X - Modelación Matemática y Computacional - UNAM

Advección/Difusión: Problema directo● Frontera z = 0:Qi=−Kz∂c∂zidonde Q i es el flujo por emisión en superficie∂ci● Frontera z = L z : − Kz= 0∂z

Advección/Difusión: Dominio computacionalDominio de simulación computacional Ω:En el plano z = 0: una malla de 14×16 celdas,cada celda es de 5×5 km 2L x = 65 km, L y = 75 kmSobre el eje Oz: 20 puntosL z = 1 km

Advección/Difusión: Esquemas de reaccionesquímicasEjemplo: ciclo fotoquímico básicok1NO hνNO O k+ ⎯⎯→ + , = 0.4min2 1k2O O M O M k+ + ⎯⎯→ + , = 2.33×10 ppm min2 3 2k3O NO NO O k3 2 2 3−1−5 −2 −1+ ⎯⎯→ + , = 2.95×10 ppm min1 −1 −1donde M es una tercera especie química (generalmenteN 2 )

Advección/Difusión: Esquemas de reaccionesquímicasSean c 1 = [NO], c 2 = [NO 2 ], c 3 = [O 3 ], c 4 = [O]Aplicando las leyes de la cinética química, se obtieneel sistema rígido de ecuaciones diferenciales ordinarias:dcdtdcdtdcdtdcdt1234= kc −kcc ≡ R1 2 3 2 O 1=− kcc + kcc ≡R1 1 4 3 1 3 2= kcc c −kcc ≡ R22 4 O M 3 2 O 32 2= kc −kcc ≡ R1 2 2 3 M 4

¿Qúe son sistemas rígidos de ecuacionesdiferenciales ordinarias ?La rigidez ocurre en problemas donde se encuentran dos omás escalas muy diferentes de la variable independiente.En forma más exacta, un sistema de EDO es rígido si secumplan las condiciones:( λ )Re < 0i( λ ) ( λ )max Re min Re = Q 1iyidonde λ i son valores propios de la matriz Jacobiana del sistema

¿Qúe son sistemas rígidos de ecuacionesdiferenciales ordinarias ?La matriz Jacobiana de un sistema de N ecuaciones:J⎛⎜⎜⎜∂R ∂R ∂R...∂c ∂c ∂c1 1 11 2∂R ∂R ∂R...2 2 2=⎜ ∂c1 ∂c2∂c⎟⎜N ⎟⎜⎜⎜⎝... ... ... ...∂R ∂R ∂R...∂c ∂c ∂c1 2NN N NN⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

¿Qúe son sistemas rígidos de ecuacionesdiferenciales ordinarias ?Ejemplo (Gear, 1971):⎧ du=− 998u+ 1998v⎪ dt⎨⎪ dv=−999u−1999v⎪⎩ dtu( ) v( )0 = 1, 0 = 0

Solución exacta:⎧ u = e −e⎨⎩ =− +− 10002 t − t−t−1000tv e eSe pueden ver dos escalas diferentes de la variable t:t1 y t 0.001

¿Cómo resolver numéricamente sistemas rígidosde ecuaciones diferenciales ordinarias?• Métodos numéricos implícitos con paso variable• Paquetes de cómputo especializados (CVODE)• Usando la técnica Cut-HDMR

Extrapolación de datos irregulares a unamalla rectangular

Red Automática de Monitoreo Atmosférico

Red Automática de Monitoreo Atmosférico

Métodos de expansión de datos• El algoritmo de Cressman• El algoritmo basado en la triangulación de Voronoi• El algoritmo Kriging - resultó ser más adecuadopara aplicaciones de expansión de datos decontaminación atmosférica en la Cd. de México

Esquema numérico para problema directo deadvección/difusión de contaminantes

Esquema numéricoSe aplicán particiones del problema tridimensional para reducirloa una secuencia de ecuaciones en una dimensión:LL12::( u⋅c)∂c∂ii ∂ ⎛ ∂ci⎞+ = ⎜Kx⎟∂t ∂x ∂x⎝∂x⎠( vc)∂c∂ ⋅ii ∂ ⎛ ∂ci⎞+ = ⎜Ky⎟∂t ∂y ∂y⎝∂y⎠L3:( wc ⋅ )∂c∂ii ∂ ⎛ ∂ci⎞+ = ⎜Kz⎟∂t ∂z ∂z⎝∂z⎠

Esquema numéricoComo ejemplo, el esquema de cálculos numéricos en la dimensión xviene dada por:c(1)−mnk , , mnk , ,Δtcu c u c(1) (1) (1) (1)⎧ −m, n, k m, n, k m−1, n, k m−1, n,k(1)⎪, 0mnk , ,hu ≥⎪x+ ⎨=(1) (1) (1) (1)⎪um 1, n, kc −+ m+1, n, k um, n, kcm, n,k(1)⎪, 0mnk , ,hu

Esquema numérico• Las concentraciones calculadas por L 1 en dimensión x para cada nodo(x,y,z) ∈ Ω serán n concentraciones iniciales para la ecuación L 2 en ladimensión y.• Las concentraciones calculadas por L 2 en dimensión y para cada nodo(x,y,z) ∈ Ω serán n concentraciones iniciales para la ecuación L 3 en ladimensión z.• Las concentraciones calculadas por L 3 en dimensión z para cada nodo(x,y,z) ∈ Ω serán n concentraciones iniciales para el mecanismo dereacciones químicas utilizado:dc( )R c , c ,..., c , i 1,..., Nii 1 2 Ndt = =• Estas últimas concentraciones a su vez serán n condiciones inicales parael siguiente paso en tiempo.

