Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la colección de todos los intervalos de la forma[a, b) con a y b números reales y a < b es una base para unatopología sobre R.2. Pruebe que la colección de todos los rectángulos abiertos(es decir, sin sus bordes) es una base para una topologíasobre el plano.3. Para ceda entero positivo n, sea S n = {n, n+1, ...}. Muestreque la colección de todos los subconjuntos de N que contienena algún S n es una base para una topología sobreN.4. Sean X un conjunto y S una colección de subconjuntos deX. Sea B la colección de todas las intersecciones finitas deelementos de S.a) Demuestre que la unión de la colección B es X. (Sugerencia:Considere la intersección de una familia vacíade elementos de S.)b) Pruebe que si A y B pertenecen a B y si x ∈ A ∩ B,entonces existe C ∈ B tal que x ∈ C y C ⊂ A ∩ B.Se ha demostrado que B es una base para una topologíasobre X. La colección S es una sub-base para la topología,que genera la base B. Los elementos de S se dicen ser subbásicos.5. Considere la colección S de conjuntos de la forma (−∞, a)junto con los conjuntos de la forma (b, ∞). Esta colecciónes una sub-base para una topología sobre R.137
a) Describa la base B generada por S.b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.6. Considere la colección S de todas las lineas rectas en elplano.a) Describa la base B generada por S.b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.7. Sea X un conjunto y B una base para una topología sobreX. Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones:a) El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ Bes un conjunto abierto en X.c) La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos enX es un conjunto abierto en X.Regresar138
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- Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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a) Describa la base B generada por S.b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.6. Consi<strong>de</strong>re la colección S <strong>de</strong> todas las lineas rectas en elplano.a) Describa la base B generada por S.b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.7. Sea X un conjunto y B una base para una topología sobreX. Demuestre cada una <strong>de</strong> las siguientes afirmaciones:a) El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ Bes un conjunto abierto en X.c) La unión <strong>de</strong> cualquier familia <strong>de</strong> conjuntos abiertos enX es un conjunto abierto en X.Regresar138
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