Derivadas

32REGLA DE LA CADENAHasta ahora funciones como h ( x)= x 2 + 1 no tenemos una regla para derivarla: no es unasuma, producto o cociente.La regla de la cadena es usada para derivar funciones compuesta. La función h ( x)= x 2 + 1 lainterpretamos como una composición. Si definimos f ( x)= x y g ( x)= x 2 + 1, entoncesh ( x)= ( f ° g)(x)= f ( g(x))Regla de la cadenaTeorema.- Sean f y g dos funciones tales que f es diferenciable en g (x)y g es diferenciable enx , entonces h = ( f ° g)es diferenciable en x yh ′(x)= f ′(g(x))⋅ g ′(x)La forma de decir la regla de la cadena en la práctica es:La derivada de una composición es la derivada de lafunción externa, f, evaluada en la interna por la derivada de lainterna.comoEn la notación de Leibniz si consideramos u = g(x), la regla de la cadena queda expresadadydx=dydu⋅dudxEjemplo 1.- Encuentre la derivada deh( x)= (2x+ 1)Solución: Se define la función interna como u = g(x)= 2x+ 1 y la externa comoEntonces h ( x)= ( f ° g)(x)ydu232= g ′( x)= 6xy f ′( u)= 33udxAplicando la regla de la cadena se obtieneh ′( x)= f ′(g(x))⋅ g ′(x)==3f ′( 2x+ 1) ⋅ 6x33233(2x+ 1) ⋅ 6x2= 198 x ( x + 1)3322233333f ( u)= u .Funciones como la del ejemplo anterior o como h ( x)= x 2 + 1 son de la forma ( g ( x)), en esteúltimo caso con r = 1/ 2 . Para derivar esta forma podemos usar directamente la siguiente:REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA:r ′ r − 1((g(x))) = r(g(x))g ′(x)r