Derivadas

35dy2Ejemplo 4.- Sean y = 3 u + 1 y u = x + x . Encontrar dxSolución: Usando la regla de la cadena tenemos:dydxdydxdydx=dydu⋅dudx2= ⋅ (2x+ 1)2 2u+ 12= ⋅ (2x+ 1)22 2( x + x)+ 12. Sustituyen u por x + x obtenemos finalmenteAPLICACIONEjemplo 1.- Un estudio ambiental revela que el nivel medio de monóxido de carbono seráaproximadamente de c ( p)= 0.5 p + 17 partes por millón cuando la población es de p miles de3habitantes. Se ha modelado que la población de la comunidad será de p ( t)= 100 − , donde t est + 2medido en años ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de carbono respecto al tiempo dentro de 4años?dcSolución: Se pide en t=4. Calculamos la derivada usando la regla de la cadena para este caso,dtobserve que c es función de p y p de t, así:dcdtdcdtCalculamos==dcdp2dcdt⋅dpdt0.5 3⋅2 .0.5p+ 17 ( t + 2)t = 4usando la formula anterior. Para ello debemos determinar el valor de p cuando t=43 1p ( 4) = 100 − = 100 − = 99,5 .4 + 2 2De esta maneradcdt=0.52t = 4 2 0.5(99.5) + 17 (4 + 2)⋅3dcdtt = 4=0.00255partes por millón por año.Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones indique los pasos que usted haríapara conseguir la derivada.Ejemplo: f ( x)= 2 x 2 + 1 . Se reescribe la raíz. El 2 sale afuera de la derivación por la regla del factor2constante. Se aplica la regla de la potencia generalizada ( x + 1)una suma25 5a) f ( x)= x + 5x+ x ; b) f ( z)= 4 − 1 − z ; c)1/ 2. La derivada interna se deriva como2 22h ( x)= x(x − 1) − 2( x − 1) ;