Derivadas

ReescrituraCuando tenemos un logaritmo de un producto, cociente o potencia podemos usar las propiedadesdel logaritmo para reescribir la función de tal manera que resulte más fácil y rápido de derivar.402Ejemplo 3.- Encontrar la derivada de la siguiente función y = ln[(3x+ 1)( x + 2) ]Solución: Reescribimos la función usando primero la propiedad del producto y luego la de la potencia:y = ln( 3x+ 1) + ln( x +y = ln( 3x+ 1) + 2ln( x +22)2)Esta última forma es la que derivamos, aplicando primero la derivada de la suma( )′ln( 3x+ 1) + ( 2 ln( x + 2 ) ′y′ =)1y′ =⋅ (3x+ 1) ′ + 2 )3x+ 11y′=⋅ 3 +3x+ 13y′=+3x+ 112 ⋅ 1x + 22x + 2( ln( x + 2 ) ′Se aplica regla de la cadena a ln( 3x + 1)yregla del factor constante al segundo término.Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:a) y = ln 1 − xb) y x=3x2 + 14e; c) ⎛ 2x− 1⎟ ⎞y = ln⎜⎝ 3xx + 1 ⎠Ejemplo 4.- Encontrar la derivada de la siguiente función: y = ln xSolución:1/ 2 1/ 2Reescribimos la función usando exponente fraccionario y = (ln x ) . Quedó escrita de laformar( g ( x)), con1/ 2g ( x)= ln x y r=1/2. Se aplica la regla de la potencia generalizada:1 1/ 2 − 1/ 21 / 2y ′ = (ln x ) ⋅ (ln x )′Se reescribe la expresión a derivar21 1/ 2 1/ 2 1y ′ = (ln x )− ⋅ ( ln x )′Se aplica la regla del factor constante221 1/ 2 1/ 2(ln )− 1y ′ = x⋅ (ln x)′22y′=41lnx1⋅ =x14x lnxEjercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:a) y = ln( x(x 2 − 1))b) y =− 2xxex + 1c) y =xe3x+1e3x− 1