuntos contables es un conjunto contable4. El conjunto Q de los números racionales es contable.Finalizamos esta breve introducción a la teoría de conjuntosenunciando un axioma aceptado por la gran mayoría de matemáticos.Axioma de Elección. Dada una colección A de conjuntos novacíos disyuntos dos a dos, existe un conjunto C que tiene exactamenteun elemento en común con cada elemento de A.El Axioma de Elección nos dice que cuando tenemos una colecciónde conjuntos no vacíos, nos es posible construir un nuevoconjunto escogiendo un elemento de cada conjunto de la colección.Ejercicios14
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente con el conjunto R <strong>de</strong> los númerosreales, escribimos |X| = c. Un conjunto X es contable si esenumerable o su cardinal es n para algún n = 0, 1, ..., esto es, Xes contable si es enumerable o es finito.Con frecuencia utilizaremos los siguientes hechos:1. n < ℵ 0 < c para todo n = 0, 1, ....2. La unión <strong>de</strong> cualquier colección contable <strong>de</strong> conjuntos contableses contable.3. El producto <strong>de</strong> dos conjuntos contables es un conjunto contable4. El conjunto Q <strong>de</strong> los números racionales es contable.Finalizamos esta breve introducción a la teoría <strong>de</strong> conjuntosenunciando un axioma aceptado por la gran mayoría <strong>de</strong> matemáticos.Axioma <strong>de</strong> Elección. Dada una colección A <strong>de</strong> conjuntos novacíos disyuntos dos a dos, existe un conjunto C que tiene exactamenteun elemento en común con cada elemento <strong>de</strong> A.El Axioma <strong>de</strong> Elección nos dice que cuando tenemos una colección<strong>de</strong> conjuntos no vacíos, nos es posible construir un nuevoconjunto escogiendo un elemento <strong>de</strong> cada conjunto <strong>de</strong> la colección.Ejercicios14
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