Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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e) Dé un contraejemplo que muestre que no siempre setiene que B ⊂ f(f −1 (B)).f )¿Bajo qué condiciones es cierta la igualdad B = f(f −1 (B))?12. Consideremos f : X −→ Y y g : Y −→ Z dos funciones.Demuestre las siguientes afirmaciones:a) Si M ⊂ Z,entonces (g ◦ f) −1 (M) = f −1 (g −1 (M)).b) Si f y g son uno a uno, también lo es g ◦ f.c) Si f y g son sobreyectivas, también lo es g ◦ f.d) Si g ◦ f es uno a uno, entonces f es uno a uno pero gpodría no serlo.e) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva perof podría no serlo.Regresar123
Ejercicios 0.61. Sea (X i ) i∈I una familia de conjuntos. Muestre que si X i = ∅para algún i ∈ I entonces ∏ i∈I X i = ∅.2. Muestre que si n > 1 y X 1 , ..., X n son conjuntos, entoncesexiste una función biyectiva definida del conjunto X 1 ×...×X n en el conjunto (X 1 × ... × X n−1 ) × X n .3. Muestre que si (X i ) i∈I una familia de conjuntos y si J yK son subconjuntos de I no vacíos y disyuntos, tales queI = J ∪ K, entonces existe una función biyectiva definidadel producto ∏ i∈I X i en el conjunto ( ∏ j∈J X j)×( ∏ k∈K X k)en el conjunto.4. Con frecuencia se denota al conjunto R N con el símbolo R ω .Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R ω sepueden expresar como producto cartesiano de subconjuntosde R.a) {x : x n ∈ Z para todo n}.b) {x : x n ≥ n para todo n}.c) {x : x n = x n+1 para todo n primo}.d) {x : x n ∈ Z para todo n ≥ 1000}.5. Sean (X i ) i∈I y (Y i ) i∈I dos familias de conjuntos. Determinecuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuálesson falsas. En cada caso dé una demostración o un contraejemploindicando además si por lo menos es cierta unacontenencia.∏a)i∈I (X i Y i ) = ∏ i∈I X i ∏ i∈I Y i.124
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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