Derivadas

6=P(2+h) 5000 + 500(2 + h)− 50(2 + h)limh→0hP(2) 2 − (5000 + 500 ⋅ 2 − 50 ⋅ 4)Desarrollamos ysimplificamos500h− 50(4 + 4h+ h= limh→0h300h− 50h= limh→0 h2= =2) + 50 ⋅ 4h(300− 50h)limh→∞ h= lim(300− 50h)= 300h → 0habitantes/añoSe factoriza sacando h de factor común.Este es un ejemplo de interés para un geógrafo. En diversas partes de las ciencias sociales,naturales y económicas se emplea el concepto de derivada a través de distintas terminologías: tasas decambio o rapidez. Un meteorólogo puede estar interesado en la rapidez de cambio de la presiónatmosférica con respecto a la altura. Un geólogo le puede interesar la rapidez con que cambia latemperatura en cierta roca fundida. En economía se habla de ingreso, costo y utilidad marginal parareferirse a la tasa de cambio de estas magnitudes.NOTACIONESd df dLa derivada de y = f (x)con respecto a x se la denota también por (y), , ( f ) , y′ .dx dx dxdy es un solo símbolo que ayuda a recordar que es el límite de cociente de diferencias o unadxrazón de cambio de y con respecto a x.dfes conocida como la notación de Leizbniz.dxPara indicar la derivada en un punto particular, por ejemplo c, se usan las siguientes notaciones:df dyf ′(c); ;dx dxSi por ejemplo f ( x)= x− 2x, es decir conocemos una fórmula para f entonces las siguientesnotaciones se usan:d( x2 − 2x); ( x2 − 2x)′dx2Ejercicio de desarrollo Para la función y = x − x Calcule:a) La razón de cambio promedio de x=2 a x=2.05; b) La razón de cambio instantánea en x=2x=cx=cOTRA INTERPRETACION DE LA DERIVADA:DE LA RECTA SECANTE A LA RECTA TANGENTE.Recordemos que la tasa de cambio promedio de t=c a t=c+h es la pendiente de la recta secante ala curva en los puntos ( c , f ( c))y ( c + h,f ( c + h)). Si c+h está muy cerca de c, (esto ocurre cuando hestá muy cerca de 0), la recta secante pasa casi rasante a la gráfica de la función en el punto ( c , f ( c)).Si h → 0 intuitivamente la recta limite es la recta tangente a la curva en el punto ( c , f ( c))y lapendiente de esta recta es