Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore es un espacio que no es normal. Sin embargo,el plano de Moore, por ser un espacio de Tychonoff,es un subespacio de un cubo (ver ejercicio 8. de la sección5.4), que sí es un espacio normal. Entonces, NO todo subespaciode un espacio normal es normal.2. Sea X el conjunto R de números reales con la topología τpara la cual las vecindades básicas de x son los intervalos dela forma [x, y) con y > x. Hemos dicho que X es un espacionormal. Sin embargo, X × X no es normal. Es decir, elproducto de espacios normales NO siempre es un espacionormal.Ejercicios5.6. El Lema de Urysohn y el Teorema deExtensión de TietzeEntre los espacios regulares y los espacios completamente regulareshay una diferencia. En los espacios regulares un conjuntocerrado y un punto fuera del conjunto, se pueden separar utilizandoconjuntos abiertos disyuntos, mientras que en los espacioscompletamente regulares, esta separación se puede hacerpor medio de una función continua definida del espacio en elintervalo cerrado [0, 1]. En esta sección veremos la relación entrela normalidad del espacio X y la existencia de funcionesf : X −→ [0, 1] continuas que separen conjuntos no vacíos,cerrados y disyuntos.105