Derivadas

33Demostración: Si definimos la externa comoh ( x)= ( f ° g)(x)ydu= g ′(x)ydxAplicando la regla de la cadena se obtieneh ′( x)= f ′(g(x))⋅ g ′(x)r( u)u y simplemente u = g(x)f =r − 1′f ( u)= ru. Entoncesr − 1= r( g(x)) ⋅ g ( x)′Ejemplo 2.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones: a) h ( x)= x 2 + 1 b)Solución:a) Reescribimosh′( x)=h′( x)=f ( x)=2 1/ 2h ( x)= ( x + 1) y aplicamos la regla de la cadena generalizada con = 1/ 2r((g(x))xx2 +c) Reescribimos1r − 12( 2( x + 3 ) ) ′′− 1f ( x)= x=⋅ g ′(x)=2− 1((x + 3 ) ) ′2 x1(2x22+ 1)1− 12− 1(2x)r :f ( x)= 2( x + 3x)y aplicamos la regla del factor constanteA la parte que queda por derivar se le aplica la regla de la potenciar − 12generalizada = 2r(g(x))⋅ g ′(x)con r = − 1 y g ( x)= ( x + 3x)x22 +3x=2( − 1)( x2 − 2 2′+ 3x)( x+ 3x)==2( − 1)( x2+ 3x)2(2x+ 3)−2 2( x + 3x)− 2(2x+3)22− 1Comentario. En este último ejemplo se reescribió f ( x)= como f ( x)= 2( x + 3x). Estex2 + 3xprocedimiento resulta útil si el numerador es numérico, pero en el caso que contenga la variable espreferible considerarlo como un cociente.Ejemplo 3.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones⎛ 2x+ 3 ⎞a) y = ⎜ ⎟ ; b)⎝ 3x+ 5 ⎠Solución:34 2 2f ( x)= (3x+ 5) ( x + 2) .⎛ 2x+ 3 ⎞a) La función y = ⎜ ⎟ es de la forma⎝ 3x+ 5 ⎠generalizada.r − 1y′ = r(g(x)⋅ g ′(x)3r( g ( x)). Así que aplicamos la regla de la potencia2′⎛ 2x+ 3 ⎞ ⎛ 2x+ 3 ⎞y ′ = 3⎜⎟ ⋅ ⎜ ⎟La parte que queda por derivar es un cociente⎝ 3x+ 5 ⎠ ⎝ 3x+ 5 ⎠