Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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cada i = 1, ..., N, escogemos una vecindad abierta U i de x, paracada i = 1, ..., N, tal que si y ∈ U i , entonces |f i (x)−f i (y)|
esultados propios de los espacios métricos. Comenzaremos conel Primer Axioma de Enumerabilidad.5.7.1 Definición. Un espacio topológico X es 1-enumerable sicada punto x ∈ X tiene un sistema fundamental de vecindadesenumerable.5.7.2 Ejemplos.1. Todo espacio métrico (X, d) es 1-enumerable. En efecto,para cada x ∈ X la colección de bolas abiertas de la formaB(x, r), donde r es un número racional positivo, es unsistema fundamental de x enumerable.2. El Plano de Moore es un espacio 1-enumerable.3. El conjunto de los números reales con la topología generadapor los intervalos de la forma (a, b] es un espacio 1-enumerable.4. Cualquier subespacio de un espacio 1-enumerable es 1-enumerable.5. El producto de cualquier colección enumerable de espacios1-enumerables es 1-enumerable.5.7.3 Observación. Nótese que si X es 1-enumerable, si x ∈X, si (B n ) n∈N es un sistema fundamental de vecindades de xenumerable, y si consideramos V 1 = B 1 , V 2 = V 1 ∩ B 1 , V 3 =V 2 ∩ B 2 y de manera inductiva tomamos V n+1 = V n ∩ B n paracada n ∈ N, entonces (V n ) n∈N es un sistema fundamental devecindades de x enumerable que satisface que V n+1 ⊂ V n paracada n ∈ N.112
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esultados propios <strong>de</strong> los espacios métricos. Comenzaremos conel Primer Axioma <strong>de</strong> Enumerabilidad.5.7.1 Definición. Un espacio topológico X es 1-enumerable sicada punto x ∈ X tiene un sistema fundamental <strong>de</strong> vecinda<strong>de</strong>senumerable.5.7.2 Ejemplos.1. Todo espacio métrico (X, d) es 1-enumerable. En efecto,para cada x ∈ X la colección <strong>de</strong> bolas abiertas <strong>de</strong> la formaB(x, r), don<strong>de</strong> r es un número racional positivo, es unsistema fundamental <strong>de</strong> x enumerable.2. El Plano <strong>de</strong> Moore es un espacio 1-enumerable.3. El conjunto <strong>de</strong> los números reales con la topología generadapor los intervalos <strong>de</strong> la forma (a, b] es un espacio 1-enumerable.4. Cualquier subespacio <strong>de</strong> un espacio 1-enumerable es 1-enumerable.5. El producto <strong>de</strong> cualquier colección enumerable <strong>de</strong> espacios1-enumerables es 1-enumerable.5.7.3 Observación. Nótese que si X es 1-enumerable, si x ∈X, si (B n ) n∈N es un sistema fundamental <strong>de</strong> vecinda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> xenumerable, y si consi<strong>de</strong>ramos V 1 = B 1 , V 2 = V 1 ∩ B 1 , V 3 =V 2 ∩ B 2 y <strong>de</strong> manera inductiva tomamos V n+1 = V n ∩ B n paracada n ∈ N, entonces (V n ) n∈N es un sistema fundamental <strong>de</strong>vecinda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> x enumerable que satisface que V n+1 ⊂ V n paracada n ∈ N.112