Derivadas

=1 8 + z2 z 3124) REGLAS DE LA SUMA Y DE LA RESTA: Sean f y g funciones derivables en x,entonces f + g y f − g también lo son y( f + g)′(x)= f ′(x)+ g ′(x)(( f − g)′(x)= f ′(x)− g ′(x).La derivada de una suma es la suma de las derivadas.La derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.Demostración: Para demostrar esta propiedad de las derivadas planteamos la derivada de la función( f + g)(x)por definición, manipulamos usando propiedades de límite y algebraicas para llegar que esla suma de las derivadas:( )′( f + g )(x + h)− ( f + g )(x)f ( x + h)+ g(x + h)− ( f ( x)+ g(x))f + g ( x)= lim) = limh→0hh→0hf ( x + h)+ g(x + h)− f ( x)− g(x)= limh→0hSe distribuyó el signof ( x + h)− f ( x)+ g(x + h)− g(x)= limh→0hSe reordenó la suma⎛ f ( x + h)− f ( x)g(x + h)− g(x)⎞Se descompuso como suma de= lim⎜+⎟h→0⎝ hhfracciones con igual denominador⎠f ( x + h)− f ( x)g(x + h)− g(x)= lim + limh→0 hh→0 hSe uso la propiedad del límite de una suma= f ′( x)+ g ′(x)Se aplicó la definición de la derivada de f y g.Esta regla puede ampliarse a la suma o diferencia de un número finito de funciones. En notaciónde Leizbniz podemos escribir que:dd dd(( f1 ± f2± ⋯ ± fn)( x))= ( f1( x)) ± ( f2( x)) ± ⋯ ± ( fn( x))dxdx dxdxEjemplo 4.- Encuentre las derivadas de las siguientes funcionesa) h ( z)= z +24z4; b) g( x)= −43x3 + 3xSolución: a) Reescribimos h ( z)=1/ 2 4 2z + z . Esta última reescritura se deriva aplicando primero la3propiedad de la suma. Así′Al primer término aplicamos la regla de la potencia y al segundo⎛ / 2 4 2 1/ 2 4 2′()⎞h z = ⎜ z + z ⎟ = ( z )′+ ( z )⎝ 3 ⎠3la regla del factor constante..=1 − 1 / 2 4 2z + ( z )′2 3Aplicamos al segundo término la regla de la potencia