TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS

Teoría Clásica de Placas 51.3. METODOS APROXIMADOS.En el análisis estructural es interesante en ocasiones disponer de métodos decálculo rápidos y fiables que, aún sin constituir una solución exacta de undeterminado problema físico, si permitan determinar soluciones aproximadasmuchas veces suficientes para los objetivos de un proyecto o anteproyectoestructural.En este sentido algún tipo de placas rectangulares constituyen un ejemplo típico enel que aplicando exclusivamente razonamientos y modelos estructurales intuitivosy sencillos pueden obtenerse soluciones razonables.1.3.1 Método de Grashof para cálculo de placas rectangulares.Sea una placa rectangular que se descompone en franjas de ancho unidad normalesentre sí y paralelas a los bordes x e y de la misma. Cada franja absorberá parte dela carga y es evidente que en la zona o punto de intersección debe existircompatibilidad de desplazamientos.l xl yP 1P 2Asumiendo un comportamiento como viga y compatibilizando flechas:(w )l x2=(w )l y2=5384p1Dlx4x=5384p2Dly4y32Dx= D y = EI (1 -ν2E t)=12 (1 -νque conjuntamente con p = p 1 + p 2 nos permite determinar la carga que soportacada una de las vigas.)

Análisis de Estructuras 8EJEMPLO 1SOLUCION:Dada la placa cuadrada de hormigón de 10 m. de lado y 25 cm de canto simplementeapoyada en sus cuatro bordes, sometida a una carga uniforme 1 T/m 2SE PIDE Determinar la flecha y momentos en el centro de la placa.10 mE=250.000 kg/cm 2ν=0,2t= 25 cm.10 mD= Et 3 /12(1-ν 2 ) = 2,5 x 10 6 T/m 2 x 0,25 3 m 3 / 12 (1-0,2 2 ) = 3.391 Tm.κ =ll= 0,54 yρ4 4 x +l y=ll+l4 x4 x4 y= 0,5p 1 = 0,5 pp 2 = 0,5 pw5,5=53840,5.1033914= 0,019 m.La solución exacta tal y como se verá en los próximos capítulos es:w (5,5) = 0,00406 p l 4 /D = 0,012 m error = 50,8 %Los momentos en cada dirección x e y, en el centro de cada viga valen:M x = M y = pl 2 / 8 = 0,5. 10 2 /8 = 6,25 m TLa solución exacta de la placa tal y como se verá en los próximos capítulos es:M x = M y = 0,0479 p l 2 = 4,8 mT/m error = 30,5 %Los errores son apreciables pero no excesivos y por tanto el método permite de formaintuitiva y sencilla, acotar la respuesta tenso deformacional de la placa.

Teoría Clásica de Placas 9EJEMPLO 2Resolver la placa del ejemplo 1.1 por el método de Marcus.SOLUCIONLa solución de esfuerzos obtenida por el método de Grashof proporciona unos momentosmáximos:m x max = 6,25 mT/m = m y maxEn este caso el momento isostático de referencia vale:por tanto:m 0 x = m 0 y = p l 2 /8 = 12,5 mTϕ x = 5/6 . m x max /m 0 x . ( l x / l y ) 2 = 5/6 x 6,25/12,5 x 1 = 0,41ϕ y = 5/6 . m y max /m 0y . ( l y / l x ) 2 = 5/6 x 6,25/12,5 x 1 = 0,41m x = m y = ( 1 - 0,41 ) x 6,25 = 3,7 mT/ m.lo que representa un error respecto a la solución exacta de un 22,9 % inferior al 30,5%obtenido en el método de Grashof pero que está del lado de la inseguridad, inferior al exacto.

