Derivadas

42Ejemplo 6.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones:3a) y = log 2 ( x + 2x)b) y = x log 2 ( x + x); c) y = 2xSolución:a) Se derivará usando la formula ( )′ 1log a ( g(x))=⋅ g ′(x)⋅( g(x))( ( x + 2x) ′y′ = log 2 )′( x + 2 )1= xx + 2x=1 ⎛ 1⎜x + 2x⎝ 2 x⋅⎞+ 2⎟ ⋅⎠1ln 21ln 21lnRealizando la suma intermedia y los productos tenemosaRecuerde que si la base es distinta a e hay unfactor de corrección en la derivada=2 ln 21 +x4x( x + 2x)b) Aplicamos la regla del productodydxd3 d3= ( x)log2 ( x + x)+ x ⋅ (log 2 ( x + x))Se usa cambio de base en el segundo logaritmo.dxdx33 d ln( x + x)= 1⋅log 2 ( x + x)+ x ⋅ ( ) En el segundo término aplicamos la regla del Factor Cte.dx ln 23 1 d 3= log 2 ( x + x)+ x ⋅ (ln( x + x))ln 2 dx3 x 1 d 3= log2( x + x)+( x + x)3ln 2 ( x + x)dx3 x 1 2= log 2 ( x + x)+ ⋅ (3x+ 1)3Sacamos x de factor común en el denominador y simplificamos.ln 2 ( x + x)=3 3x+ 1log2( x + x)+2ln(2)( x + 1)2d3Alternativamente para calcular (log 2 ( x + x))pudimos usar la fórmuladx( log ( g(x))) =a′1 1⋅ g ′(x)⋅( g(x))ln aen vez de usar la fórmula de cambio de base antes de derivar.xc) Alternativa 1.- Reescribimos la función y = 2 comog (x)derivamos, la cual tiene la forma edy d = x ln 2 ln 2 d( e ) = e x ( x ln 2 )dx dxdxyxln 2ln 2= ex= e . Esta última es la que