Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El conjunto U = ⋃ a∈A B(a, ɛ a3 ) esabierto y contiene a A y el conjunto V = ⋃ b∈B B(b, δ b3 ) esabierto y contiene a B. Ahora bien, si z ∈ U ∩ V entoncesexisten a ∈ A y b ∈ B de tal manera que d(a, z) < ɛ a3 yd(z, b) < δ b3 . Supongamos que ɛ a ≥ δ b (en caso contrario, elrazonamiento es análogo). Se tiene que d(a, b) ≤ ɛ a3 + δ b3 x. El espacio (R, τ) es normal.5. Cualquier producto de intervalos cerrados y acotados en Rse llama un cubo. En un capítulo posterior veremos quetodo cubo es un espacio normal.Si un espacio normal no es T 1 , es posible que no se puedan separarpuntos de conjuntos cerrados. En otras palabras, un espacionormal puede no ser un espacio regular.103
5.5.3 Ejemplo.Vimos que R con la topología de colas a derecha es un espacionormal. Por otro lado, si x 0 ∈ R, entonces todo conjunto abiertoque contenga al conjunto cerrado (−∞, x 0 − 1] contiene tambiéna x 0 . Esto muestra que el espacio no es regular.El siguiente lema debido a F. B. Jones permite determinar queciertos espacios carecen de la propiedad de normalidad.5.5.4 Lema. (Jones) Si X contiene un subconjunto denso D yun subespacio cerrado y relativamente discreto S tal que |S| >2 |D| , entonces X no es normal.5.5.5 Observación.1. Un subespacio S de X es relativamente discreto si la topologíaque hereda de X es la topología discreta.2. Si A es un conjunto, denotamos con |A| el cardinal de A.5.5.6 Ejemplo.El Plano de Moore, Γ, no es un espacio normal. Sean D ={(x, y) ∈ Γ : x, y ∈ Q} y S el eje x. Se tiene que D es densoen Γ, S es cerrado y relativamente discreto, |S| = c y D es unconjunto contable. Entonces |S| > 2 |D| .Los espacios normales no poseen, en general, las propiedades quemencionamos para espacios con otras propiedades de separación,como lo muestran los siguientes ejemplos.104
- Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
- Page 56 and 57: 2. En R con topología usual, la fr
- Page 58 and 59: subespacio de X. Esto es, considera
- Page 60 and 61: 4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
- Page 62 and 63: 3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
- Page 64 and 65: 3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
- Page 66 and 67: 3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
- Page 68 and 69: X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
- Page 70 and 71: de los espacios tienen su contrapar
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- Page 76 and 77: 4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
- Page 78 and 79: 4.3.1∏Definición. Definimos la t
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- Page 82 and 83: 4.4. Estructuras finales - Topolog
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- Page 88 and 89: 2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
- Page 90 and 91: 5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
- Page 92 and 93: 5.1.3 Definición. Un espacio topol
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- Page 108 and 109: 1. El conjunto U 1 es un conjunto a
- Page 110 and 111: 5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
- Page 112 and 113: cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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- Page 116 and 117: 3. Cualquier subespacio de un espac
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- Page 120 and 121: d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
- Page 122 and 123: Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
- Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
- Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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- Page 132 and 133: g) En el conjunto C(I) de todas las
- Page 134 and 135: Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
- Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
- Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
- Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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- Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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5.5.3 Ejemplo.Vimos que R con la topología <strong>de</strong> colas a <strong>de</strong>recha es un espacionormal. Por otro lado, si x 0 ∈ R, entonces todo conjunto abiertoque contenga al conjunto cerrado (−∞, x 0 − 1] contiene tambiéna x 0 . Esto muestra que el espacio no es regular.El siguiente lema <strong>de</strong>bido a F. B. Jones permite <strong>de</strong>terminar queciertos espacios carecen <strong>de</strong> la propiedad <strong>de</strong> normalidad.5.5.4 Lema. (Jones) Si X contiene un subconjunto <strong>de</strong>nso D yun subespacio cerrado y relativamente discreto S tal que |S| >2 |D| , entonces X no es normal.5.5.5 Observación.1. Un subespacio S <strong>de</strong> X es relativamente discreto si la topologíaque hereda <strong>de</strong> X es la topología discreta.2. Si A es un conjunto, <strong>de</strong>notamos con |A| el cardinal <strong>de</strong> A.5.5.6 Ejemplo.El Plano <strong>de</strong> Moore, Γ, no es un espacio normal. Sean D ={(x, y) ∈ Γ : x, y ∈ Q} y S el eje x. Se tiene que D es <strong>de</strong>nsoen Γ, S es cerrado y relativamente discreto, |S| = c y D es unconjunto contable. Entonces |S| > 2 |D| .Los espacios normales no poseen, en general, las propieda<strong>de</strong>s quemencionamos para espacios con otras propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> separación,como lo muestran los siguientes ejemplos.104
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