Teoría Clásica de Placas 11Puesto que las tensiones en un punto son función de su posición en el sólido, suintensidad cambia al mover el plano de referencia un dx, dy o dz . Para representaresta variación se toman, para la tensión incrementada, los dos primeros términosdel desarrollo en serie de Taylor .Como criterio de signos en los planos más avanzados (x+dx,y+dy,z+dz) seconsidera la tensión positiva cuando lleva la dirección de los ejes coordenados. Enlos planos opuestos el criterio cambia, de forma que, se considera positiva cuandolleva la dirección contraria a los ejes coordenados.Como caso particular, la elasticidad bidimensional sigue los mismos criterios ysólo con fines aclaratorios se presenta en la figura el estado tensional, con susdirecciones y signos, asociado a un dominio rectangular diferencial bidimensional(dx,dy) que responde también a la nomenclatura y signos definidos anteriormente.2.1.2. Deformaciones en la Elasticidad Tridimensional.Los desplazamientos de un punto cualquiera del sólido son función de su posicióny vienen dados en general por:u =f 1 (x, y,z)v=f 2 (x, y,z)w=f 3 (x, y,z)dónde u, v y w representan los desplazamientos de un punto P (x,y,z) en lasdirecciones de los ejes coordenados X, Y y Z respectivamente.La relación entre desplazamientos y deformaciones se establece en un elementodiferencial paralepipédico dx dy dz. Por simplicidad se presenta en la figura laproyección de la deformación del elemento diferencial tridimensional sobre elplano XY lo que puede generalizarse con facilidad para los demás planos.

Análisis de Estructuras 12Las deformaciones normales ε x y ε y vienen dadas por:ε∂uu + dx - u∂x∂u=dx ∂xx = yε∂vv + dy - v∂y∂v==dy ∂yy por extensión:εz∂w=∂zLa deformación tangencial o deslizamiento en el plano XY, γ xy viene dada por:γxy =γ ′ + γ∂v∂udx dyx ∂y∂v∂u′′ =∂+ = +dx dy ∂x∂ydonde se considera que las deformaciones son pequeñas y por tanto el ánguloconsiderado coincide con su tangente. Por extensión para los demás planos:γ∂u∂w+∂z∂xxz = yzγ∂v∂w= +∂z∂y2.1.3. Relaciones Tensión-Deformación.Si suponemos que el material tiene un comportamiento lineal, las relaciones entrelas tensiones y las deformaciones normales vienen dadas por las ecuacionesclásicas siguientes:

Teoría Clásica de Placas 13εx=1E[ σx-ν( σεzy=+ σ1Ez[ σ) ]zεy=-ν( σx1E+ σ[ σyy) ]-ν( σz+ σx) ]y para las componentes tangenciales:γxyτ=Gxyγxzτ=Gxzγyzτ=Gyzdonde E y G son respectivamente los módulos de elasticidad y de rigideztransversal, que están relacionados entre sí por:EG =2 ( 1+ νPlanteando las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad de deformaciones y dedesplazamientos en los bordes es teóricamente posible encontrar una solucióncompatible y equilibrada. En general esta mecánica presenta, aún asumiendopequeñas deformaciones, grandes dificultades matemáticas que impiden obtener lasolución del problema planteado integrando el sistema de ecuaciones diferencialesresultante.)2.2. TEORIA CLASICA DE PLACAS.2.2.1 Hipótesis Básicas.La respuesta tenso deformacional de una placa puede obtenerse por degeneraciónde la teoría de la elasticidad tridimensional suponiendo que la variación, de lasdistintas magnitudes que intervienen en el proceso a lo largo del espesor, es unafunción conocida de los valores que toman en el plano medio de la misma.Para generar la teoría de Placas clásica bajo estas condiciones es necesarioestablecer las siguientes hipótesis:- El material de la Placa se supone elástico, homogéneo e isótropo.- Se supone válida la teoría de las pequeñas deformaciones. Una flecha del10% del espesor puede ser considerada como un límite máximo parasatisfacer la hipótesis de flechas pequeñas.

