Derivadas

41A continuación deduciremos la derivada de la exponencial a partir de las derivadas de logaritmosxSea g ( x)= e , como el logaritmo es la función inversa de la exponencial tenemos queln g ( x)= x Derivamos ambos miembrosg ′(x)= 1g(x)Finalmente al despejar g ′(x)obtenemos que g ′( x)= g(x), esto esg ′ ) =x( x e Finalmente hemos concluido que(xe =)′exFÓRMULAS PARA LAS DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS YEXPONENCIALES CON BASE DISTINTA A e.Para obtener una fórmula para la derivada de y = logag(x)nos basamos en la fórmula decambio de baseln( g(x))loga( g(x))= .ln( a)Así′′ ⎛ ln( g(x))⎞ 11 1( log g x ) = ⎜⎟ = ⋅ g x ′a( ( ))(ln( ( )) = ⋅⋅ g ′(x)⎝ ln( a)⎠ ln aln a ( g(x))( log ( g ( x)) )a′=1 1⋅ g ′(x)⋅( g(x))ln aEsta fórmula es expresada en manera coloquial como sigue:La derivada de un logaritmo con base distinta a e es la derivada del logaritmo por un factor de1corrección. En este caso el factor de corrección esln ag (x)Para obtener una fórmula para la derivada de y = a , usamos el hecho que el logaritmo es lag ( x)función inversa de la exponencial:g ( x ) lna = ea . Esta la escribimos comoderivamosg ( x )( ) ′ ln a ( )=⋅ g xa e ⋅ (ln a ⋅ g(x))′Usamos la regla del factor constanteyln a⋅g ( x)= e , la cuál=eln a ⋅ g(x)′⋅ ln a ⋅ g ( x)g ( x)Finalmente usamosg ( x ) lna = ea para obtenemosg ( x ) ′ g(x)( a ) = a g ′(x)⋅ ln aEsta derivada es expresada como:La derivada de una función exponencial con base distinta a e es la derivada de la exponencialpor un factor de corrección. En este caso el factor de corrección es ln a