LÍMITE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Otro enfoque ... - unne

Límite de Funciones de Dos VariablesOtro enfoque para su estudioDesarrollo6

Pensemos en la idea Intuitiva del concepto de Límite: En general, seentiende como una barrera hasta la cual podremos llegar. Hablamoscotidianamente de límites entre Países, de los límites entre terrenos,de los límites que deben tener nuestros hijos…Cuando hablamos delos límites de Funciones, nos referimos al valor al cual ellas tienden,cuando nos acercamos a cierto elemento de su dominio, que de algúnmodo, es también ¨hasta dónde llegan¨.Usamos este concepto ¨intuitivamente¨ en cursos de Geometría,cuando definimos longitud de una circunferencia como el Límite al quetiende una sucesión de perímetros de Polígonos circunscriptos oinscriptos en ella, cuando la longitud de los lados tiende a cero.También en cursos de Física, cuando nos referimos a la “velocidadinstantánea” como el Límite de la “velocidad media” para intervalos detiempo cada vez más pequeños. Y hay muchos ejemplos para la ideade límite de funciones de una variable independiente.Para el estudio del límite de funciones de una variable independiente,hemos visto que el problema se reduce a observar cómo se comportala función al acercarnos a un punto del Dominio por derecha eizquierda, moviéndonos en general, sobre la recta Y=0.En el caso de funciones de dos variables independientes, paraacercarnos a un punto del Dominio,, tenemos infinitasopciones, infinitos caminos para llegar a él. Y es justamente esto, loque hace complejo el estudio del Límite de funciones de DosVariables, pues si recordamos ¨La unicidad del Límite¨, propiedad vistapara funciones de una variable, y también válida para funciones dedos variables, ¨Si el Límite existe, es único e independiente del caminoutilizado¨ y nunca podremos verificar que por todas estas opciones,llegamos al mismo resultado.Conclusión 1:Es por eso, que solamente si el Límite hallado, verifica la definición,podremos asegurar la existencia del Límite.Veremos un ejemplo, tomando una función sencilla, que nos ilustrarásobre el comportamiento de los valores de una función escalar de dos7

variables, cuando los puntos del Dominio se aproximan a un punto quepuede o no pertenecer a él.Sea: y estudiemos su comportamiento enDominio de la función, todo el plano R2, solo representamos el primeroctante.Realizamos una tabla de valores en las proximidades de (3;2), con elobjeto de vincular este estudio, con el de funciones de una variable.8

Tomemos valores sobre las rectas x=3 e y=2.X y F(x;y)2,991 2 4,9912,995 2 4,9952,999 2 4,9993 2 53 1,999 4,9993 1,995 4,995Observemos la tabla y el gráfico, sinolvidar que nos estamos moviendosobre las rectas x=3 e y=2.Cuanto más nos acercamos al punto delDominio (3;2) , la función se aproxima alnúmero real 5. La diferencia entre f(x;y)y 5 será más pequeña, cuando los (x;y)estén más cerca de (3;2).3 1,991 4,991Consideremos que el valor absoluto deesta diferencia es menor que dos milésimo:9

Volvamos a la tabla y tomemos (x,y)=(3;1,9999) para verificar:x Y f(x;y)3 1,9999 4,9999Vemos que a los (x;y) que se encuentren a una distancia de (3;2)inferior a 0,001 le corresponden por medio de la función, valoresreales que están a una distancia menor que 0,002 de 5.Debemos tener en cuenta que fijamos previamente el número 0,002 yde ahí se desprendió el número 0,001, por lo tanto es .Del desarrollo anterior deducimos que para cualquier número(en el ejemplo ) , es suficiente elegir (en elejemplo )Porque si:Conclusión 2:Tomamos una función sencilla, conocida por los alumnos y de fácilrepresentación, realizamos un desarrollo similar al que se hace parafunciones de una variable y relacionamos este nuevo concepto.Analizamos gráfica y analíticamente grupalmente y luego… definimos.Generalizando la deducción anterior, expresamos la Definición deLímite de funciones de Dos variables:Literalmente:(Sugerimos ser muy explícitos para tener una mejor llegada al alumno,siempre relacionar con la gráfica, para lograr una rápida interpretación)10

