Derivadas

28• Se determina completamente el punto sobre la gráfica evaluando la función en x = 4 .y(4)=(20 − 3 ⋅ 4)(42− 3 ⋅ 4 − 1) =8 ⋅ 3 =Remarcamos que queremos la recta tangente a la gráfica de f (x)en el punto ( 4,24).• Para determinar la pendiente se calcula y′ y luego se evalúa en x=4Usamos la regla del producto para conseguir la derivada22y ′ = (20 − 3x)′(x − 3x− 1) + (20 − 3x)(x − 3x− 1)′y ′ = − 3(x2 − 3x− 1) + ( 20 − 3x)(2x− 3)Podemos simplificar este resultado, pero preferimos evaluar de una vez242y ′(4)= − 3(4 − 3 ⋅ 4 − 1) + ( 20 − 3 ⋅ 4)(2 ⋅ 4 − 3)y′ ( 4) =31Esto es m tag = 31.• Finalmente para calcular la recta tangente usamos la ecuación punto pendiente( y − y0 ) = m(x − x0)( y − 24) = 31⋅( x −Llevándolo a la forma pendiente-ordenada en origen tenemos que la recta tangente en el punto( 4,24) es:y = 31x− 100APLICACIONESEjemplo 1.- El gobierno va implementar unas medidas para disminuir el porcentaje de desempleo en elpaís. Él prevee que el impacto de sus medidas se verá reflejado en el siguiente modelo20.15t− 0.2t+ 0.17P( t)=⋅ 1002t + 1.1donde P es el porcentaje de desempleados en el tiempo t, medidos en años.a) Encuentre la función que modela la tasa de cambio instantáneo del porcentaje de desocupadosuna vez que se apliquen las medidas.b) Estime la tasa de cambio instantáneo a los 3 meses, 6 meses, 1 año y 2 años.Solución :La tasa de cambio instantáneo no es otra cosa que la primera derivada. Así que la calculamosusando la regla del cociente previamente sacamos 100 fuera de la derivada2′⎛ 0.15t− 0.2t+ 0.17 ⎞P′( t)= 100⎜⎟2⎝ t + 1.1 ⎠(0.3t− 0.2)( tP′( t)= 1000.2tP′( t)= 1002( t22+ 1.1)2+ 1.1) − (0.15t( t− 0.01t− 0.222+ 1.1)22− 0.2t+Para medir la tasa de cambio a los tres meses,evaluamos en t = 1/ 4 la primera derivada:4)0.17)(2t)