Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
g) En el conjunto C(I) de todas las funciones continuasdefinidas del intervalo I = [0, 1] en R, la función ρ :C(I) × C(I) −→ R definida por ρ(f, g) = ∫ 10 |f(x) −g(x)|dx.h) En cualquier conjunto contable X = {x 1 , x 2 , ...}, lafunción d : X × X −→ R definida por⎧⎨1 + 1 si i ≠ jd(x i , x j ) = i + j⎩0 si i = j.2. Demuestre que las funciones definidas a continuación sonseudométricas sobre los conjuntos dados.a) En un conjunto X, la función ρ : X ×X −→ R definidapor ρ(x, y) = 0.b) Sea x 0 ∈ [0, 1]. En C(I), la función η : C(I)×C(I) −→R definida por η(f, g) = |f(x 0 − g(x 0 )|.3. Sean (X, d) y (Y, m) dos espacios métricos. ¿Es la funciónρ : (X × Y ) × (X × Y ) −→ X × Y , definida porρ((x 1 , x 1 ), (x 2 , y 2 )) = máx{d(x 1 , x 2 ), m(y 1 , y 2 )}, una métricasobre X × Y ?4. Sea ρ una seudométrica definida sobre un conjunto X. Definimosla relación ∼ sobre X por x ∼ y sii ρ(x, y) = 0.a) Pruebe que ∼ es una relación de equivalencia sobre X.b) Sea X/∼ el conjunto de todas las clases deequivalenciadeterminadas por ∼. Demuestre que la función d :X/∼ × X/∼ −→ R definida por d([x], [y]) = ρ(x, y) esuna métrica sobre X/∼.131
Regresar132
- Page 82 and 83: 4.4. Estructuras finales - Topolog
- Page 84 and 85: De manera recíproca, Si O es un su
- Page 86 and 87: clase de equivalencia de un punto (
- Page 88 and 89: 2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
- Page 90 and 91: 5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
- Page 92 and 93: 5.1.3 Definición. Un espacio topol
- Page 94 and 95: como el radio de las vecindades esc
- Page 96 and 97: K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
- Page 98 and 99: 1. Sea X un conjunto dotado con la
- Page 100 and 101: Ejercicios5.4. Espacios completamen
- Page 102 and 103: menos que cada conjunto unitario en
- Page 104 and 105: tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
- Page 106 and 107: 5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
- Page 108 and 109: 1. El conjunto U 1 es un conjunto a
- Page 110 and 111: 5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
- Page 112 and 113: cada i = 1, ..., N, escogemos una v
- Page 114 and 115: En los espacios 1-enumerables, las
- Page 116 and 117: 3. Cualquier subespacio de un espac
- Page 118 and 119: c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
- Page 120 and 121: d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
- Page 122 and 123: Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
- Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
- Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
- Page 130 and 131: Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
- Page 134 and 135: Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
- Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
- Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
- Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
- Page 144 and 145: a) Sean τ la topología usual sobr
- Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
- Page 148 and 149: Ejercicios 2.61. Explique clarament
- Page 150 and 151: Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
- Page 152 and 153: Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
- Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
- Page 156 and 157: Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
- Page 158 and 159: Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
- Page 160 and 161: Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
- Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
- Page 164 and 165: Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
- Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
- Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
- Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
- Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
- Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
Regresar132