Advección/difusión: problema inverso

Advección/difusión: problema inverso• El problema inverso para el sistema de ecuaciones diferencialesde advección/difusión de contaminantes consiste en el cálculode las concentraciones c i (x,y,z,t) y, al mismo tiempo, en larecuperación de los coeficientes de difusión K x , K y y K z (z)) loscuales, en este caso, se consideran desconocidos.• Su supone que se conocen condiciones de sobredeterminación:concentraciones de los contaminantes c i en función de tiempoen algunos puntos del dominio computacional Ω. . Se usaban lasconcentraciones medidas en las estaciones de RAMA.

Advección/difusión: problema inverso∂ci ∂( uci) ∂( vci) ∂( wci)∂ ⎛ ∂ci ⎞ ∂ ⎛ ∂ci ⎞ ∂ ⎛ ∂ci⎞+ + + = ⎜Kx ⎟+ Ky + ⎜Kz ⎟+Ri∂t ∂x ∂y ∂z ∂x x y⎜y⎟⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂z⎝ ∂z⎠( i = 1,..., N)i( , , ,0) = Φ ( , , )c x y z x y z∂ci∂ci− Kz= Qi, = 0∂z∂z∂ci∂x∂cz= oz=Li∂yi=∂ci∂xx= 0=∂ci∂y= 0x= o x=Ly= oy=Lyz

Advección/difusión: problema inversoSolución del problema inverso: minimización del funcionalTr N Mr2Φ = c x y z t −c x y z t dt( K ) ( ( , , , ;K) ( , , , ))i p p p i p p p∑∑∫i= 1 p=1 0rK = , ,{ K K K }x y zSupongamos: K x = K y ≡ K h = const, K z (z)= K v = const

Advección/difusión: problema inversoMétodo numérico: aproximación estocásticarr⎡ (k kK e ) (k kΦ + f ⋅ −Φ K − f ⋅e) ⎤1 k= −ksign ⎢⎥, j= h, v; k=1,2,...j⎢2f⎥⎣⎦Kk+K βjCriterio de paro de iteraciones:K K δk+1 k2− ≤ = 0.01 m / sj j

Advección/difusión: problema inverso.Resultados.• El error en recuperación de K z dado que K x = K y = 1 m 2 /s esmenor de 5%• Se necesitan 20-30 iteraciones para minimizar el funcional Φ• Para recuperar el valor de K z con la tolerancia de 5-10% 5senecesitan por lo menos 10 puntos de sobredeterminación• Para recuperar el valor de K z = const se necesita conocer solo lasconcentraciones en la capa z = 0• Para recuperar la función K z (z)) se necesita conocer lasconcentraciones en la capa z = 0 y en las capas superiores

Representación de modelos de altadimensionalidad (HDMR) y suaplicación en modelos de difusión/advección de contaminantes

Las siglas HDMRHDMR por sus siglas eninglés:High Dimensional ModelsRepresentation.Representación de modelosde Alta Dimensionalidad.

High Dimensional Models Representationx 1 x 2 x 3 ....... x nMODELO?SISTEMA- Contaminación atmosférica.- Propiedades electrónicas y estructurales de losmateriales.- Transporte de radiación.- Cinética química.- Análisis estadístico.¿De que manera influye cada una de lascomponentes x 1 , x 2 , x 3 ,...,x n en la salida F(x)?

Descripción:¿Que es HDMR?n∑ ∑ ∑f( x)= f + f ( x ) + f ( x, x ) + f ( x, x , x ) + ... + f ( x , x ,..., x0 i i ij i j ijk i j k 12... n 1 2 ni= 1 1 ≤i< j≤n 1 ≤i< j

Descripción:¿Que es HDMR?n≈0+ ∑ i i+ ∑ ij i ji= 1 1 ≤i

Descripción:¿Que es HDMR?Determinación de las funciones que componen las HDMR.Existen dos tipos de expansiones HDMR usadas comúnmente:• RS-HDMR: Para datos con muestreo aleatorio.Depende del valor promedio de f(x) sobre todo eldominio Ω.• Cut-HDMR: Para datos con muestreo ordenado.Depende del valor de f(x) en un punto dereferencia específico.

Donde:Descripción:¿Que es HDMR?• Las funciones componentes de Cut-HDMR poseen lassiguientes formas:f0 = f ( X )f ( x ) = f( x, X ) − fi i ii0ijf ( x, x ) = f ( x , x , X ) − f ( x ) − f ( x ) − fij i j i i i i j j( x , iiX ) = ( x1,..., xi− 1, xi, xi+1,..., xn)( x , , ijixj X ) = ( x1,..., xi− 1, xi, xi+ 1,..., x j− 1, xj, x j+1,..., xn)0

Aplicaciones de HDMR• Construcción de modelos basados en la observacióndirecta desde el laboratorio o de los datos delcampo.• Construcción de un modelo operacionalcompletamente equivalente (≡ FEOM).• Valoración de la incertidumbre global eidentificación de las variables clave.

