Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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3. Cualquier subespacio de un espacio 2-enumerable es 2-enumerable.4. El producto de cualquier colección enumerable de espacios2-enumerables es 2-enumerable.Terminamos esta sección estudiando los espacios separables.Antes de abordar la definición, recordemos que un subconjuntoA de un espacio topológico X es denso en X si A = X.5.7.7 Definición. Un espacio topológico X es separable si contieneun subconjunto denso enumerable.Los números reales con la topología usual son un ejemplo deun espacio separable, pero no todo espacio métrico tiene estapropiedad.De la definición se obtiene que todo espacio X que sea 2-enumerablees separable. En efecto, si (B n ) n∈N es una base para latopología de X y si b n ∈ B n para cada n ∈ N, entonces elconjunto {b n : n ∈ N} es denso en X; porque si x ∈ X y V esuna vecindad de x, existe n ∈ N tal que x ∈ B n y B n ⊂ V .Entonces b n ∈ V .Ejercicios115
Ejercicios 0.1-21. Demuestre con todo detalle cada una de las siguientes afirmaciones:a) A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A.b) A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ para cada conjunto A.c) A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A para todo conjuntoA y todo conjunto B.d) A ∪ B = A si y sólo si B ⊂ A.e) A ∩ B = A si y sólo si A ⊂ B.f )A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.g) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.h) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.i) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.j ) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∪ B) c =A c ∩ B c .k) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∩ B) c =A c ∪ B c .2. Escriba los siguientes conjuntos en términos de uniones eintersecciones de los conjuntos A, B y C.a) {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)}.b) {x : x ∈ A o (x ∈ B y x ∈ C)}.116
- Page 66 and 67: 3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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- Page 74 and 75: La colección B de todas las inters
- Page 76 and 77: 4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
- Page 78 and 79: 4.3.1∏Definición. Definimos la t
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- Page 82 and 83: 4.4. Estructuras finales - Topolog
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- Page 118 and 119: c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
- Page 120 and 121: d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
- Page 122 and 123: Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
- Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
- Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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- Page 132 and 133: g) En el conjunto C(I) de todas las
- Page 134 and 135: Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
- Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
- Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
- Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
- Page 144 and 145: a) Sean τ la topología usual sobr
- Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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- Page 150 and 151: Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
- Page 152 and 153: Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
- Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
- Page 156 and 157: Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
- Page 158 and 159: Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
- Page 160 and 161: Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
- Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
- Page 164 and 165: Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
Ejercicios 0.1-21. Demuestre con todo <strong>de</strong>talle cada una <strong>de</strong> las siguientes afirmaciones:a) A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A.b) A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ para cada conjunto A.c) A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A para todo conjuntoA y todo conjunto B.d) A ∪ B = A si y sólo si B ⊂ A.e) A ∩ B = A si y sólo si A ⊂ B.f )A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.g) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.h) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.i) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.j ) Si A y B son subconjuntos <strong>de</strong> X entonces (A ∪ B) c =A c ∩ B c .k) Si A y B son subconjuntos <strong>de</strong> X entonces (A ∩ B) c =A c ∪ B c .2. Escriba los siguientes conjuntos en términos <strong>de</strong> uniones eintersecciones <strong>de</strong> los conjuntos A, B y C.a) {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)}.b) {x : x ∈ A o (x ∈ B y x ∈ C)}.116
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