Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
subconjunto A de X en el subconjunto de Y f(A) = {f(x) : x ∈A}. La segunda aplicación que se denomina imagen recíproca yse denota por f −1 , está definida de P(Y ) en P(X) por f −1 (B) ={x ∈ X : f(x) ∈ B}. Por simplicidad, para y ∈ Y escribimosf −1 (y) en lugar de f −1 ({y}).Decimos que una función f : X −→ Y es uno a uno o inyectivasi f(x) ≠ f(y) siempre que x sea diferente de y, sobreyectiva (osimplemente sobre) si f(X) = Y y biyectiva si es uno a uno ysobre.Nótese que una función f : X −→ Y es uno a uno si y sólo sif −1 (f(A)) = A para todo A ⊂ X y que f es sobreyectiva si ysólo si f(f −1 (B)) = B para todo B ⊂ Y .Si f : X −→ Y es una función biyectiva, existe una funciónde Y en X que se llama la inversa de f y se denota por f −1definida por f −1 (y) = x si y sólo si f(x) = y. El hecho de que fsea sobreyectiva garantiza la existencia de x = f −1 (y) para caday ∈ Y y el que f sea uno a uno garantiza que tal x es único.Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son funciones entonces la funcióncompuesta g ◦ f : X −→ Z está definida por g ◦ f(x) = g(f(x)).Formalmente hablando, (x, z) ∈ g ◦ f si y sólo si existe y ∈ Ytal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g.Ejercicios9
0.6. Productos arbitrariosHasta ahora nos hemos referido únicamente al producto cartesianode dos conjuntos. En realidad estudiar este producto nospermite de manera inmediata definir el producto cartesiano deuna colección finita de conjuntos. En efecto, si X 1 , X 2 , ..., X nes una colección de conjuntos entonces el producto cartesianoX 1 × X 2 × ... × X n , que también denotaremos por ∏ i=1,...,n X i,se define como el conjunto de n-tuplas{(x 1 , x 2 , ..., x n ) : x i ∈ X i para cada i = 1, ..., n}.El ejemplo más inmediato y seguramente conocido por todos esel conjunto R n = {(x 1 , x 2 , ..., x n ) : x i ∈ R}. En este caso todoslos factores del producto son iguales al conjunto de los númerosreales.Un análisis un poco más detallado nos muestra que en realidadcada elemento x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) del producto cartesianoX 1 × X 2 × ... × X n es una función del conjunto {1, 2, ..., n}en el conjunto ⋃ i=1,...,n X i, definida por x(i) = x i para cadai = 1, ..., n.Este hecho, que podría parecer una complicación innecesaria,permite generalizar la noción de producto cartesiano a familiasarbitrarias de conjuntos como lo muestra la siguiente definición.0.6.1 Definición. Sea {X j } j∈J una familia de conjuntos. Elproducto cartesiano de esta familia se denota por ∏ j∈J X j y esel conjunto de todas las funciones x : J −→ ⋃ j∈J X j tales quex(j) ∈ X j para cada j ∈ J.10
- Page 1 and 2: Notas de TopologíaClara M. Neira U
- Page 3 and 4: elementos del conjunto A pertenecen
- Page 5 and 6: Además se satisfacen las siguiente
- Page 7 and 8: 0.3. Uniones e intersecciones arbit
- Page 9: 1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
- Page 13 and 14: 1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
- Page 15 and 16: |X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
- Page 18 and 19: eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
- Page 20 and 21: Nótese que en un espacio seudomét
- Page 22 and 23: De la misma forma si se escoge b
- Page 24 and 25: Una de las propiedades más bonitas
- Page 26 and 27: Consideremos un espacio métrico X.
- Page 28 and 29: Capítulo 2Espacios TopológicosLa
- Page 30 and 31: La colección de todos los conjunto
- Page 32 and 33: 3. Sea X un conjunto cualquiera. La
- Page 34 and 35: Esto implica que la topologíausual
- Page 36 and 37: 2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
- Page 38 and 39: 3. Si A es una familia de conjuntos
- Page 40 and 41: un conjunto X con las propiedades
- Page 42 and 43: 3.Para cada punto z del planodefini
- Page 44 and 45: La unión arbitraria de conjuntos c
- Page 46 and 47: Si X es un espacio topológico y A
- Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
- Page 50 and 51: 3. Si X es un conjunto infinito y p
- Page 52 and 53: 2.7. Interior, exterior y frontera
- Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
- Page 56 and 57: 2. En R con topología usual, la fr
- Page 58 and 59: subespacio de X. Esto es, considera
subconjunto A <strong>de</strong> X en el subconjunto <strong>de</strong> Y f(A) = {f(x) : x ∈A}. La segunda aplicación que se <strong>de</strong>nomina imagen recíproca yse <strong>de</strong>nota por f −1 , está <strong>de</strong>finida <strong>de</strong> P(Y ) en P(X) por f −1 (B) ={x ∈ X : f(x) ∈ B}. Por simplicidad, para y ∈ Y escribimosf −1 (y) en lugar <strong>de</strong> f −1 ({y}).Decimos que una función f : X −→ Y es uno a uno o inyectivasi f(x) ≠ f(y) siempre que x sea diferente <strong>de</strong> y, sobreyectiva (osimplemente sobre) si f(X) = Y y biyectiva si es uno a uno ysobre.Nótese que una función f : X −→ Y es uno a uno si y sólo sif −1 (f(A)) = A para todo A ⊂ X y que f es sobreyectiva si ysólo si f(f −1 (B)) = B para todo B ⊂ Y .Si f : X −→ Y es una función biyectiva, existe una función<strong>de</strong> Y en X que se llama la inversa <strong>de</strong> f y se <strong>de</strong>nota por f −1<strong>de</strong>finida por f −1 (y) = x si y sólo si f(x) = y. El hecho <strong>de</strong> que fsea sobreyectiva garantiza la existencia <strong>de</strong> x = f −1 (y) para caday ∈ Y y el que f sea uno a uno garantiza que tal x es único.Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son funciones entonces la funcióncompuesta g ◦ f : X −→ Z está <strong>de</strong>finida por g ◦ f(x) = g(f(x)).Formalmente hablando, (x, z) ∈ g ◦ f si y sólo si existe y ∈ Ytal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g.Ejercicios9
Change language