Derivadas

38DERIVADAS DE FUNCIONES ESPECIALESA continuación presentamos la derivada de funciones de uso frecuente.(ln x)′ =1xx( e )′ =xePodemos obtener por definición la derivada del logaritmo neperiano, haciendo uso del límite notablelim ( +1/ xx) = e . Tenemos entonces por definición de límite que1x→0⎛ x + h ⎞dln( x + h)− ln( x)ln⎜⎟ 1 ⎛(ln( x))= lim⎝ x ⎠ = lim ln⎜1 +dxh→0 h= lim h→0 hh→0⎝hUsando continuidad de la función logaritmo tenemos qued(ln(x)) =dxln⎛⎜⎜lim ⎛⎜ +h → 0⎝ ⎝1hh 1/⎞⎟x ⎠⎞⎟ =⎟⎠⎛⎜ ⎛ln⎜lim⎜1 +h→0⎝⎝e x 1 1= ln 1 / = ln e = .x xxPróximamente deduciremos la derivada de eh ⎞⎟x ⎠xxh⎞⎟ ⎟⎟ ⎠⎛ln ⎜lim ⎛= ⎜ ⎜ 1 +h → 0 ⎝⎝h ⎞⎟x ⎠h ⎞⎟x ⎠xh⎛= lim ln⎜1 +h→0⎝⎞⎟ ⎟⎟ ⎠1xh 1/⎞⎟x ⎠ln ⎛= ⎜⎝lim 1z → 0h( + z )Observación: La fórmula para la derivada del logaritmo es en base e, luego se dará la fórmula paracualquier base. Un comentario similar hay con respecto a la función exponencial.1z⎟ ⎞⎠1/ xEjemplo 1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones:a) y = 3lnx ; b) y =xxe ; c) y = ln xSolución:a) Aplicando la regla del factor constante queda1 3y′′′= ( 3 ln x) = 3( ln x)= 3 ⋅ =x xb)Se aplica la regla de producto′ ′ )′x x xy = x e + x(e = e +xexFinalmente podemos expresar el resultado de la derivada en forma factorizadaxy′= e ( 1 + x)c) Se reescribe primero y =− 2 1y = (ln x)1/ (ln x)′ = (ln x)221y′=2xln x1/ 2= ln x (ln x), se aplica la regla de la potencia generalizada1 − 1/′ 21⋅ Reescribiendo esta última expresión obtenemosxEjercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:xexa) y = x ln xb) y = c) y =− x2e