Derivadas

4Este límite si existe es llamado también la derivada de d(x)en el instante c.Ejemplo 3.- Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t está dado por la ecuación2d ( t)= 64 + 4tmetros, donde t está medido en minutos. Determinar la velocidad en el tiempo t=2.Solución:vtd(2+ h)− d(2)= limh→0 hEvaluamos la función d en 2+h y en 2.=(64 +limh→04(2 +2h)) −h(64 +4 ⋅ 22)Se desarrolla el producto notable=(64 +limh→04(4 +24h+ h ) −h(64 + 16)Se distribuye el 4 y el signo menos. Luego se simplifica==16h+ 4hlimh→0 hh(16+ 4h)lim =h→0 h2Se factoriza, sacando h de factor común16 metros/min. Se simplificó y luego se evalúo en h=0De nuevo reiteramos que la velocidad instantánea en el momento c es el límite de la velocidadpromedio en un intervalo que va a cCONCEPTO DE DERIVADADerivada de una función.- La derivada de una función f (x)con respecto a x en el punto c se definecomo:f ( c + h)− f ( c)f ′(c)= limh→0 hsiempre y cuando el límite exista.Observaciones:1) Como c + h representa un punto cercano a c, entonces podemos escribir alternativa la derivadaf ( x)− f ( c)como f ′(c)= limx→c x − cEsta última escritura de la derivada nos permite interpretarla como la razón de cambio instantánea en elpunto c, obtenida a través del límite de la razón de cambio promedio para intervalos que llegan a c.2) A efectos de cálculo es preferible trabajar con la formaf ′(c)=f ( c +limSi la función tiene derivada en cada punto x de un intervalo contenido en el dominio entoncesla función se dice diferenciable o derivable en el intervalo y f ′(x)denota la función derivada.Algunos libros prefieren usar la notación ∆ x en vez de h, quedando escrita la funciónderivada como:f ( x + ∆ x)− f ( x)f ′(x)= lim∆ x→0∆ xh→0h)−hf ( c)

6=P(2+h) 5000 + 500(2 + h)− 50(2 + h)limh→0hP(2) 2 − (5000 + 500 ⋅ 2 − 50 ⋅ 4)Desarrollamos ysimplificamos500h− 50(4 + 4h+ h= limh→0h300h− 50h= limh→0 h2= =2) + 50 ⋅ 4h(300− 50h)limh→∞ h= lim(300− 50h)= 300h → 0habitantes/añoSe factoriza sacando h de factor común.Este es un ejemplo de interés para un geógrafo. En diversas partes de las ciencias sociales,naturales y económicas se emplea el concepto de derivada a través de distintas terminologías: tasas decambio o rapidez. Un meteorólogo puede estar interesado en la rapidez de cambio de la presiónatmosférica con respecto a la altura. Un geólogo le puede interesar la rapidez con que cambia latemperatura en cierta roca fundida. En economía se habla de ingreso, costo y utilidad marginal parareferirse a la tasa de cambio de estas magnitudes.NOTACIONESd df dLa derivada de y = f (x)con respecto a x se la denota también por (y), , ( f ) , y′ .dx dx dxdy es un solo símbolo que ayuda a recordar que es el límite de cociente de diferencias o unadxrazón de cambio de y con respecto a x.dfes conocida como la notación de Leizbniz.dxPara indicar la derivada en un punto particular, por ejemplo c, se usan las siguientes notaciones:df dyf ′(c); ;dx dxSi por ejemplo f ( x)= x− 2x, es decir conocemos una fórmula para f entonces las siguientesnotaciones se usan:d( x2 − 2x); ( x2 − 2x)′dx2Ejercicio de desarrollo Para la función y = x − x Calcule:a) La razón de cambio promedio de x=2 a x=2.05; b) La razón de cambio instantánea en x=2x=cx=cOTRA INTERPRETACION DE LA DERIVADA:DE LA RECTA SECANTE A LA RECTA TANGENTE.Recordemos que la tasa de cambio promedio de t=c a t=c+h es la pendiente de la recta secante ala curva en los puntos ( c , f ( c))y ( c + h,f ( c + h)). Si c+h está muy cerca de c, (esto ocurre cuando hestá muy cerca de 0), la recta secante pasa casi rasante a la gráfica de la función en el punto ( c , f ( c)).Si h → 0 intuitivamente la recta limite es la recta tangente a la curva en el punto ( c , f ( c))y lapendiente de esta recta es

7m tag = lim m sec ( c,c +h→0h)=limh→0f ( c +h)−hf ( c)=f ′(c)En conclusión:La derivada en un punto x=c es lapendiente de la recta tangente a la gráfica de fen el punto ( c , f ( c)).Ejemplo 6.- a) Calcule la derivada de la función f ( x)= 2 x + 1 + 3 .b) Use este resultado para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva cuando x=1Solución: a) Calculamos primero la función derivada usando la definición:f ′(x)=f ( x +limh→0h)−hf ( x)2 ( x + h)+ 1 + 3 − (2 x + 1 + 3)= limh→0 h2= limh→0( x +h)+ 1 + 3 − 2hx + 1 − 3Al sustituir una expresión por otra considere encerrarla entreparéntesis. Observe como se colocará entre paréntesis lasexpresiones x+h (no hace falta) y 2 x + 1 + 3, pues ellassustituyen a x y f(x) respectivamente.Cuando hay indeterminación en un límite de esta naturaleza setiene que considerar usar el truco de la conjugada, pero tieneque existir dos términos. Primero simplificamos el numerador.=2limh→0( x +h)+ 1 −h2x + 1⋅ 1. Ahora podemos usar la conjugada====2 ( x + h)+ 1 − 2 x + 1 2 ( x + h)+ 1 + 2 x + 1lim ⋅h→0 h2 ( x + h)+ 1 + 2 x + 12(2 ( x + h)+ 1) − (2 x + 1) 4( x + h + 1) − 4( x + 1)lim= limh→0h(2( x + h)+ 1 + 2 x + 1)h→02h(x + h + 1 + x + 1)4hlimh→02h(x + h + 1 + x + 1)2lim h → 0( x + h + 1 + x + 1)Se evalúa el límite21=x + 11 2b) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x=1 es: f ′( 1) == .1 + 1 2Ejercicio de desarrollo.- Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica dexf ( x)= en x=1.2x+ 1

