Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

1. (Reflexividad) x ∼ x para todo x ∈ X.2. (Simetría) Si x ∼ y, entonces y ∼ x.3. (Transitividad) Si x ∼ y y y ∼ z, entonces x ∼ z.Dada una relación de equivalencia ∼ sobre un conjunto X y unelemento x ∈ X definimos la clase de equivalencia de x como elconjunto [x] = {y ∈ X : x ∼ y}. De la definición se obtiene quex ∈ [x] para cada x ∈ X lo cual significa que ⋃ x∈X [x] = X ytambién que dadas dos clases de equivalencia [x] y [y], se tieneque [x] = [y] o [x]∩[y] = ∅. Expresamos estos dos hechos diciendoque la relación ∼ induce una partición de X.Formalmente, una partición de un conjunto X es una colecciónde subconjuntos disyuntos de X cuya unión es X.Una relación de orden parcial sobre un conjunto X es una relación≤ en X que satisface las siguientes propiedades:1. (Reflexividad) x ≤ x para todo x ∈ X.2. (Antisimetría) Si x ≤ y y y ≤ x, entonces x = y.3. (Transitividad) Si x ≤ y y y ≤ z, entonces x ≤ z.Si ≤ es una relación de orden parcial sobre un conjunto X existeuna relación < sobre X definida por x < y si x ≤ y y x ≠ y.La relación < no es reflexiva pero si transitiva. Una relacióntransitiva < sobre un conjunto X que además tenga la propiedadde que si x < y entonces x ≠ y se llama un orden estricto.Entonces cada relación de orden parcial determina un ordenestricto y, recíprocamente, un orden estricto < determina unorden parcial ≤ definido por x ≤ y si x < y o x = y.12