Análisis de Estructuras 14- Todos los puntos situados sobre una recta normal al plano medio de laplaca sin deformar, permanecen después de la deformación sobre unarecta (Hipótesis de Navier) normal al plano medio deformado. Hipótesisde Normalidad.- Los puntos del plano medio sólo se mueven en la direcciónperpendicular al mismo. Es decir sólo se considera la deformaciónprovocada por la flexión.- Todos los puntos situados sobre una normal al plano medio tienen lamisma flecha. Es decir w (x, y, z) = w (x, y).- La tensión normal al plano medio de la placa se considera despreciable.Estas hipótesis permiten expresar los desplazamientos, deformaciones, tensiones yesfuerzos en el plano medio sólo en función de la flecha w(x, y) que caracterizacada punto de la placa transformando así un problema inicialmente tridimensionalen bidimensional. Posteriormente estableciendo las ecuaciones de equilibrio, sedetermina la ecuación diferencial en derivadas parciales que debe satisfacer estafunción w(x, y).2.2.2. Campo de desplazamientos.Bajo las hipótesis anteriores, el campo de desplazamientos puede expresarse enfunción de un solo parámetro del plano medio, la flecha w(x, y), en la formasiguiente:

Teoría Clásica de Placas 15∂w(xy)u (xyz)= -z∂x∂w(xy)v (xyz)= -z∂yw(xyz)= w(xy)Se supone que los giros son pequeños y que por tanto el giro se produce según laperpendicular. El signo menos aparece al considerar el eje z en sentidodescendente y los giros positivos en el sentido de las agujas del reloj.2.2.3. Campo de deformaciones.Por lo tanto el campo de deformaciones de acuerdo con las expresionesanteriormente presentadas viene dado bajo las hipótesis anteriores por:⎧ ε⎪⎪ ε⎪⎪ε⎨⎪ γ⎪⎪ γ⎪⎪⎩γxyzxyxzyz⎧ ∂u(xyz)⎫⎪ ∂x⎪⎪⎪ ⎧⎪⎪ ⎪ - z⎪ ∂v(xyz)⎪ ⎪⎫ ⎪ ∂y⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂w(xy)⎪ - z⎪⎪ ⎪∂z⎪ ⎪⎪⎪⎬=⎨⎬=⎨⎪ ⎪∂u(xyz)∂v(xyz)⎪ ⎪⎪ ⎪ + ⎪ ⎪⎪ ⎪∂y∂x⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- 2z⎪⎭⎪ ∂w(xy)∂u(xyz)⎪ ⎪⎪ + ⎪ ⎪⎪ ∂x∂z⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩∂w(xy)∂v(xyz)⎪ + ⎪⎩ ∂y∂z⎭2∂ w(xy) ⎫⎪∂2x ⎪⎪2 ⎪∂ w(xy) ⎪2∂ y ⎪⎪0 ⎬⎪⎪2∂ w(xy) ⎪∂x∂y⎪⎪0 ⎪⎪0 ⎪⎭Este campo de deformaciones también sólo depende de la flecha w(x, y) quecaracteriza al plano medio de la placa y como puede observarse los deslizamientos

Análisis de Estructuras 16en los planos perpendiculares al plano medio son nulos (lo que equivale a que lashipótesis de partida no consideran la deformación debida al esfuerzo cortante y porello sólo son válidas para el análisis de placas delgadas) y el resto de componentesvarían linealmente a lo largo del espesor.2.2.4. Campo de tensiones.El campo de tensiones de acuerdo con las relaciones tensión deformacióndeducidas anteriormente, viene ahora dado por:σσxy⎛ 22E=21 −νyE z( ) ⎜ ∂ w(x,y)∂ w(x,y)ε x + ν ε y = −+ ν⎟ 2 221 −ν⎝ ∂ x ∂ ⎠⎛ 22E=21 −νyE z( ) ⎜ ∂ w(x,y)∂ w(x,y)ν ε x + ε y = − ν +⎟ 2 221 −ν⎝ ∂ x ∂ ⎠⎞⎞τxy2= G γ xyσ z = τ xz = τ yzE z= −1 + ν∂ w(x,y)∂ x ∂ y= 0Nuevamente las tensiones normales y tangenciales no nulas varían linealmente a lolargo del espesor. Las tensiones tangenciales en los planos normales al planomedio son nulas. Esto significa que no se considera en el proceso el efecto delesfuerzo cortante, fuerza vertical actuando en los planos (XZ) Q x e (YZ) Q y , locual no implica que este sea nulo.