9EJERCICIOS1) Para la función y = 2t2 − 1 calculea) La razón de cambio promedio de t=0 a t=2b) Para estos valores de t ¿cuál es el incremento de y?c) La razón de cambio instantánea en t=12) Para la función y = 1 + 2tcalculea) La razón de cambio promedio de t=1 a t=1.1.b) Para estos valores de t ¿cuál es el incremento de y?c) La razón de cambio instantánea en t=13) El tamaño de una población está modelada por2P ( t)= 70000 + 80tdonde t es el número de años después del 2001. a) ¿Cuál es el incremento de la población desde eltiempo t=3 a t=3.1? b) Calcule la tasa de cambio promedio desde t=3 a t=3.1c) Calcule la tasa de crecimiento instantáneo en t=3.4) Emplee la definición de la derivada para encontrardF4.1) f ′(2)si f ( x)= 4 − x ; 4.2) si F(x)x2 2= − 2x; 4.3) g ′(3)si g( t)= t − t ; 4.4)dxx = 0dy 2 si 1dx= x −d xdy ; 4.5) (2 − ) ; 4.6) ( x2 − 2x− 1)2 dx 4dxdC4.7) si ( )22C q = q + 3 q − 3 ;4.8) f ′(x)si f ( x)= x + 3 − 2 ; 4.9) g ′(x)si g( x)= ;dq4 − xd 24.10) f ′(x)si f ( x)= e ; 4.11) g ′(x)si g( x)= 2 1 − x ; 4.12) (1 − )dx 4 − xRespuestas: 1) a) 4 ; b) 8 ;c) 4; 2) a) 0.568; b) 0.0568; c) 0.5773; 3) a)48.80; b) 488; c)480; 4.1) -4 d11; 4.2) -2; 4.3) 5; 4.4) − ; 4.5) ( 2 −xdC1) = − ; 4.6) 2x − 2 ; 4.7) = 2 q + 3; 4.8) 4.9)3x dx 4 4dq2 x + 3= 22(4 − x); 4.10) 0; 4.11) 12− ; 4.12) −21 − x (4 − x)5) Encuentre la pendiente de la curva y = 2 −23xen el punto (1,-1). Use la definición de derivada.Respuesta: m=-66) Encuentre la pendiente de la curva f ( x)= 3 − x en el punto (2,1). Use la definición de derivada.Respuesta: m=-1/27) Calcule la derivada de la función f ( x)=1. Use este resultado para calcular la pendiente de la2x+ 1recta tangente a la curva cuando x=1.Respuesta: f ′(x)= −22x+ 1; m=-2/9( ) 228) Calcule las derivadas de las funciones f ( x)= x y f ( x)= x 2 + 3. Grafique ambas funciones y deuna argumentación geométrica porque ambas funciones tienen la misma derivada.29) Un móvil se desplaza a lo largo del eje x, la función f dada por f ( t)= 16 − t metros da lalocalización del objeto en el instante t, donde t está medido en minutos. Determinar la velocidad en eltiempo t=3. Interprete el resultado. Respuesta: -6 metros/min.

10REGLAS DE DERIVACIONEl cálculo de las derivadas por definición, como se ha hecho hasta ahora, es un proceso tediosoy repetitivo. En esta sección se darán reglas básicas que permitirán encontrar las derivadas de unamanera más rápida.1) REGLA DE LA CONSTANTE: Si f es una función constante, esto es f x)= centonces(La derivada de una constante es 0)f ′( x)=Este resultado es claro desde un punto de vista geométrico, la gráfica de la función constante esuna recta horizontal, la pendiente es 0.Ejemplo 1.-da) ( 5) = 0dxb) Si f ( x)= ln 3 , entonces f ′( x)= 0c) Sea g ( x)= 2 para calcular g ′(4)primero observamos que g ′( x)= 0 y al evaluar g ′ en 4obtenemos que g ′( 4) = 0 .Podemos verificar, usando la definición de derivada, que2- Si f ( x)= x entonces f ′( x)= 2x.1 11/ 2− 1/ 2- Si f ( x)= x = x entonces f ′(x)= = x .2 x 21 − 11− 2-Si f ( x)= = x entonces f ′(x)= − = − 1⋅x2.xx( ,Como el lector observará existe una tendencia la cuál está descrita en la siguiente regla clave para laderivación2) REGLA DE LA POTENCIA: Sientonces0f =r( x)x , donde r es un número real distinto de 0,r − 1′f ( x)= rxVeamos el siguiente ejemplo que ilustra las aplicaciones de la regla de la potencia en lasdiversas notaciones.Ejemplo 2.-d 3 2a) ( x ) = 3xdx109b) Si f ( x)= x , entonces f ′( x)= 10x0c) Si g ( x)= x , entonces g ′( x)= 1⋅x . Así g′ ( x)= 1Efectivamente la función g ( x)= x es una recta cuya pendiente es 1d) 3 /12 3 − 3( x )′= x2= x22 231En muchas ocasiones es conveniente reescribir algunas funciones para derivar más fácilmente.

