Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X tiene la métrica discreta y Y es un espaciométrico cualquiera, entonces cualquier función definidade X en Y es continua. ¿Qué ocurre si Y es un espacioseudométrico?2. Demuestre que si X es un espacio métrico cualquiera y Ytiene la seudométrica definida por d(w, z) = 0 para todo w ytodo z en Y , entonces cualquier función definida de X en Yes continua. ¿Qué ocurre si X es un espacio seudométrico?3. De un ejemplo de dos métricas d 1 y d 2 , definidas sobre unmismo conjunto X, de tal manera que la función idénticade (X, d 1 ) en (X, d 2 ) no resulte continua.4. Suponga que d 1 y d 2 son dos métricas definidas sobre unmismo conjunto X. Si toda función definida de (X, d 1 ) en(X, d 2 ) es continua, ¿qué puede afirmar con seguridad ded 1 y d 2 ? Demuestre su conjetura.5. Dos espacios métricos (X, d) y (Y, m) son isométricos siexiste una función biyectiva f : X −→ Y tal qued(x 1 , x 2 ) = m(f(x 1 ), f(x 2 ))para cada x 1 y cada x 2 en X. La función f se llama unaisometría.a) Pruebe que si f : X −→ Y es una isometría, entoncesf y f −1 son funciones continuas.b) Pruebe que el intervalo [0, 1] es isométrico a cualquierotro intervalo cerrado de R de la misma longitud.133
c) Pruebe que si R y R 2 tienen cada uno su métrica usual,endtonces no son isométricos.d) Pruebe que si X y Y tienen cada uno la métrica discretaentonces X y Y son isométricos si y sólo si tienen lamisma cardinalidad.e) Defina una métrica en el intervalo abierto (0, 1), de talmanera que el espacio métrico resultante sea isométricoa R con la mérica usual.Regresar134
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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