Derivadas

27La regla de cociente es un poco más complicada que las anteriores. Pero observe como alescribirla se a puesto cierta semejanza con la regla del producto, excepto el signo menos en elnumerador y que contiene un denominador igual al denominador de la función a derivar al cuadrado.x + 4x+ 1Ejemplo 2.- Encuentre la derivada de la función h( x)=3x − 1Solución: Aplicamos la regla del cociente interpretando a h como el cociente de la función2f ( x)= x + 4x+ 1 entre g ( x)= x 3 − 1 . AsíLa derivada la calculamos en varios pasosf ′(x)g(x)− f ( x)g ′(x)dejando indicada algunas derivaciones parah′( x)=analizarla y derivarla en las líneas siguientes.g(x)2( x=( ) 2+ 4x+ 1) ′(x3− 1) − ( x( x3− 1)223+ 4x+ 1)( x− 1) ′2En ambas derivadas se aplica la propiedad de la sumay de la potencia=(2x+4)( x3− 1) − ( x( x32− 1)2+4x+ 1)3x2Se aplica la propiedad distributiva. En el segundo termino2distribuimos el 3x . Observe la necesidad de mantener elparéntesis.=2x4+4x3−2x−( x4 − (3x3− 1)24+ 12x3+3x2)Se distribuye el menos.432x+ 4x− 2x− 4 − 3x− 12x− 3x=3 2( x − 1)Agrupando términos semejantes finalmente obtenemos:− xh′( x)=4− 8x3( x− 3x32− 1)24− 2x− 432Ejercicio de desarrollo: Encuentre la derivada dex + 2 x + 1a) f ( x)=; b)x − xf ( x)=x −x + 15Comentario: Le recordamos que en este último ejercicio es conveniente reescribir la función como:1f ( x)= ( x − x + 1) para luego aplicar la regla del factor constante. Resulta más largo aplicar la regla5kdel cociente. Más adelante se presentarán las formas f ( x)= que conviene escribirlas comof ( x)− 1f ( x)= k(f ( x))para emplear otra regla distinta a la regla del cociente, la cual resulta máslaboriosa.Ejemplo 3.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = (20 −23x)(x − 3x− 1)en el puntodonde x=4Solución :