=1 8 + z2 z 3124) REGLAS DE LA SUMA Y DE LA RESTA: Sean f y g funciones derivables en x,entonces f + g y f − g también lo son y( f + g)′(x)= f ′(x)+ g ′(x)(( f − g)′(x)= f ′(x)− g ′(x).La derivada de una suma es la suma de las derivadas.La derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.Demostración: Para demostrar esta propiedad de las derivadas planteamos la derivada de la función( f + g)(x)por definición, manipulamos usando propiedades de límite y algebraicas para llegar que esla suma de las derivadas:( )′( f + g )(x + h)− ( f + g )(x)f ( x + h)+ g(x + h)− ( f ( x)+ g(x))f + g ( x)= lim) = limh→0hh→0hf ( x + h)+ g(x + h)− f ( x)− g(x)= limh→0hSe distribuyó el signof ( x + h)− f ( x)+ g(x + h)− g(x)= limh→0hSe reordenó la suma⎛ f ( x + h)− f ( x)g(x + h)− g(x)⎞Se descompuso como suma de= lim⎜+⎟h→0⎝ hhfracciones con igual denominador⎠f ( x + h)− f ( x)g(x + h)− g(x)= lim + limh→0 hh→0 hSe uso la propiedad del límite de una suma= f ′( x)+ g ′(x)Se aplicó la definición de la derivada de f y g.Esta regla puede ampliarse a la suma o diferencia de un número finito de funciones. En notaciónde Leizbniz podemos escribir que:dd dd(( f1 ± f2± ⋯ ± fn)( x))= ( f1( x)) ± ( f2( x)) ± ⋯ ± ( fn( x))dxdx dxdxEjemplo 4.- Encuentre las derivadas de las siguientes funcionesa) h ( z)= z +24z4; b) g( x)= −43x3 + 3xSolución: a) Reescribimos h ( z)=1/ 2 4 2z + z . Esta última reescritura se deriva aplicando primero la3propiedad de la suma. Así′Al primer término aplicamos la regla de la potencia y al segundo⎛ / 2 4 2 1/ 2 4 2′()⎞h z = ⎜ z + z ⎟ = ( z )′+ ( z )⎝ 3 ⎠3la regla del factor constante..=1 − 1 / 2 4 2z + ( z )′2 3Aplicamos al segundo término la regla de la potencia

13− 4b) Reescribimos primero antes de derivar g(x)= 4x− 3 + 3x. Ahora aplicamos la propiedad de lasuma y diferencia.′ = ( − + ) ′Al primer y tercer término se aplica la regla del factor− 4constante y al segundo la regla de la constante. No seg ( x)4x3 3xsuelen reescribir las constantes.− 4= (4x)′− ( 3) ′ + (3x)′−= 4( x )′− 0 + 3( x)4′−= − 16x5 + 3Reescribir para derivar:La última igualdad se obtuvo al aplicar la regla de lapotencia a los términos en derivaciónReescriturard) Un cociente donde el denominador consta de un solo término en x .r1rnr1rna x + ⋯ + anxa x anxa1 11 r k a1 −n rn− k= + ⋯ + = x + ⋯ + x , rkkki, k constantescx cx cx cc523x− 2x− x3x2xxEjemplo d: Si g(x)= , entonces se reescribe como una suma : g(x)= − − ,22 2 23x3x3x3xla cuál se sigue simplificando para que quede expresado de tal manera que posteriormente se use lasreglas del factor constante y el de la potencia. De esta forma obtenemos que g puede ser expresadocomo:3 2 1 − 1g(x)= x − − x3 3Ahora podemos derivar con facilidad usando primero la regla de la suma′⎛ 3 2 1 − 1 ⎞g ′( x)= ⎜ x − − x ⎟ .⎝ 3 3 ⎠2 1(3 − 1= x )′− ( )′− ( x )3 3′2 1− 2= 3x− ( − 1) x352Reescriturae) Un Producto se transforma en una suma al usar la propiedad distributiva.Ejemplo e: g ( x)= x(3x− 4 x − 1). Esta función posteriormente puede interpretarse como unproducto, pero conviene para derivar reescribir usando la propiedad distributiva, transformándoseentonces en una suma.1/ 2g(x)= x (3x− 4 x − 1)=1/ 23x⋅ x − 4x− x1/ 23/ 21/ 2g( x)= 3x− 4x− x .Esta última forma de reescribir g es la que derivamos, aplicando la propiedad de la suma primero,luego del factor constante y de la potencia después. De esta manera/ 2g ′(x)= (3x− 4x− x3 1/ 2′/ 2= (3x)′− (4x)′− ( x3 1/ 2′))

143 / 2 1 − 1/ 2= 3( x )′− 4( x)′ − x . Derivamos los términos que se indican2=92x1/ 2− 4 −12x1/ 21Podemos dejar de esta forma la derivada pero también podemos sacar1/ 22xexpresar la derivada como− 1/ 2g ′(x)=x2(9x− 8x1/ − 1)2de factor común paraEjercicio de desarrollo: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones, reescribiendolaspreviamente.23x − 2x+ 1a) f ( x)= x ( x − 3x)b) g(x)=3 xEjemplo 5.- Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f ( x)= 2x 2 + 1 en a) x = − 1,b) x = 0 y c) x = 1. Grafique la curva y = 2x2 + 1 y las rectas tangentes en x = − 1, x = 0 y x = 1 .Solución.- Para calcular la pendiente de la recta tangentese debe primero encontrar la derivadaf ′( x)= 4xa) En x = − 1, la pendiente es f ′( − 1) = 4( − 1) = − 4b) En x = 0 , la pendiente es f ′( 0) = 4(0) = 0c) En x = 1, la pendiente es f ′( 1) = 4(1) = 4Una manera de obtener la ecuación de una recta es usar la ecuación punto-pendiente:y − y ) = m(x − ) .(0x0Para ello necesitamos un punto x , ) por el cual pasa la recta y la pendiente m de la misma.(0 y 0Si se necesita determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f (x)cuandox = x 0 entonces el punto es ( x0, y0) = ( x0, f ( x0) ) .m = fx 0Es claro que la pendiente es ( )Ejemplo 6.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x)=x − 3x+ 3en x =32 .Solución.-• Se determina completamente el punto ( 0 , 0 )Para determinar completamente el punto sobre la gráfica evaluamos la función en x = 2 .3

