Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

a) Si f(x) = 1, entonces x /∈ U r para cada racional diádicor. Sea ɛ > 0 y r un racional diádico tal que 1−ɛ < r < 1(tal r existe porque el conjunto de números racionalesdiádicos es denso en [0, 1]). Si y ∈ X U r , entoncesse tiene 1 − ɛ < r ≤ f(y) ≤ 1. Esto demuestra lacontinuidad de f en x.b) Si f(x) = 0, si ɛ > 0 y si r es un racional diádico talque 0 < r < ɛ, entonces x ∈ U r y para cada y ∈ U r setiene que 0 ≤ f(y) ≤ r < ɛ. Entonces f es continua enx.c) Si 0 < f(x) < 1 y si ɛ > 0, existen racionales diádicosr < s, tales que f(x) − ɛ < r < f(x) < s < f(x) + ɛ yx ∈ U s U r . Si y ∈ U s U r , entonces f(x) − ɛ < r