Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

g) En el conjunto C(I) de todas las funciones continuasdefinidas del intervalo I = [0, 1] en R, la función ρ :C(I) × C(I) −→ R definida por ρ(f, g) = ∫ 10 |f(x) −g(x)|dx.h) En cualquier conjunto contable X = {x 1 , x 2 , ...}, lafunción d : X × X −→ R definida por⎧⎨1 + 1 si i ≠ jd(x i , x j ) = i + j⎩0 si i = j.2. Demuestre que las funciones definidas a continuación sonseudométricas sobre los conjuntos dados.a) En un conjunto X, la función ρ : X ×X −→ R definidapor ρ(x, y) = 0.b) Sea x 0 ∈ [0, 1]. En C(I), la función η : C(I)×C(I) −→R definida por η(f, g) = |f(x 0 − g(x 0 )|.3. Sean (X, d) y (Y, m) dos espacios métricos. ¿Es la funciónρ : (X × Y ) × (X × Y ) −→ X × Y , definida porρ((x 1 , x 1 ), (x 2 , y 2 )) = máx{d(x 1 , x 2 ), m(y 1 , y 2 )}, una métricasobre X × Y ?4. Sea ρ una seudométrica definida sobre un conjunto X. Definimosla relación ∼ sobre X por x ∼ y sii ρ(x, y) = 0.a) Pruebe que ∼ es una relación de equivalencia sobre X.b) Sea X/∼ el conjunto de todas las clases deequivalenciadeterminadas por ∼. Demuestre que la función d :X/∼ × X/∼ −→ R definida por d([x], [y]) = ρ(x, y) esuna métrica sobre X/∼.131