1721.19) f ( x)= 2x− 2x; 1.20) f ( x)= 4; 1.21) f ( x)= x ⋅ x ;3 x2 221.22) f ( s)= s (3s); 1.23)2 3f ( s)= s 3s; 1.24) f ( x)= x(4− 5x− x ) ;222x − xx(3− x )1.25) 3 2f ( s)= s ( s − 2s); 1.26) f ( x)= ; 1.27) f ( x)=3x2 x2 2x6Respuestas: 1.1) 7x ; 1.2) 18 x ; 1.3)0; 1.4) 5 ; 1.5) 2xln2; 1.6) x ; 1.7) ; 1.8) − 2 x + 2 ;3 33 − 1/ 4 − 4 / 32 61.9) 9w ( w − 1); 1.10) 216 x ; 1.11)-5x; 1.12) − 5x; 1.13) x 3 ( x2 + 2); 1.14) s + s ;41.15) − 283 59 ⋅ x; 1.16) 4 3q 15−− 3 2x 4 ; 1.17) −22 ; 1.18) +4 ; 1.19) 2 − ; 1.20)5q5 q2 x1− ; 1.21) (5/4) 4 3x ; 1.22)336s ; 1.23)12s 3 3; 1.24) 4 − 10x − 4x;3 x2 / 32sx − 2 3 − 5x1.25) (4s− 5); 1.26) ; 1.27)33x 4 x22) Para cada una de las siguientes curvas encuentre la pendiente de la recta tangente en x=1. Graficar lacurva y la recta tangente en x=1a) y = − x3 − 4 ; x=1; b) y = 2 x − 3 .3) Encuentre la recta tangente a la curva en el punto dado3.1) y = 2x3 − 6x+ 1; x=-1; 3.2) y = 2x3 − 4x+ 1; x=-1; 3.3)2x − xy = ; x=4x4) Para cada una de las siguientes funciones encuentre los puntos en los cuales la recta tangente a lagráfica de la función en esos puntos es horizontal.4.1) F(x)= x− 4x; 4.2) G( x)=3x −2x ; 4.3*) H ( x)=4x − 8x+ 1; 4.4*) K( x)=4x −2x(* la ecuación que se plantea se resuelve por Ruffini o factorizando directamente por productosnotables)5*) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F ( x)=4x + 8x− 2 que esparalela a la recta y = 4 x + 1.(* plantear F ′( x)= 4 , (¿por qué?) consiga la solución x 0 de la ecuación, forme la recta con pendienteF ′( x 0 ) = 4 y que pasa por el punto x , F()) , justifique el procedimiento)( 0 x036*) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F ( x)= x − 6x− 1 que esparalela a la recta 2 y + 6x + 1 = 0 .(* Imite el ejercicio anterior, puede existir más de una solución)x7*) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F ( x)= que es paralela a3la recta 2 y + 6x + 1 = 0 .

18Respuestas: 2)PROBLEMAS EN CIENCIAS SOCIALES3.1) y = 0 3.2) y= 2 + 5x ; 3.3)17 − x +164.1)(2,-4) ; 4.2) ( 2 4, − ) ,(0,0); 4.3)3 273 32 1 2 1( 2, − 6 ⋅ 2) ; 4.4) ( , − ) , ( − , − )2 4 2 4y (0,0)5) y + 9 = 4( x + 1); 6) y + 4 = − 3( x − 1);y − 6 = − 3( x + 1) ; 7) No existe1) Se proyecta que dentro de x meses, la población de cierto pueblo será de 2P ( x)= 2x+ 4x+ 5000a) ¿A qué razón cambiará la población respecto al tiempo dentro de 9 meses? b) ¿A qué razónporcentual cambiará la población respecto al tiempo dentro de 9 meses?Respuesta: a) 20 personas por mes, b) 0.39%334PROBLEMAS EN ECONOMÍA21) El PIB de un país t años después del 1 de enero del 2001 es aproximado por N ( t)= t + 8t+ 170mil millones de UM. a) Estime la tasa de cambio al comienzo del 2007 b) Estime la tasa de cambioporcentual del PIB al comienzo del 2007 Respuesta: a) 20 miles de millones por año, b) 7.87%2) Las ganancias trimestrales de la compañía EME depende de la cantidad x (en miles de UM) invertidaen publicidad dada por la siguiente relación.− 1P( x)= + 7x+ 30 miles de UM2x¿Cuál es la razón de cambio de las ganancias trimestrales si se invierten 100000 UM en publicidad?Respuesta: 3499/500 miles de UM3) Un nuevo artículo ha sido introducido al mercado. Se espera que la demanda del artículo sea de3 / 2q = 300 + 0.5t+ 0.05tunidades al cabo de t meses. ¿A qué razón porcentual cambiará la demandamensual dentro de 9 meses? Respuesta: 0.23 %4) Se ha decidido establecer el precio de la gasolina por mes de acuerdo a la siguiente formula3 / 2p = 15 + 0.3t+ 0.08tUM contados a partir del próximo mes. ¿A qué razón porcentual cambiará elprecio de la gasolina un mes después de implementado el plan tarifario? ¿4 meses después? ¿9 meses?Respuesta: 2.73%; 3.2%; 3.32%

