Derivadas

4Este límite si existe es llamado también la derivada de d(x)en el instante c.Ejemplo 3.- Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t está dado por la ecuación2d ( t)= 64 + 4tmetros, donde t está medido en minutos. Determinar la velocidad en el tiempo t=2.Solución:vtd(2+ h)− d(2)= limh→0 hEvaluamos la función d en 2+h y en 2.=(64 +limh→04(2 +2h)) −h(64 +4 ⋅ 22)Se desarrolla el producto notable=(64 +limh→04(4 +24h+ h ) −h(64 + 16)Se distribuye el 4 y el signo menos. Luego se simplifica==16h+ 4hlimh→0 hh(16+ 4h)lim =h→0 h2Se factoriza, sacando h de factor común16 metros/min. Se simplificó y luego se evalúo en h=0De nuevo reiteramos que la velocidad instantánea en el momento c es el límite de la velocidadpromedio en un intervalo que va a cCONCEPTO DE DERIVADADerivada de una función.- La derivada de una función f (x)con respecto a x en el punto c se definecomo:f ( c + h)− f ( c)f ′(c)= limh→0 hsiempre y cuando el límite exista.Observaciones:1) Como c + h representa un punto cercano a c, entonces podemos escribir alternativa la derivadaf ( x)− f ( c)como f ′(c)= limx→c x − cEsta última escritura de la derivada nos permite interpretarla como la razón de cambio instantánea en elpunto c, obtenida a través del límite de la razón de cambio promedio para intervalos que llegan a c.2) A efectos de cálculo es preferible trabajar con la formaf ′(c)=f ( c +limSi la función tiene derivada en cada punto x de un intervalo contenido en el dominio entoncesla función se dice diferenciable o derivable en el intervalo y f ′(x)denota la función derivada.Algunos libros prefieren usar la notación ∆ x en vez de h, quedando escrita la funciónderivada como:f ( x + ∆ x)− f ( x)f ′(x)= lim∆ x→0∆ xh→0h)−hf ( c)