¨El Límite de la función f(x;y)cuando (x;y) tiende o se aproxima alpunto de acumulación del Dominio de la función (a;b,) es igual númeroreal L, si y solo si, para todo número real Épsilon ( , positivo, existeen correspondencia o dependiente de él, otro número real Delta( , también positivo, de tal modo que para todo punto (x;y) deldominio que pertenezca al entorno reducido del punto (a;b) de radioDelta, entonces la diferencia entre el valor de la función en ese punto yel número real L, tomada en valor absoluto, es menor que Épsilon¨.(Observemos la representación de la función, junto con los alumnos einterpretemos gráficamente la definición, antes de expresarlasimbólicamente)Simbólicamente:ConNo es necesario que la función este definida en (a;b) para que elLímite en ese punto exista.Hasta el momento, hicimos un desarrollo similar al que algunosautores hacen para Límite de funciones de una variable.Observemos la diferencia: Cuando hablamos de distancia en R, solotenemos la posibilidad de tomarla de un lado o del otro del punto. Encambio, para hablar de distancia en R2, tenemos que hablar deEntorno.Conclusión 3:Usamos los conceptos adquiridos para funciones de una variable yestablecemos las diferencias con este nuevo concepto: El entorno enR2.11

Definición:Dado un punto y un número real , llamaremosEntorno del punto , de radio ¨ ¨, al conjunto de todos los puntospertenecientes al cuyas distancias a son menores que ¨ ¨.Simbólicamente:Será Entorno Reducido, cuando el puntoEntorno.no pertenezca alRecordemos Distancia en :Este Disco con centro en el punto al cual nos aproximamos, abre unabanico de infinitos caminos posibles. El Entorno no necesariamentetiene que ser circular, pero es común trabajar con este tipo. Serepresenta en por un círculo de centro y radio r.Si el resultado del Límite no es el mismo para todas las trayectoriasposibles de acercarnos al punto entonces el Límite no existe.Debemos tener en cuenta que si el Límite existe, es independiente delcamino elegido y de que el camino debe contener al punto.12

Llamamos caminos o trayectorias a subconjuntos de que esténincluidos en el Dominio de la función o que su intersección con éste,no sea vacía y que contengan al punto donde se quiere calcular ellímite. Ejemplos: Rectas, Parábolas, Hipérbola o un sub conjunto depuntos. A los límites por estos caminos se los llama Límites¨Restringidos¨ a ciertos subconjunto del Dominio de la Función.Antes de ver algunos ejemplos, distinguiremos dos situaciones:a)Cuando la función está definida en el punto donde queremosestudiar el límite, es decir, no hay indeterminación cuando calculo elLímite Doble o Simultáneo.b)Cuando la función no está definida en el punto donde queremoscalcular el límite, es decir, se produce una indeterminación al calcularel Límite Doble.En el caso a), cuando no hay indeterminación, problema resuelto: ElLímite Doble existe. Debemos pensarlo “intuitivamente”, el Límite alcual tenderá, será igual al valor que tome “naturalmente” la función.El caso b) es el que nos va a ocupar, cuando el Límite doblesimultáneo no existe, lo que genera la necesidad de usar otroscaminos para buscar el límite.Veamos algunos Ejemplos.1er. Ejemplo:HallarPreviamente, estudiamos cual es el Dominio de la función.13

Son todos los puntos del plano a excepción del punto (0;0). Comoya hemos dicho, no es necesario que el punto donde se estudia elLímite pertenezca al Dominio de la función, pero si debe ser un puntode acumulación, es decir, es necesario que esté definida para lospunto de un entorno reducido de, en este caso, de (0;0).Haciendo uso de los programas con los que contamos actualmente,por ejemplo el Derive, graficamos la función a estudiar, para obtenerla información que orientará el análisis. Sugerimos hacerla rotar,aplicar zoom, cambiar los colores, etc.Observemos esta primera posición de la gráfica y prestemos atencióna lo que sucede en (0;0), teniendo en cuenta la referencia que figuraarriba a la izquierda, con respecto a la posición de los ejes.lVemos que aparentemente en (0;0) hay una irregularidad, la hacemosrotar de tal modo de observar “desde arriba” como se comporta en elorigen.14

Y en esta posición vemos el “agujero” en (0;0), lo que No implica queel Límite no exista, pues puede no estar definida en el punto y sinembargo tener Límite en él.Aplicamos el L. D.:Pertenece al grupo b) pues obtenemos una indeterminación.Recurramos a otros caminos para, descartar la existencia del Límite,encontrando dos Límites distintos, ó por distintas trayectorias unmismo valor, con lo que tendremos es un “candidato “ a Límite ydeberemos probarlo por Definición para asegurar la absolutaexistencia, lo que es, en la mayoría de los casos, muy complicado.Introducimos el siguiente concepto:15