19ANÁLISIS MARGINALEn economía el concepto marginal se refiere al cambio instantáneo de una cantidad con respectoa otra. Esto es la derivada de una cantidad con respecto a otra. Daremos a continuación el concepto y lainterpretación de varias cantidades marginales de uso frecuente en economía.COSTO MARGINALSea (q)C el costo total de producir q unidades de un determinado artículo. Aún cuando en lamayoría de los casos q es un número entero, en la teoría y en la práctica es conveniente considerar eldominio de C un intervalo de R. En economía se está interesado como los costos cambian cuando hayincrementos en la producción. La derivada puede ayudar a analizar estos cambios de una manera rápida.La derivada del costo total, C′ (q), se llama costo marginalCosto marginal= C ′(q)En general se interpreta el costo marginal , C′ (q), como el costo aproximado de producir launidad q + 1. Veamos la justificación.Recuerde que el costo de las primeras q + 1 es C ( q + 1). Así queEl costo exacto de la unidad q + 1 = C( q + 1) − C(q)C( q + 1) − C(q)=1Esta última expresión es una aproximación de la derivadacon h = 1Así puesVeamos los siguientes ejemplos.C ′(q)≈C(q +h)− C(q)hC′ (q)≈ costo de producir la unidad adicional q + 1Ejemplo 1.- La función de costo total por producir y vender q artículos está dada por:2C ( q)= 0.001q+ 1.1q+ 30 en UM.a) Encuentre la función de costo marginal.b) Encuentre el costo marginal en q = 40c) Interprete sus resultados.Solución:a) Para conseguir la función de costo marginal derivamos la función de costo total.2C ′(q)= (0.001q+ 1.1q+ 30) ′C ′(q)= (0.001q) + (1.1q)′+2′C ′( q)= 0.002q+ 1.1UM(30)b) El costo marginal en q = 40 está dado porC′( 40) = 0.002 ⋅ 40 + 1.1 = 1.18 UMc) El costo de producir la unidad 41 es aproximadamente 1.18 UM

20El lector debe darse cuenta lo tedioso que hubiese sido calcular el costo de la unidad 41 de unamanera exacta. En el siguiente ejemplo haremos el cálculo aproximado y exacto pero antes recordemosel siguiente concepto.Si C(q)es el costo total de producir q artículos, el costo promedio por artículo se define comoC(q)C ( q)=qEn el ejemplo anterior el costo promedio por artículo está dado porC ( q)=0.001q2+ 1.1q+q30= 0 .001q+ 1.1 +130qEl lector puede verificar que C ( 40) = 1. 89 , lo cual representa el costo de cada artículo enpromedio cuando se producen 40 artículos. Este valor es muy distinto al costo marginal en 40 querepresenta aproximadamente el costo de producir la unidad 41. Podemos ver entonces que el costopromedio y el costo marginal son dos conceptos distintos pero relacionados. Usando los dos conceptos,podemos decir en nuestro ejemplo que los primeros 40 artículos cuestan 1.89UM en promedio y fabricaruno más le costaría tan sólo 1.18UM.Ejemplo 2.- La función de costo promedio de un producto está dada por C ( q)= 0.1q+ 120 +22000qa) Encuentre la función de costo marginal.b) Encuentre el costo marginal cuando q = 40 y cuando q = 60c) Encuentre el costo de producir la unidad 41.d) Interprete los resultadosSolución:Recuerde que el costo marginal es la derivada del costo total. Así que debemos conseguir la función decosto total primero despejándola en la ecuación C ( q)=C(q)qC( q)= q ⋅ C ( q)22000C ( q)= q ⋅ (0.1q+ 120 + )qSe distribuye a fin de obtener una expresión más sencilla para derivar2 22000C(q)= 0.1q+ 120q+ qqC(q)= 0.1q+ 120q+222000a) Derivamos la función costo total recién obtenida2C ′(q)= (0.1q)′+ (120q)′ + (22000)′C ′( q)= 0.2q+ 120b) El costo marginal cuando q = 40 está dado porC ′( 40) = 0.2 ⋅ 40 + 120 = 128El costo marginal cuando q = 60 está dado porC ′( 60) = 0.2 ⋅ 60 + 120 = 132c) Recordemos que el costo exacto de la unidad q + 1 es igual a C( q + 1) − C(q). Así

21El costo exacto de la unidad 41 = C( 41) − C(40)C(41)=C(40)=20.1⋅410.1⋅402+ 120 ⋅ 41 ++ 120 ⋅ 40 +2200022000C(41)− C(40)=0.1(412−240 ) + 120 =128.1 UMd) C ′( 40) = 128 se interpreta como el costo aproximado de producir la unidad 41. Efectivamenteeste costo está bastante cercano al costo exacto de la unidad 41 que es 128.1.C ′( 60) = 132 es el costo aproximado de producir la unidad 61 si se decide aumentar laproducción de 60 a 61 unidades. También podemos decir que los costos totales aumentaríanaproximadamente en 132UM si se decide fabricar una unidad adicionalComentarios.- El costo de la unidad adicional depende del nivel de producción.Algunos autores prefieren interpretar C ′(q)como el aumento aproximado en los costos si se decideaumentar la producción en una unidad. ¿Por qué?INGRESO Y UTILIDAD MARGINALPodemos hacer un análisis similar para la función ingreso y utilidad total.Sea I (q)la función ingreso total por producir y vender q productos. El ingreso marginal sedefine como la derivada del ingreso total:Ingreso marginal= I ′(q)y se suele interpretar como el ingreso por producir y vender la unidad adicional q + 1 cuando el nivelde producción es q .1Ejemplo 3.- La ecuación de demanda de un artículo está dada por p = (40 − q). Encuentre la función5ingreso marginalSolución: Tenemos que conseguir la función de ingreso. Recuerde que I ( q)= pqAsí1I ( q)= (40 − q)q5Reescribimos antes de derivar, distribuyendo solo la variable12I(q)= (40q− q )5Derivamos, usando primero la regla del factor constante1I ′(q)= (40q− q2 )′5Podemos ver finalmente, usando la regla de la diferencia que el ingreso marginal está dado por1I ′( q)= (40 − 2q)5Recordemos:Sea U (q)la función utilidad total por producir y vender q productos. Recuerde que lautilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo, esto esU ( q)= I(q)− C(q)

