Derivadas

39FORMAS FRECUENTES DE FUNCIONES ESPECIALES:Las funciones especiales frecuentemente vienen dadas con un argumento distinto a simplementela variable. Esta situación la podemos escribir en cada caso como: ln g ( x)g (x)y e ,. Todas ellas puedenser expresadas como una composición donde la función interna es u = g(x). Para obtener la derivadade cada una de estas formas se usa la regla de la cadena. Las funciones externas f son respectivamente:•ln • , e . La función interna es en todos los casos: u = g(x). Aplicando a cada caso la regla de lacadena:h ′( x)= f ′(g(x))⋅ g ′(x).Ejemplo 2.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones:1 2− xa) ln( 2 − xy = x + 1)b) y = e ; c) y =2πxe .Solucióna) La función es de la forma ln g ( x). Remarcamos que la función externa es ln y la internag ( x)= x 2 + 1. Aplicamos entonces la regla de la cadena:( ln( x + 1 ) ′ 2y′ = )1 2= ⋅ ( x + 1)′2x + 12x=x2 +1′1( g(x))( ln g ( x)) =⋅ g ′(x)g ( x)′ g(x)( e ) = e ⋅ g ′ ( x)No se olvide de laderivada internag (x)b) La función es de la forma e′− x− x− x( e ) = e ( − x ′ = − ey′ =)⋅. La función externa es e y la internag(x)=− xc) Para derivaryyy=y =1 2− x2π( ⋅ ) ′ 2x e1 − x′2π2πx ⋅ e2− xx( e + x(e )′)1 2−′=2π22− xx( e + x(e )( − x )′)1 − 2′=y′=y′=e2π2− x 2 − x( e − 2x( e ))1 22− x2π2( 1 − 2x)usamos primero la regla del factor constanteSe aplica entonces la regla del producto.Ahora queda por derivar2xe − g (x)que tiene la forma2Al derivar − x y reordenar la expresión quedaSe saca2xe − de factor comúne