Límites Reiterados o Sucesivos:Éstos no perteneces al grupo de los Límites Restringidos.Definición:Son dos Límites, en los cuales, se hace tender primero una variable yluego otra, en la función resultante. Simplemente, es unprocedimiento que permite transformar el Límite de una función dedos variables en el cálculo del límite de una función de una variable.Los Límites Reiterados, presuponen que un cierto entorno reducido de“b” sobre la recta x=a y un cierto entorno reducido de “a” sobre larecta y=b existen las funciones y respectivamente.La potencia de estos Límites en cierto sentido es escasa, pueden noexistir y si el doble. Más adelante veremos un ejemplo que ilustra esto.Sin embargo, cuando obtenemos resultados distintos usando losReiterado, el problema está resulto, el Límite de la función de dosvariables No existe.16

En conclusión, son sumamente útiles para probar la No existencia delLímite.Volvamos el ejemplo y apliquemos los Límites Reiterados:Este resultado de la aplicación de Límites Reiterados, nos ilusionasobre la existencia del Límite por haber obtenido el mismo valor pordos caminos distintos…Pero sabemos que esto no indica nada, lo ideal hubiera sido que ellostengan resultados distintos, así podríamos concluir en la No existenciadel Límite.Debemos seguir trabajando.Conclusión 4:Explicamos en forma sencilla, que son y para qué son útiles losLímites Iterados o Reiterados, como así también sus limitaciones,definiéndolos e ilustrando con un ejemplo.Tomemos ahora la trayectoria , Parábola incluida en el Dominiode la función y que pasa por el punto (0;0), apropiado.Entonces:No podemos sacar ninguna conclusión con esta indeterminaciónobtenida, el camino elegido, no nos proporciona ningún dato.17

(La idea didáctica es, en este primer ejercicio, transitar por distintoscaminos, que NO nos lleven por un tobogán a la solución, para quelos alumnos puedan ver que nosotros también erramos en la elecciónde trayectorias y que quede claro, que cuando no nos brindan datos,debemos descartarlos)Tomemos ahora la trayectoria y=x, siempre repasando: Está incluidaen el Dominio de la función y contiene al punto de estudio.Hemos encontrado dos valores distintos del Límite.La función NO puede tener Límite en (0;0) porque en un entorno delpunto, hay elementos para los cuales la función tiende y para otros a0 (ver resultado de los Límites Iterados).2do. Ejemplo:Hallar :Elegimos un ejercicio cuya función es similar a la del ejemplo anteriorcon el propósito de llamar la atención del alumno sobre la definición decada una. Cuando arribemos a una conclusión de este segundoejemplo, haremos las comparaciones.Observemos su Representación gráfica:18

Aplicando L.D. simultáneo, tenemos:estudiándolo por otros caminos.Indeterminación, caso b), debemos seguirHallemos los Iterados:Iguales…Tomamos otra trayectoria, por ejemplo y=mx, haz de rectasque pasan por el origen, recordemos que el resultado tiene que serindependiente de m, de lo contrario tendríamos infinitas soluciones,para .Encontramos un candidato a Límite, es 0. Debemos intentar probarque para ese valor se cumple la definición, de otro modo, no podremosasegurar la existencia del mismo.:20

Comparemos el Ejercicio 1 con el 2, teniendo en cuenta que en amboscasos, buscamos el Límite en (0;0).Las funciones son:Ejemplo 1)Ejemplo 2)Funciones del mismo tipo, ambas cociente de polinomios de dosvariables.Analizamos con el alumno, porqué la 1) No tiene límite y la 2) Sí,siendo muy parecidas? Con la intensión de que haga este tipo deanálisis, como Método, antes de comenzar a resolver un ejercicio,21

