Derivadas

43ln 2 d 1/ 2= e x ln 2 ( x )De una vez usamos el hecho quex ln 2 xe = 2dxx 1= 2 ln 21/ 2Esta forma de la derivada la reescribimos usando2xpropiedades de exponente y multiplicación de fracciones.x − 12 ln 2=xAlternativa 2.- Se usa la fórmula:Directamente entonces obtenemosy = 2( ) ′′xx= 2 x′( ) ln 2y′=ag ( x)g ′(x)⋅ ln a=ln 222 xx − 1x 2 ln 2=xEjercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:⎛2a) ⎟ ⎞⎜(1 − x)x + 1y = log3; b) 10 −⎝ xy =⎠x1xAPLICACIONEStEjemplo 1.- Un modelo de crecimiento de cierto país está dado por P ( t)= 25(1.03)millones dehabitantes a partir de 1999. ¿A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo t años después?dPSolución: Debemos conseguir . La funcióntP ( t)= 25(1.03)tiene forma exponencialdttdP d(1.03)x g ( x)= 25 . Se aplica ( a )′ = ln( a)⋅ a ⋅ g ′(x), obteniendodt dtdPdt= 25ln(1.03)⋅ (1.03) ⋅ 1.tPor tanto la población cambiará a una razón deaño t.dPdtt= 25ln(1.03)⋅ (1.03) millones de habitantes en elEjercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones indique los pasos que usted haríapara conseguir la derivada. Considere reescribir.Ejemplo: f ( x)= 2xln( x 2 + 1). El 2 sale afuera de la derivación por la regla del factor constante. Seaplica la regla del producto, quedan dos términos en uno hay que derivar ln( x 2 + 1)el cual tiene laforma del logaritmo de g(x). La derivada interna se deriva como una suma22x + 12a) f ( x)= e + ln x + x ; b) f ( z)= 3e; c) h ( x)= ln( x − x)+ ln 2 ;