Teoría Clásica de Placas 17El estado tensional descrito provoca unos esfuerzos internos que actúan sobre lasección recta de la Placa y que son equivalentes a las resultantes de tensiones sobreel plano medio de la misma. Se obtienen así unos Momentos Flectores a partir delas tensiones normales y unos Momentos Torsores a partir de las tensionestangenciales. No aparecen siguiendo este esquema los esfuerzos Cortantes, dadoque las tensiones tangenciales son nulas, pero existen y no tienen porque ser nulos.2.2.5. Esfuerzos sobre el Plano medio.Los esfuerzos internos de flexión y torsión se obtienen integrando las tensiones alo largo del espesor de la Placa y son función de la flecha w(x, y) de los puntos delPlano medio de la misma.Mxy=MMt2∫xyτt−2==xyt2∫t−2t2∫t−2σσxyE tz dz = -12(1 -νE tz dz = -12(1 -νE t ∂ wz dz = -12(1+ ν ) ∂x∂y33322∂ w ∂ w( + ν) ∂2 2x ∂ y22( ν)222∂ w ∂ w+∂2 2x ∂ y))3E tD=12 ( 1 -νEste coeficiente D es clásico en placas, la caracteriza desde el punto de vista resistentey tiene un significado físico similar a la rigidez EI en vigas.Para expresar los esfuerzos cortantes Q x y Q y en función de la flecha del planomedio w(x, y) es necesario establecer las ecuaciones de equilibrio ya que la formulaciónen desplazamientos planteada no permite explicitarlos al no considerar suinfluencia durante el proceso de deformación .Como estos esfuerzos se han obtenido como la resultante de tensiones a lo largodel espesor vienen dados por unidad de longitud horizontal X e Y. Es decir los momentostienen dimensiones de F . L/ L (T. m. / cada m.).2)

Análisis de Estructuras 182.3. ECUACION DIFERENCIAL DE LA PLACA.El equilibrio del elemento diferencial de placa de la figura, (dx, dy, t), se planteaconsiderando que exteriormente actúa una carga normal al plano medio q= q(x, y)por unidad de superficie. El equilibrio tiene que satisfacerse en fuerzas ymomentos y por lo tanto debe incorporarse la longitud que afecta a cada uno de losesfuerzos anteriormente presentados.∑Fz= 0∑Mx= 0∑My= 02.3.1. Equilibrio de Momentos respecto a x=0∑ M x = 0(My∂ M+∂yydy ) dx - Mydx + (Mxy∂ M+∂xxydx) dy - Mxydy - Qydx dy =0∂ M∂yy∂ M+∂xxy-Qy=0

Teoría Clásica de Placas 192.3.2. Equilibrio de Momentos respecto a y=0( Mx∂ M+∂xxdx) dy - Mxdy + ( Myx∑ M y = 0∂ M+∂yyxdy) dx - Myxdx - Qxdy dx = 0∂ M∂xx∂ M+∂yyx- Qx= 02.3.3. Equilibrio de fuerzas verticales.∂ Qx∂ x∂ Qdx dy +∂ y∑ F z = 0ydy dx+ q dx dy = 0Sustituyendo las expresiones de Q x y Q y en esta última ecuación se obtiene:2∂ M∂2xx2∂ M+ 2∂x∂yxy2∂ M+∂ yy2= - q (x, y)y sustituyendo los momentos por sus expresiones en función de la flecha del planomedio w(x,y) se obtiene la ecuación diferencial que rige el comportamiento de laPlaca:q(x,y)∆ ∆ w(x,y)=DPor tanto resuelta la ecuación diferencial y obtenida la expresión de w(x, y) essencillo conocer el campo de desplazamientos, deformaciones, tensiones yesfuerzos en cualquier punto de la placa. Los esfuerzos cortantes vienen dados por:QQyx∂ M=∂ x∂ M=∂ xxyx∂ M+∂ y∂ M+∂ yyyx= - D= - D∂∂∂∂22∂ w ∂ w( +y ∂2 2x ∂ y22∂ w ∂ w( +x ∂2 2x ∂ y∂)= - D ( ∆ w )∂ y∂)= - D ( ∆ w )∂ x