como así también, observar previamente las gráficas, porque estainformación puede orientarlo en cómo encarar la demostración, sipara la No Existencia o para la Existencia.En 1) el Polinomio del numerador es de igual grado que el dedenominador. Si atendemos a la parte algebraica, que pasará paravalores próximos a (0;0)…podemos imaginar e incluso probar conpuntos tales que. Sabemos que los puntos de esteentorno reducirán su valor cuanto más próximos estén a (0;0) y porser de igual grado numerador y denominador , lo haránsimultáneamente, de modo que la indeterminación es inevitable alllegar al punto. Esto nos dispone a buscar la prueba de que No existelímite. Para ello, sugerimos, “ Pispear” la función para detectar en quesubconjunto del Dominio la función tendría infinitos límites ó unodistinto a alguno ya determinado.En 2) El polinomio del numerador es de mayor grado que el dedenominador, por lo tanto, al acercarnos a (0;0), el numerador seachicará más rápidamente, que el denominador, de esta forma, alaproximarnos a (0;0), tendremos el cociente 0/número, lo que nos da0. Estas consideraciones nos orientan a probar la Existencia delLímite. Siempre recordando que solo la comprobación por la Definiciónnos asegura la existencia.Conclusión 5:Consideramos que el análisis del comportamiento algebraico de lafunción debe hacerse, antes de comenzar con la mecánica de pruebaspor distintos caminos. Debemos apoyarnos y confiar en los cursosprevios a éste, como Álgebra, Análisis Matemático I y Geometría, losalumnos ya tienen los conceptos para hacer este tipo de estudio yusarlos les genera confianza y estímulo. Depende de nosotros,docente, el encontrar los disparadores de su interés.Ahora comparemos las gráficas. Si pensamos en el cálculo del Límite,como una acción, al “aproximarnos”, como dice la definición, estamosen movimiento. Ahora bien, si nos imaginamos sobre una alfombra,deslizándonos por una y otra superficie, cuál de las dos tiene la¨anatomía¨ de hacernos llegar a (0;0)? En el ej. 1) nos frenaríamos,pues es una superficie de suaves pendientes, por el contrario, en el ej.22

2) chocaríamos con el eje “z” en (0;0), por ser pronunciada suinclinación hacia el punto en estudio. Es otro elemento más, pocoortodoxo matemáticamente, pero que nos guía con respecto al rumbo,el estudio del Límite.Analicemos un par de funciones:Es una función exponencial, con exponente “x.y”. Para ningún puntodel plano , se van a presentar inconvenientes , ninguno va a poderprovocar una indeterminación. Por lo tanto, va a existir el Límite entodos ellos, caso a).Vemos la gráfica donde se aprecia la regularidad de la función:Vista de arriba no presenta “agujeros”, lo que nos indica que estafunción se portará bien, en todos los puntos de su Dominio.23

Tanto el análisis gráfico como el analítico, nos orientan a probar laexistencia del Límite.La función no está definida en (0;0)Apliquemos el L.D. simultáneo:Pero si “pispeamos” la función y trabajamos algebraicamente…Podemos calcular el Límite del producto, como el producto de losLímites, por propiedad de esta aplicación:24

Conclusión 6:Recordemos al alumno, los conceptos ya estudiados y hagamos quelos relacionen en todos los temas posibles. Ellos tienden a encapsularlos conceptos y no establecen relaciones, como tampoco los usan deapoyo. De este modo los estimularemos para que optimicen loestudiado anteriormente.Observemos la gráfica:Apreciamos el corte, es decir, la indefinición que la función presentaen el origen de coordenadas. Pero como el L.D. simultáneo nos da unresultado real, deberemos intentar comprobarlo por definición, óquedarnos con el candidato a Límite, L=-1.Conclusión 7:Atendiendo a la Definición y a la Gráfica de la función, el alumno,encontrará un sendero por donde transitará con mayor comodidad,que utilizando la práctica tradicional en la búsqueda del Límite aciegas. Y los profesores, no correremos tanto, cuando tengamos quedesarrollar el tema.25

(*) Desmitificando a los Límites Iterados:Todos vamos a estar de acuerdo en lo siguiente: “Al alumno lefascinan los Límites Iterados”. Esto es así, porque ellos les soncómodos, en un simple paso, tiene algo conocido, como funciones deuna variable, para trabajar.Esto hace que los usen con frecuencia y que sobrevaloren el resultadoque ellos arrojan.Podemos darle el siguiente ejemplo, cuando nos encontremos con laafirmación: “el L. D. no existe porque no pueden hallar los Iterados”.En general, los alumnos concluirían en que la función no tiene límite.Probemos que si lo tiene, a pesar de que uno de los Iterados noexiste.Estudiemos el Límite Radial, o Restringido a el haz de recta y=mx:El candidato es 0. Probemos por definición, en este caso es posible:26

Esta desigualdad por hipótesis.27

BIBLIOGRAFÍA: Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 1 y 2) –Hebe Rabuffetti Cálculo 2Spinadel, Vera N. Cálculo 2Larson Cálculo Diferencial e IntegralAntonio Aburto Barragan Cálculo Diferencial e IntegralN. Piskunov Análisis Matemático 1 y 2J. Rey Pastor Cálculo de Varias VariablesM. Besada- J. García – M.A. Mirás – C. VazaquezConsultas en Internet: www.newgrupos.com www.elprisma.com www.slta.uma.es www.cidse.itcr.ac.cr28