Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X es unorden total si para cada par x, y de elementos de X se tieneexactamente una de las situaciones x = y, x < y o y < x. Eneste caso decimos que el conjunto X está totalmente ordenado.Ejercicios0.8. CardinalidadDecimos que dos conjuntos X y Y son equipotentes si existe unafunción biyectiva de X en Y . Afirmamos que existen conjuntosque se llaman números cardinales, de tal manera que cadaconjunto X es equipotente con exactamente un número cardinalque se denota por |X| y recibe el nombre de cardinal de X.Si A y B son números cardinales, decimos que A ≤ B si y sólosi existe una función uno a uno definida de X en Y . La relación≤ es un orden parcial sobre el conjunto de números cardinales.Los siguientes hechos son evidentes:1. |X| = |Y | si y sólo si X y Y son equipotentes.2. |X| ≤ |Y | si y sólo si X es equipotente con algún subconjuntode Y .Veamos ahora algunos números cardinales. El conjunto vacío esel cardinal 0 y el conjunto {0, ..., n − 1} es el cardinal n. Unconjunto X es enumerable si y sólo si X es equipotente con elconjunto N de los números naturales. En este caso escibimos13
|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente con el conjunto R de los númerosreales, escribimos |X| = c. Un conjunto X es contable si esenumerable o su cardinal es n para algún n = 0, 1, ..., esto es, Xes contable si es enumerable o es finito.Con frecuencia utilizaremos los siguientes hechos:1. n < ℵ 0 < c para todo n = 0, 1, ....2. La unión de cualquier colección contable de conjuntos contableses contable.3. El producto de dos conjuntos contables es un conjunto contable4. El conjunto Q de los números racionales es contable.Finalizamos esta breve introducción a la teoría de conjuntosenunciando un axioma aceptado por la gran mayoría de matemáticos.Axioma de Elección. Dada una colección A de conjuntos novacíos disyuntos dos a dos, existe un conjunto C que tiene exactamenteun elemento en común con cada elemento de A.El Axioma de Elección nos dice que cuando tenemos una colecciónde conjuntos no vacíos, nos es posible construir un nuevoconjunto escogiendo un elemento de cada conjunto de la colección.Ejercicios14
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Page 32 and 33: 3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Page 36 and 37: 2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
Page 38 and 39: 3. Si A es una familia de conjuntos
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Page 42 and 43: 3.Para cada punto z del planodefini
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Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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Page 58 and 59: subespacio de X. Esto es, considera
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.61. Explique clarament
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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