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306*) Encuentre los puntos en los cuales la recta tangente a la gráfica de la funciónhorizontal.x + 1f ( x)= esxRespuestas: 1.1) − 3x 2 − 2x+ 4 ; 1.2) 3x 2 3 22 3− − 2x; 1.3) 12s − 9s+ 6s− 3 ; 1.4) 13 − 20x+ 3x− 8x; 1.5)25 222 3 x4 q − 8q+ 1s s + 2 2 − ; 1.6) 3( + 3 − )3 2; 1.7) − 4x + 9x− 6 ; 1.8) −2 ; 1.9)22 sx 25q2 2; 1.10)( q − 1)22q − 2q− 2 10t + 6t+ 1 12; 1.11); 1.12) − ; 1.13) (1+1/33) 33q − 2q+ 13 43x ; 1.14) −3 t3 xs22 1 3 − 5xx − 11.15) s 2/ 3 (8/3s− 10/3); 1.16) − 1 ++2 2 ; 1.17) ; 3) ;(2x− 4) 3x36 x 2 x1 134) y − 728 = 1033( x − 4); 5) y = − x − ); 6) (1,2)16 1621;+ 4s+ 4PROBLEMAS EN ECONOMÍA1) Encuentre la función ingreso marginal cuando I = 2q(30− 0.1q). Encuentre el ingreso marginal paraq=10. Interprete sus resultados. Respuesta: I ′ = 60 − 0. 4q; I`(10)=56q + 7502) p = representa la ecuación de demanda para cierto artículo donde p denota el precio porq + 50unidad cuando se demanda q unidades. Encuentre la función de ingreso marginal.2q + 100q+ 37500Respuesta: I ′ =2)( q + 50)23) El Producto Nacional Bruto de cierto país crece con el tiempo de acuerdo con PNB(t)= t + 4t+ 20 .2La población al tiempo t es P(t)= 0.1t + t + 2 (millones de habitantes). Calcule la razón de cambio delPNB(t)ingreso per capita en el instante t=10. (El ingreso per capita se define como f ( x)= el ProductoP(t)Nacional Bruto dividido entre el tamaño de la población.) Respuesta: 0.0994) Se espera que la venta de un nuevo equipo de sonido siga el siguiente comportamiento con respecto al10tnúmero de meses luego que se ha lanzado al mercado S( t)= miles de equipos al mes.t 2 + 30a) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 3 meses.b) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 6 meses.c) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 9 meses.d) Interprete sus resultados.Respuesta: a) 0.1381x1000; b)-13.8; c) -41.4; d) A los diez meses se venderán aproximadamente 41equipos menos que en el mes anterior.− p5) La ecuación de demanda de cierto artículo es q = 250 . Determinar la razón de cambio de lapdemanda con respecto al precio. a) Calcule esta razón de cambio para p=5. b) Interprete sus resultados.(Respuesta: a) − 25 , b) Si el precio aumenta en 1UM, es decir cuando pasa a 6UM, entonces lademanda disminuye en aproximadamente 25 unidades)6) Las ventas de un artículo V depende de la inversión x que se haga en publicidad mediante la30relación V ( x)= 100 − , donde x está expresado en miles de UM y V en miles de unidades. a)x + 5Encuentre la razón de cambio promedio de las ventas con respecto a la inversión en publicidad cuandox = 5 ; b) Interprete sus resultados. c*) Su interpretación se basa en hacer una estimación, haga el
31calculo exacto. Respuesta: a)300 unidades, b) Si la inversión aumenta en un 1000 UM, es decir ahorase gasta x=6 UM en publicidad, las ventas aumenta en 300 unidades aproximadamente; c) 272,73I + I + I + 67) Sea C ( I)=la función de consumo de cierto país, donde I y C vienen dadas enI + 2miles de millones de UM.. Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando el ingresoes de 16 miles de millones de UM. Interprete su resultado. Respuesta 0.868; Para un nivel de ingresonacional de 16 mil millones de UM, si hay un incremento del ingreso de la nación de mil millones deunidades monetarias, aproximadamente el 86.8% de ese aumento se consume y el resto se ahorra)38) SeaI + 2 I + 6S ( I)=la función de ahorro de cierto país. a) Encuentre la propensión marginal alI + 10consumo y al ahorro cuando I = 100 . b) Interprete sus resultados. Respuesta: C ′( 100) = 0. 89 ;S ( 100) = 0.119) El ingreso total por la venta de q3q+ 3.5qartículos está dada por I ( q)=. Encuentre el ingresoq + 1marginal cuando se venden 30 artículos. b) Interprete sus resultados. Respuesta: 3 UM10) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 100 matas de mangos por hectárea se obtendrá unvalor de la cosecha por árbol de 500 UM en su edad adulta. Se estima que por cada árbol que sesiembre de más hará que el valor promedio por árbol disminuya en 4 UM. Determine la función deingreso marginal en función del número de árboles adicionales sembrados después de 100.Respuesta: − 8 q + 1002Demostración de la Regla del Producto: Planteamos la derivada de la función ( f ⋅ g)(x)pordefinición:( )′( f ⋅ g )(x + h)− ( f ⋅ g )(x)f ⋅ g ( x)= limh→0 hf ( x + h)g(x + h)−= limh→0h= limh→0f ( x + h)g(x + h)−( f ( x)g(x))Se suma y resta f ( x)g(x + h)f ( x)g(x + h)+ f ( x)g(x + h)− f ( x)g(x)Límite de una sumahf ( x + h)g(x + h)− f ( x)g(x + h)f ( x)g(x + h)− f ( x)g(x + h)= lim + limh→0 hh→0 hSe reescribe⎛ f ( x + h)− f ( x)⎞⎛ g(x + h)− g(x)⎞= lim⎜g(x + h)⎟ + lim⎜f ( x)⎟h→0⎝h⎠h→0⎝h⎠Límite del producto= lim g(x + h)f ( x +h→0limh→0= f ′( x)g(x)+ f ( x)g ′(x)h)− f ( x)+ lim f ( x)g(x +h→h0limh→0h)−hg(x)Se usa definición de derivada
Page 4: 4Este límite si existe es llamado
Page 7: 7m tag = lim m sec ( c,c +h→0h)=l
Page 10: 10REGLAS DE DERIVACIONEl cálculo d
Page 13 and 14: 13− 4b) Reescribimos primero ante
Page 17 and 18: 1721.19) f ( x)= 2x− 2x; 1.20) f
Page 19 and 20: 19ANÁLISIS MARGINALEn economía el
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Page 35 and 36: 35dy2Ejemplo 4.- Sean y = 3 u + 1 y
Page 37 and 38: 379x+ 73 2⎛ 7x+ 18x− 6x− 101.
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Page 45 and 46: 45ln(1 − x)x − 1x 53.13) y = ln
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