Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore es un espacio que no es normal. Sin embargo,el plano de Moore, por ser un espacio de Tychonoff,es un subespacio de un cubo (ver ejercicio 8. de la sección5.4), que sí es un espacio normal. Entonces, NO todo subespaciode un espacio normal es normal.2. Sea X el conjunto R de números reales con la topología τpara la cual las vecindades básicas de x son los intervalos dela forma [x, y) con y > x. Hemos dicho que X es un espacionormal. Sin embargo, X × X no es normal. Es decir, elproducto de espacios normales NO siempre es un espacionormal.Ejercicios5.6. El Lema de Urysohn y el Teorema deExtensión de TietzeEntre los espacios regulares y los espacios completamente regulareshay una diferencia. En los espacios regulares un conjuntocerrado y un punto fuera del conjunto, se pueden separar utilizandoconjuntos abiertos disyuntos, mientras que en los espacioscompletamente regulares, esta separación se puede hacerpor medio de una función continua definida del espacio en elintervalo cerrado [0, 1]. En esta sección veremos la relación entrela normalidad del espacio X y la existencia de funcionesf : X −→ [0, 1] continuas que separen conjuntos no vacíos,cerrados y disyuntos.105
En los espacios métricos tenemos el siguiente resultado:5.6.1 Proposición. Sea (X, d) un espacio métrico y sean Ay B dos subconjuntos de X no vacíos, cerrados y disyuntos.Existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f(A) = 0,f(B) = 1.Demostración. La función f : X −→ [0, 1] definida por f(x) =d(x, A)es continua y además para cada x ∈ A se tiened(x, A) + d(x, B)d(x, A)que f(x) =d(x, A) + d(x, B) = 0y para cada x ∈ B,0 + d(x, B)d(x, A) d(x, A)se tiene que f(x) ==d(x, A) + d(x, B) d(x, A) + 0 = 1.Nuestros estudios previos, junto con el resultado anterior muestranque en los espacios métricos los conjuntos no vacíos, cerradosy disyuntos se pueden separar utilizando tanto conjuntosabiertos disyuntos, como funciones continuas. El siguiente lemacaracteriza los espacios que gozan de la misma propiedad.5.6.2 Lema. Lema de Urysohn. Un espacio topológico (X, τ)es normal si y sólo si para cada A y B de subconjuntos de Xno vacíos, cerrados y disyuntos, existe una función continua f :X −→ [0, 1] tal que f(A) = 0 y f(B) = 1.Demostración. Supongamos inicialmente que X es normal y queA y B son subconjuntos de X no vacíos, cerrados y disyuntos.Para cada número racional en [0, 1] de la forma p 2 n, donde p yn son números naturales y 0 < p < 2 n , construimos el conjuntoU p2 n de la siguiente manera: 106
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En los espacios métricos tenemos el siguiente resultado:5.6.1 Proposición. Sea (X, d) un espacio métrico y sean Ay B dos subconjuntos <strong>de</strong> X no vacíos, cerrados y disyuntos.Existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f(A) = 0,f(B) = 1.Demostración. La función f : X −→ [0, 1] <strong>de</strong>finida por f(x) =d(x, A)es continua y a<strong>de</strong>más para cada x ∈ A se tiened(x, A) + d(x, B)d(x, A)que f(x) =d(x, A) + d(x, B) = 0y para cada x ∈ B,0 + d(x, B)d(x, A) d(x, A)se tiene que f(x) ==d(x, A) + d(x, B) d(x, A) + 0 = 1.Nuestros estudios previos, junto con el resultado anterior muestranque en los espacios métricos los conjuntos no vacíos, cerradosy disyuntos se pue<strong>de</strong>n separar utilizando tanto conjuntosabiertos disyuntos, como funciones continuas. El siguiente lemacaracteriza los espacios que gozan <strong>de</strong> la misma propiedad.5.6.2 Lema. Lema <strong>de</strong> Urysohn. Un espacio topológico (X, τ)es normal si y sólo si para cada A y B <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> Xno vacíos, cerrados y disyuntos, existe una función continua f :X −→ [0, 1] tal que f(A) = 0 y f(B) = 1.Demostración. Supongamos inicialmente que X es normal y queA y B son subconjuntos <strong>de</strong> X no vacíos, cerrados y disyuntos.Para cada número racional en [0, 1] <strong>de</strong> la forma p 2 n, don<strong>de</strong> p yn son números naturales y 0 < p < 2 n , construimos el conjuntoU p2 n <strong>de</strong> la siguiente manera: 106
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