Derivadas

19ANÁLISIS MARGINALEn economía el concepto marginal se refiere al cambio instantáneo de una cantidad con respectoa otra. Esto es la derivada de una cantidad con respecto a otra. Daremos a continuación el concepto y lainterpretación de varias cantidades marginales de uso frecuente en economía.COSTO MARGINALSea (q)C el costo total de producir q unidades de un determinado artículo. Aún cuando en lamayoría de los casos q es un número entero, en la teoría y en la práctica es conveniente considerar eldominio de C un intervalo de R. En economía se está interesado como los costos cambian cuando hayincrementos en la producción. La derivada puede ayudar a analizar estos cambios de una manera rápida.La derivada del costo total, C′ (q), se llama costo marginalCosto marginal= C ′(q)En general se interpreta el costo marginal , C′ (q), como el costo aproximado de producir launidad q + 1. Veamos la justificación.Recuerde que el costo de las primeras q + 1 es C ( q + 1). Así queEl costo exacto de la unidad q + 1 = C( q + 1) − C(q)C( q + 1) − C(q)=1Esta última expresión es una aproximación de la derivadacon h = 1Así puesVeamos los siguientes ejemplos.C ′(q)≈C(q +h)− C(q)hC′ (q)≈ costo de producir la unidad adicional q + 1Ejemplo 1.- La función de costo total por producir y vender q artículos está dada por:2C ( q)= 0.001q+ 1.1q+ 30 en UM.a) Encuentre la función de costo marginal.b) Encuentre el costo marginal en q = 40c) Interprete sus resultados.Solución:a) Para conseguir la función de costo marginal derivamos la función de costo total.2C ′(q)= (0.001q+ 1.1q+ 30) ′C ′(q)= (0.001q) + (1.1q)′+2′C ′( q)= 0.002q+ 1.1UM(30)b) El costo marginal en q = 40 está dado porC′( 40) = 0.002 ⋅ 40 + 1.1 = 1.18 UMc) El costo de producir la unidad 41 es aproximadamente 1.18 UM