¿Que es un FEOM?(FullyEquivalent Operational Model)Un Modelo Operacional Completamente Equivalente se usa enlugar de una parte del sistema (o del sistema completo) y esuna de las principales aplicaciones de las HDMR.• Entrenamiento o aprendizaje.Fases para implantarun FEOM:• Operación del modelo.

Una aplicación del FEOMModelado de sistemas de ecuaciones diferenciales.La substitución de un integrador numérico pararesolver un sistema de ecuaciones diferenciales,por su correspondiente FEOM, permite obtenerresultados rápidos en tiempos grandes.

Fases para la implantación de un FEOM.Fase de entrenamiento.En esta fase se elaboran las tablas con las funcionescomponente:1.- Por medio del sistema original (el que será reemplazado por el FEOM)se obtienen las salidas correspondientes a un conjunto de diferentessituaciones iniciales (entradas).2.- Se utilizan las ecuaciones del Cut-HDMR (en este caso) paradeterminar las funciones componente f ( x ) , f ( x , x )......iiij i j

Fases para la implantación de un FEOM.Fase de entrenamiento.Conjunto devalores deentrada:1,2,...,nSistemaoriginal.Conjunto devalores desalida:1,2,...,nElaboración de lasfuncionescomponente de laexpansión HDMR.FEOMForma esquemática de generar un FEOM.

Fases para la implantación de un FEOM.Fase de operación.Iniciar en eltiempo t 0CondicióninicialFEOM para resolver unsist. de ecs. dif. para unvalor ΔT fijo.Aproximación ala salida en eltiempo t i+1Salida en eltiempo final.Entrada en eltiempo t i.Parámetrosauxiliarescalculados en otrosmódulosSalida en el tiempot i+1= t i+ δti = i+1La salida obtenidase convierte en lanueva condicióninicial.¿Cómo opera un FEOM para resolver un sistema de ecuacionesditerenciales ordinarias al tiempo t?

Fases para la implantación de un FEOM.Como opera un FEOM para modelar un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias al tiempo t .Si se tiene una condición inicial y 0j , la salida al tiempo t 1 : y(y 0j ,t 1 ) que seobtiene con el FEOM se usa como cond. inicial del mismo FEOM paraaproximar la salida del sistema al tiempo t 2 : y(y 0j ,t2)

Fases para la implantación de un FEOM.1.- La fase de entrenamiento se realiza una sola vez para obtener lastablas con las funciones componente, ya que se obtuvieron las tablas,se ejecuta solamente la fase de operación cada vez que se requieraobtener el estado final a partir de un punto x después de cierto tiempo t.2.- El uso del FEOM para simular sistemas de ecuaciones diferencialesse aplica a sistemas autónomos, es decir, en sistemas endonde el tiempo t no aparece explícitamente en ninguna ecuación.

Ejemplo de una aplicación de un FEOM.[Shorter J., Percila Ip and Rabitz H. An efficient Chemical KineticsSolver using High Dimensional Model Representation, , J. Phys. Chem.A, 103, , 7192-7198 7198 (1999)]En este artículo se aplica un FEOM para la simulación de la cinéticaquímica y se obtuvieron los siguientes resultados:Integración numérica:• Si t = 1 dia Aprox. 2000 pasos .• Si t = 30 años Aproximadamente21,900,000 pasos .Integración por FEOM:• Si t = 1 dia => un paso• Si t = 30 años => 10,800pasos.• Si t = 6 años Aprox. 1000 vecesmas lento que FEOM.• Resultados exactos pero cadapaso es mas lento que el FEOM.• Si t = 6 años Aprox. 1000veces mas rápido que laintegración numérica.• Resultados muy similares a losobtenidos numéricamente perocada paso es mas rápido.

HDMR y FEOM: Conclusiones• El uso del FEOM para modelar sistemas deecuaciones diferenciales es convenientecuando se requieren soluciones masivas.• Se está aplicando Cut-HDMR y FEOM parasustituir el solver numérico en los algoritmosde problemas directo e inverso deadvección/difusión de contaminantes

Referencias (HDMR)1. Alis, Ö.andRabitz, , H., General Foundations of High Dimensional ModelRepresentations, J. Math. Chem.,25, , 197-233 (1999).2. Rabitz Hershel, Ö F. Alis. Efficient implementation of high dimensionalmodel representations, J. Math. Chem.,29, , 127-142 142 (2000).3. Genyuan Li, C. Rosenthal and Hershel Rabitz. High DimensionalModel Representations. J. Phys. Chem. . A, 105, , 7765-7777(2001).7777(2001).4. Genyuan Li, Sheng-WeiWang and Hershel Rabitz. PracticalApproaches To Construct RS-HDMR Component Functions. J. Phys. Chem.A, 106, , 8721-87338733 (2002).