22La utilidad marginal se define como la derivada de la utilidad total:Utilidad marginal= U ′(q)y se suele interpretar como la utilidad por producir y vender una unidad adicional cuando el nivel deproducción está en q .Ejemplo 4.- Un comerciante estima que su ingreso mensual por la venta de un artículo sea2I( q)= 30q− 0.02q, para 0 ≤ q ≤ 1500 . Si el costo de adquisición es de 10UM por cada artículo.a) Encuentre la función de utilidad marginalb) ¿Cuál es el nivel de adquisición y venta en que la utilidad marginal es 0?c) Interprete el resultado anterior.Solución:a) La función de utilidad marginal es la derivada de la función utilidad total. Debemos conseguirprimero U (q)mediante la relaciónU ( q)= I(q)− C(q)La función costo total está dada porC(q)= 10 ⋅ qDe esta manera2U ( q)= (30q− 0.02q) − (10q)Simplificando se obtieneU ( q)= 20q− 0.02qLa utilidad marginal es la derivada de U (q)U ′(q)=(20q)′− (0.02q= 20 − 0.04q .b) Para calcular el nivel en que la utilidad marginal es 0 debemos plantearU ′( q)= 020 − 0.04q= 0Resolviendo, obtenemosq = 500El nivel de adquisición y ventas en que la utilidad marginal es 0 es 500 artículos.c) Esto se puede interpretar como: La utilidad dejada por la adquisición y venta de una unidad porencima de 500 es aproximadamente 0. La negociación de una unidad extra en este nivel decomercialización no aportaría ganancia ni perdida al negocio.22)PROPENSION MARGINAL AL AHORRO Y AL CONSUMO.Pensemos primero estos conceptos a nivel de un individuo. Si una persona tiene un ingresomensual variable de I, una cantidad C la consume en bienes y servicios y otra S la ahorra. Es decirI = C + S . Es claro que los porcentajes de lo que ahorra y lo que consume depende del nivel deingreso. Es probable que un individuo cuando reciba muy poco prácticamente lo gaste todo y en cambiosi recibe una gran cantidad ahorre una parte. Así pues podemos pensar que el consume C es una funcióndel ingreso.Podemos extrapolar estos conceptos a nivel de una nación. Sea I el ingreso nacional disponible(en miles de millones de UM) .La función de consumo nacional, C (I), es la cantidad de dinero del ingreso que se consumeLa función de consumo nacional, S (I), es la cantidad de dinero del ingreso que se ahorra.

23Definición.- Se llama propensión (o tendencia) marginal al consumo a la derivada de C con respecto a I:dCC ′( I)= =propensión (o tendencia) marginal al consumodILa propensión (tendencia) marginal al ahorro se la define como la derivada de S con respecto a I:dSS ( I)= = propensión (o tendencia) marginal al ahorro.dIPodemos ver que a nivel del ingreso nacional la relación I = C( I)+ S(I)se cumple. Alderivar ambos lados quedadIdI=dCdI+dSdI1 =dC +dIAsí que las dos propensiones marginales suman 1. Frente a un pequeño incremento de ingresonacional, podemos interpretar las propensiones marginales como las proporciones de ese incremento quese ahorran o se consume.I 4 IEjemplo 5.- Suponga que la función de consumo de un país está dado por C ( I)= + + 7 donde I3 5y C vienen dadas en miles de millones de UMa) Encuentre las propensiones marginales al consumo y al ahorro cuando el ingreso nacional es de 9mil millones de UM.b) Interprete sus resultadosSolución:a) Se calcula la propensión marginal al consumo.dCdII 4 I= C ′( I)= ( )′+ ( )′+ (7)′3 54= ( I)′ + ( I3 51 1 / 2 ′4 1= + ⋅ I4 5 2=1 − 1/ 21 +352I)′+)Para calcular la propensión marginal al ahorro nos valemos de la formula(7)dSdI1 =dC dS +dI dIdS dC= 1 −dI dISe procede ahora a evaluar las propensiones marginales en I = 9dC1 2 1 2 7= C ′(9)= + = + =dII = 93 5 9 3 15 15dS dC 7 8= 1 − = 1 − =dI dI 15 15

24b) Para un nivel de ingreso nacional de 9 mil millones de UM, si hay un aumento en un millardo de7unidades monetarias, aproximadamente el 46.6% ( ⋅ 100 ) de ese aumento se consume y el 53.3%15se ahorra. Es decir 466,6 millones se consumen y 533,3 millones se ahorran aproximadamente.PROBLEMAS DE ANÁLISIS MARGINAL2q 201) Sea C ( q)= + + 450 el costo total por producir q artículos. a) Encuentre la función de costo5 qmarginal. b) ¿Cuál es el costo marginal para q = 10 ? c) Interprete sus resultados.2q20Respuesta: a) C(q)= −2 ; b) 3.8UM.5 q22) Si C = − 0.1q+ 2q+ 850 representa el costo total de producir q unidades de un producto. a)Encuentre la función de costo marginal. b) ¿Cuál es el costo marginal para q = 3 ? c) ¿Cuál es el costoreal por producir la unidad 4? Respuesta: a) c ′( q)= − 0.2q+ 2;b) c ′( 3) = 1. 4 ; c) c( 4) − c(3)= 1. 33003) Si c( q)= 2 + es la función costo promedio de producir q unidades de un producto. a)qEncuentre la función de costo marginal. b) ¿Cuál es el costo marginal para q=30? c) Interprete susresultados. Respuesta: a) c ′( q)= 2;b) c′ ( 30) = 24) La función de ingreso total viene dada por I = 2q(20− 0.2q). a) Encuentre la función de ingresomarginal; b) El ingreso marginal para q = 10 ; c) el ingreso marginal para q=20; d) Interprete susresultados. Respuesta: a) I ′( q)= 40 − 0. 8q; b) 32UM; c) 24UM5) Si la ecuación de demanda es p = 500 − q3 , calcule el ingreso marginal.225Respuesta I ′( q)= 500 − q333 26) El costo total de un fabricante es C ( q)= 0.1q− 0.5q+ 500q+ 200 UM, donde q es el número deunidades producidas.a) Utilice el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la cuarta unidadb) Calcule el costo real de fabricar la cuarta unidad. Respuesta: a) 499,7; b)500,27) El ingreso total mensual de un fabricante es I ( q)= 240q+20.05qUM cuando produce y se vendenq unidades al mes. En la actualidad, el fabricante produce 80 unidades mensuales y planea aumentar laproducción en una unidad.a) Utilice el análisis marginal para estimar el ingreso adicional que generará la producción y ventade la unidad 81.b) Utilice la función ingreso para calcular el ingreso adicional real que generará la producción yventa de la unidad 81. Respuesta: a) 248; b) 248.058) La ecuación de demanda de un artículo es p = 200 −q.a) Determinar la función de ingreso4marginal b) El ingreso marginal cuando q = 20 c) ¿Cuál es el ingreso real por vender la unidad 21?Respuestas: a) p = 200 −qb) 190UM; c) 189.75UM2

