Derivadas

20El lector debe darse cuenta lo tedioso que hubiese sido calcular el costo de la unidad 41 de unamanera exacta. En el siguiente ejemplo haremos el cálculo aproximado y exacto pero antes recordemosel siguiente concepto.Si C(q)es el costo total de producir q artículos, el costo promedio por artículo se define comoC(q)C ( q)=qEn el ejemplo anterior el costo promedio por artículo está dado porC ( q)=0.001q2+ 1.1q+q30= 0 .001q+ 1.1 +130qEl lector puede verificar que C ( 40) = 1. 89 , lo cual representa el costo de cada artículo enpromedio cuando se producen 40 artículos. Este valor es muy distinto al costo marginal en 40 querepresenta aproximadamente el costo de producir la unidad 41. Podemos ver entonces que el costopromedio y el costo marginal son dos conceptos distintos pero relacionados. Usando los dos conceptos,podemos decir en nuestro ejemplo que los primeros 40 artículos cuestan 1.89UM en promedio y fabricaruno más le costaría tan sólo 1.18UM.Ejemplo 2.- La función de costo promedio de un producto está dada por C ( q)= 0.1q+ 120 +22000qa) Encuentre la función de costo marginal.b) Encuentre el costo marginal cuando q = 40 y cuando q = 60c) Encuentre el costo de producir la unidad 41.d) Interprete los resultadosSolución:Recuerde que el costo marginal es la derivada del costo total. Así que debemos conseguir la función decosto total primero despejándola en la ecuación C ( q)=C(q)qC( q)= q ⋅ C ( q)22000C ( q)= q ⋅ (0.1q+ 120 + )qSe distribuye a fin de obtener una expresión más sencilla para derivar2 22000C(q)= 0.1q+ 120q+ qqC(q)= 0.1q+ 120q+222000a) Derivamos la función costo total recién obtenida2C ′(q)= (0.1q)′+ (120q)′ + (22000)′C ′( q)= 0.2q+ 120b) El costo marginal cuando q = 40 está dado porC ′( 40) = 0.2 ⋅ 40 + 120 = 128El costo marginal cuando q = 60 está dado porC ′( 60) = 0.2 ⋅ 60 + 120 = 132c) Recordemos que el costo exacto de la unidad q + 1 es igual a C( q + 1) − C(q). Así