Derivadas

26REGLAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTELa función2h ( x)= (3x+ 4x+ 1)( x + 1)la podemos derivar usando las ideas de la secciónpasada, podemos reescribir la función aplicando la propiedad distributiva y luego sumar términossemejantes. Sin embargo, tal como está se puede interpretar como el producto de dos funciones2f ( x)= 3x+ 4x+ 1 y g ( x)= x + 1 y para derivar se usa entonces la regla del producto que acontinuación se enuncia.Regla del producto: Sean f y g funciones derivables en x, entonces f ⋅ g también es derivable en xy(( f ⋅ g)′(x)= f ′(x)g(x)+ f ( x)g ′(x).La derivada de un productote dos funciones es la derivada de la primera por la segunda sinderivar más la primera por la derivada de la segundaAl final de esta sección daremos de prueba de esta regla.2Ejemplo 1.- Encuentre la derivada de la siguiente función h(x)= (3x+ 4x+ 1)( x + 1)2Solución: Aplicamos la regla del producto a la función h ( x)= (3x+ 4x+ 1)( x + 1), interpretando a2h como el producto de las funciones f ( x)= 3x+ 4x+ 1 y g ( x)= x + 1. Asíh ′( x)= f ′(x)g(x)+ f ( x)g ′(x)2 2= (3x+ 4x+ 1) ′(x + 1) + (3x+ 4x+ 1)( x + 1) ′2 1 − 1/ 2= (6x+ 4)( x + 1) + (3x+ 4x+ 1) x2Aplicando la propiedad distributiva y agrupando términos semejantes tenemos15 3/ 21/ 2 1 − 1/ 2h ′(x)= x + 6x+ 6x+ 4 + x .22Observe que se deja la derivada indicada y sederiva en la siguiente líneaEjercicio de desarrollo: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones22a) h ( x)= 3( x − 3x− 3); b) f ( x)= ( x − x + 1)( x − 3x− 3)La demostración de la regla del producto se hace al final de esta sección. Otra regla que vamos anecesitar es la derivada de un cociente que a continuación presentamosRegla del Cociente: Sean f y g funciones derivables en x y g ( x)≠ 0 , entonces f / g es derivableen x y( ) ( ) ( ) ( )( f f ′ x g x − f x g x)′(x)=′gg2 .( x)