Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 2.41. Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R soncerrados justificando completamente su respuesta.a) [−1, 1).b) [1, ∞).{ } 1c)n : n ∈ N .{ } 1d)n : n ∈ N ∪ {0}.e) Z.f ) Q.g) R Z.h) R Q.2. Pruebe que en cualquier espacio métrico (X, d), cada bolacerrada B[x, ɛ] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ ɛ} es un conjuntocerrado.3. Sean τ 1 y τ 2 dos topologías definidas sobre un mismo conjuntoX. Si τ 1 es más fina que τ 2 , ¿qué relación hay entre lacolección de conjuntos cerrados de (X, τ 1 ) y la colección deconjuntos cerrados de (X, τ 2 )? Como es natural, justifiquecuidadosamente su respuesta.4. Sean X y Y espacios topológicos. Una función f : X −→ Yes cerrada si aplica conjuntos cerrados en conjuntos cerrados.Esto es, si para cada K cerrado en X se tiene que f(K)es cerrado en Y .142