Análisis de Estructuras 202.4. CONDICIONES DE CONTORNO.Al resolver la ecuación diferencial de la placa es necesario imponer unasdeterminadas condiciones en los bordes. Esto es obvio tanto desde el punto devista físico como matemático ya que la respuesta de una Placa, o la solución de laecuación diferencial que la representa, es distinta según su contorno este apoyado,empotrado o libre.2.4.1. Contorno Empotrado.Sí el borde x=a esta empotrado la flecha y el giro en dicho borde son nulos. Setienen por tanto las siguientes condiciones que debe satisfacer la función w(x, y):[ w ( x y)]( x,y)⎡∂w ⎤,x=a= 0 ⎢ ⎥ = 0⎣ ∂ x ⎦x=a2.4.2. Contorno Apoyado.Si el borde x=a esta simplemente apoyado, la flecha w(x,y) es nula a lo largo delborde. Como en el borde la placa puede girar libremente el momento M x es nulo.Matemáticamente un borde simplemente apoyado introduce las siguientescondiciones para la flecha w :

Teoría Clásica de Placas 21⎡ 2∂ w xwx=ax x=a= 0 ⇒ ⎢ + ν2⎢⎣∂ x[ ( x,y)] = 0 [ M ]2( , y) ∂ w( x,y)∂ y2⎤⎥⎥⎦x=a= 0Si el borde x=a esta apoyado de forma continua, la curvatura según el eje Y a lolargo de la línea x=a es nula:⎡∂⎢⎢⎣2w∂ y2( x,y) ⎤⎡∂w( x,y)2⎥⎥⎦= 0⇒2⎢⎣∂ xx= a⎥⎦x=a⎢⎤⎥= 02.4.3. Borde Libre.Si el borde x=a esta libre a lo largo de él los Momentos Flectores, Torsores yesfuerzo Cortante son nulos.[ M ] 0 [ M ] = 0 [ Q ] = 0xx= a= xy x=ax x=aEn principio un borde libre incorpora tres condiciones que debe satisfacer laecuación diferencial que representa el comportamiento de la placa estudiada. Noobstante Kirchoff probó que estas tres condiciones son excesivas y son suficientedos para determinar correctamente la flecha w(x, y). Kirchoff puso de manifiestoque las condiciones relativas al momento torsor y al esfuerzo cortante puedensustituirse por una condición única.

Análisis de Estructuras 22Los esfuerzos que actúan sobre la placa no varían si el momento torsor M xy dy queactúa sobre un elemento diferencial de longitud dy del borde x=a, se sustituye pordos fuerzas verticales de valor M xy y brazo dy. Es decir la distribución demomentos torsores M xy en el borde libre x=a es estáticamente equivalente a unadistribución de esfuerzos cortantes Q' x de intensidad:Q′x⎡∂M= ⎢⎣ ∂ yxy⎤⎥⎦x=aPor lo tanto la condición conjunta relativa al momento torsor M xy y esfuerzocortante Q x en un borde x=a libre puede escribirse como:⎡ ∂ M xy ⎤[ V x ] [ ′x=a= Qx+ Qx]x=a= ⎢Qx+ ⎥ = 0⎣ ∂ y ⎦ x=acondición que expresada en función de la flecha w(x ,y) toma la forma:⎡ 3∂ w⎢3⎢⎣∂ x+∂3w( 2 −ν) = 0∂ x ∂ y2⎤⎥⎥⎦x=aSi el borde libre está definido por y=b las condiciones anteriores son las siguientes:

Teoría Clásica de Placas 23Q′y⎡∂M= ⎢⎣ ∂ xxy⎤⎥⎦y=b⎡xy ⎤[ V ] = [ Q′+ Q ] = Q += 0yy=byyy=b⎢⎣y∂ M∂ x⎥⎦y=b⎡ 3∂ w⎢3⎢⎣∂ y+∂3w( 2 −ν) = 0∂ y ∂ x2⎤⎥⎥⎦y=bEste razonamiento conduce a que en cualquier borde libre o no, debe satisfacerseesta condición conjunta de torsión y cortante de forma que ambos esfuerzos sonestáticamente equivalentes a una fuerza vertical V x o V y dadas por:V⎡ 3∂ w= D ⎢ +3⎢⎣∂ x∂3w⎤⎥⎥⎦⎡ 3∂ w⎢3⎢⎣∂ y( 2 −ν) V = D + ( 2 −ν)x 2y2∂ x ∂ y∂∂ x3w ⎤⎥∂ y ⎥⎦Si el borde estudiado tiene el movimiento vertical impedido estas expresionescambiadas de signo, una vez determinada la flecha w(x, y) en función de loscondicionantes del tipo de apoyo considerado, permiten obtener las reacciones enla sustentación.En las esquinas como puede verse en la figura existen dos fuerzas concentradas delmismo sentido V x y V y de valores M xy (debido al signo diferente de M yx ) de formaque sí la placa esta apoyada en los bordes aparece una reacción:R= 2 Mxyw= - 2 (1 -ν) D∂∂x∂y2

Análisis de Estructuras 24Es decir la placa frente a una carga vertical se levanta en las esquinas y esnecesario en la práctica realizar el anclaje correspondiente para soportar esteefecto. Si la placa tiene unas condiciones de apoyo tales que el momento torsor esnulo en el borde este efecto no aparece.2.4.4. Sustentación Elástica.2.4.4.1. Apoyo Elástico.Sí el borde x=a esta apoyado elásticamente, constante elástica del apoyo variable alo largo del borde considerado k = k (y), la función w(x, y) debe satisfacer lassiguientes condiciones:lo que conduce[ V ] k ( y) [ w( x, y)] [ M ] = 0xx= a=x=ax x=aD ⎡∂3w ∂3w ⎤, x=a = ⎢ +=k( y)⎢ 32⎣∂x∂x∂y⎥⎦x=a[ w( x y)]( 2−ν)⎥ 02.4.4.2. Empotramiento Elástico.Sí el borde x=a esta empotrado elásticamente, constante elástica delempotramiento variable a lo largo del borde considerado k = k (y), la funciónw(x,y) debe satisfacer las siguientes condiciones:[ ] = k( y)M x x=a⎡⎢⎣∂w∂x⎤⎥⎦x=a⎡∂⎢⎣( x,y)w∂x⎤⎥⎦=Dk( y)3⎡∂w⎢ +∂x3∂ w∂x∂y( 2−ν) = 032x= a ⎣⎦x=a⎤⎥

Teoría Clásica de Placas 252.4.4.3. Viga de Borde.Un caso interesante aparece cuando en el borde x=a de la placa existe una viga deborde de rigidez EI. En este caso la condición de borde se obtiene estableciendocompatibilidad entre la viga y el borde de la placa considerado.[ q ( x)] = [ V ( x,y)] EI= D + ( 2 −ν)x=axx=a⎡⎢⎢⎣∂4w(x,y)⎤⎥4∂ x ⎥⎦x=a⎡ 3∂ w⎢3⎢⎣∂ x∂3w∂ x ∂ y2⎤⎥⎥⎦x=a2.4.4.4. Placa sobre lecho elástico.Si todos los puntos de la placa están bajo condiciones de apoyo elástico la carga semodifica con una reacción vertical R(x,y) = -k(x,y) w(x, y) con lo que la ecuacióndiferencial de la placa se modifica en la forma:k(x,y) q(x,y)∆ ∆ w(x,y)+ w(x,y)=DD