259) La ecuación de demanda de un tipo de reloj es 3 q + 20 p = 800 .a) Determinar la función de ingreso3marginal. b) Si la función de costo total por la producción de q qrelojes es C ( q)= + 10 , calcule la233qq 1utilidad marginal. Respuestas: a) 40 − ; b) 40 − −2 215 15 6 q210) La ecuación de demanda de un producto es q + 100q+ 1000 p = 8000 . a) Determinar la función deingreso marginal. b) Si la función costo total por la producción de q 5qproductos es C ( q)= 500 + ,10022calcule la utilidad marginal. Respuestas: a) 8 − 0.2q − 0.003q; b) 8 − 0.3q − 0.003qI 8 I11) La función de consumo de cierta nación está dada por C ( I)= − + 4 UM. Encuentre la2 3propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I= 36 UM. Interprete sus resultados.Respuesta: 5/18; 13/1812) La producción semanal de una fabrica depende del número de obreros x en la planta y está dada porP(x)= − 2x2 + 1600x. Si la fabrica cuenta en este momento con 30 obreros, a) use derivadas paraestimar el cambio de la producción si se contrata un obrero más b) Haga el calculo exacto.Respuesta: a) 1480; b) 1478 unidades13) La ecuación de demanda de un producto está dada por 45 p + q 3 = 7000 Si la función de costo3está dada por C ( q)= 45 + q . a) Calcule la utilidad marginal cuando se producen y se venden 100unidades. b) Interprete sus resultados. Respuesta: a) 85UM14) Un kiosco de comida rápida prepara hamburguesas a un costo de 2UM cada una. Lashamburguesas se han vendido a 5UM cada uno y a ese precio, los consumidores han comprado 4000 almes. El dueño planea incrementar el precio de las hamburguesas y estima que por cada UM de aumentoen el precio se venderán 200 hamburguesas menos. Calcule la utilidad marginal en función del númerode hamburguesas vendidas, suponiendo que la ecuación de demanda es lineal. Respuesta: − q23100 +15) Un distribuidor vende 5000 lavadoras al mes si el precio es de 40UM cada una y estima que porcada incremento de 5UM las ventas bajarán en 300 lavadoras. Si el costo de adquisición de cadalavadora es de 25UM. Suponga que la ecuación de demanda es lineal. Calcule la función utilidadmarginal en función del número de lavadoras adicionales a las 5000. Respuesta: 23000 − 3000q16*) Se estima que un gimnasio tiene 500 clientes cuando la cuota es de 30UM y si sube el precio a 40el número de clientes se reduce a 450. Suponga que existe una relación lineal entre el número de clientesy la cuota mensual. a) Determine la función de ingreso. b) Determine el ingreso marginal.1Respuestas: a) I q 2 2= − + 130q; b) I ′ = − q + 1305517*) El calendario ecológico es vendido a 20UM., a ese precio se compran 25.000 ejemplares. Se haestimado que si el precio aumenta a 30UM se venderán 15.000 unidades. El costo de producción de qunidades está dado por C( q)= 500 + 5q. Suponiendo que hay una relación lineal entre el precio y lademanda de calendarios. a) Encuentre la utilidad marginal. b) Calcule la demanda q 0 para la cual lautilidad marginal es cero. c) Calcule el precio p 0 para esta demanda. d) Calcule la utilidad en p 0 − 1 ,p 0 y p 0 + 1 (*para calcular la ecuación de demanda use la ecuación pto-pendiente, calculandopreviamente la pendiente)Respuestas: a) ′ = − qU 40 ; b) q 20. 000 ; c) p 25 ; d) U (24) = 459.42 , U (25) = 499.38,U (26) =539.32 UM500 +0 =0 =2

26REGLAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTELa función2h ( x)= (3x+ 4x+ 1)( x + 1)la podemos derivar usando las ideas de la secciónpasada, podemos reescribir la función aplicando la propiedad distributiva y luego sumar términossemejantes. Sin embargo, tal como está se puede interpretar como el producto de dos funciones2f ( x)= 3x+ 4x+ 1 y g ( x)= x + 1 y para derivar se usa entonces la regla del producto que acontinuación se enuncia.Regla del producto: Sean f y g funciones derivables en x, entonces f ⋅ g también es derivable en xy(( f ⋅ g)′(x)= f ′(x)g(x)+ f ( x)g ′(x).La derivada de un productote dos funciones es la derivada de la primera por la segunda sinderivar más la primera por la derivada de la segundaAl final de esta sección daremos de prueba de esta regla.2Ejemplo 1.- Encuentre la derivada de la siguiente función h(x)= (3x+ 4x+ 1)( x + 1)2Solución: Aplicamos la regla del producto a la función h ( x)= (3x+ 4x+ 1)( x + 1), interpretando a2h como el producto de las funciones f ( x)= 3x+ 4x+ 1 y g ( x)= x + 1. Asíh ′( x)= f ′(x)g(x)+ f ( x)g ′(x)2 2= (3x+ 4x+ 1) ′(x + 1) + (3x+ 4x+ 1)( x + 1) ′2 1 − 1/ 2= (6x+ 4)( x + 1) + (3x+ 4x+ 1) x2Aplicando la propiedad distributiva y agrupando términos semejantes tenemos15 3/ 21/ 2 1 − 1/ 2h ′(x)= x + 6x+ 6x+ 4 + x .22Observe que se deja la derivada indicada y sederiva en la siguiente líneaEjercicio de desarrollo: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones22a) h ( x)= 3( x − 3x− 3); b) f ( x)= ( x − x + 1)( x − 3x− 3)La demostración de la regla del producto se hace al final de esta sección. Otra regla que vamos anecesitar es la derivada de un cociente que a continuación presentamosRegla del Cociente: Sean f y g funciones derivables en x y g ( x)≠ 0 , entonces f / g es derivableen x y( ) ( ) ( ) ( )( f f ′ x g x − f x g x)′(x)=′gg2 .( x)

27La regla de cociente es un poco más complicada que las anteriores. Pero observe como alescribirla se a puesto cierta semejanza con la regla del producto, excepto el signo menos en elnumerador y que contiene un denominador igual al denominador de la función a derivar al cuadrado.x + 4x+ 1Ejemplo 2.- Encuentre la derivada de la función h( x)=3x − 1Solución: Aplicamos la regla del cociente interpretando a h como el cociente de la función2f ( x)= x + 4x+ 1 entre g ( x)= x 3 − 1 . AsíLa derivada la calculamos en varios pasosf ′(x)g(x)− f ( x)g ′(x)dejando indicada algunas derivaciones parah′( x)=analizarla y derivarla en las líneas siguientes.g(x)2( x=( ) 2+ 4x+ 1) ′(x3− 1) − ( x( x3− 1)223+ 4x+ 1)( x− 1) ′2En ambas derivadas se aplica la propiedad de la sumay de la potencia=(2x+4)( x3− 1) − ( x( x32− 1)2+4x+ 1)3x2Se aplica la propiedad distributiva. En el segundo termino2distribuimos el 3x . Observe la necesidad de mantener elparéntesis.=2x4+4x3−2x−( x4 − (3x3− 1)24+ 12x3+3x2)Se distribuye el menos.432x+ 4x− 2x− 4 − 3x− 12x− 3x=3 2( x − 1)Agrupando términos semejantes finalmente obtenemos:− xh′( x)=4− 8x3( x− 3x32− 1)24− 2x− 432Ejercicio de desarrollo: Encuentre la derivada dex + 2 x + 1a) f ( x)=; b)x − xf ( x)=x −x + 15Comentario: Le recordamos que en este último ejercicio es conveniente reescribir la función como:1f ( x)= ( x − x + 1) para luego aplicar la regla del factor constante. Resulta más largo aplicar la regla5kdel cociente. Más adelante se presentarán las formas f ( x)= que conviene escribirlas comof ( x)− 1f ( x)= k(f ( x))para emplear otra regla distinta a la regla del cociente, la cual resulta máslaboriosa.Ejemplo 3.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = (20 −23x)(x − 3x− 1)en el puntodonde x=4Solución :

28• Se determina completamente el punto sobre la gráfica evaluando la función en x = 4 .y(4)=(20 − 3 ⋅ 4)(42− 3 ⋅ 4 − 1) =8 ⋅ 3 =Remarcamos que queremos la recta tangente a la gráfica de f (x)en el punto ( 4,24).• Para determinar la pendiente se calcula y′ y luego se evalúa en x=4Usamos la regla del producto para conseguir la derivada22y ′ = (20 − 3x)′(x − 3x− 1) + (20 − 3x)(x − 3x− 1)′y ′ = − 3(x2 − 3x− 1) + ( 20 − 3x)(2x− 3)Podemos simplificar este resultado, pero preferimos evaluar de una vez242y ′(4)= − 3(4 − 3 ⋅ 4 − 1) + ( 20 − 3 ⋅ 4)(2 ⋅ 4 − 3)y′ ( 4) =31Esto es m tag = 31.• Finalmente para calcular la recta tangente usamos la ecuación punto pendiente( y − y0 ) = m(x − x0)( y − 24) = 31⋅( x −Llevándolo a la forma pendiente-ordenada en origen tenemos que la recta tangente en el punto( 4,24) es:y = 31x− 100APLICACIONESEjemplo 1.- El gobierno va implementar unas medidas para disminuir el porcentaje de desempleo en elpaís. Él prevee que el impacto de sus medidas se verá reflejado en el siguiente modelo20.15t− 0.2t+ 0.17P( t)=⋅ 1002t + 1.1donde P es el porcentaje de desempleados en el tiempo t, medidos en años.a) Encuentre la función que modela la tasa de cambio instantáneo del porcentaje de desocupadosuna vez que se apliquen las medidas.b) Estime la tasa de cambio instantáneo a los 3 meses, 6 meses, 1 año y 2 años.Solución :La tasa de cambio instantáneo no es otra cosa que la primera derivada. Así que la calculamosusando la regla del cociente previamente sacamos 100 fuera de la derivada2′⎛ 0.15t− 0.2t+ 0.17 ⎞P′( t)= 100⎜⎟2⎝ t + 1.1 ⎠(0.3t− 0.2)( tP′( t)= 1000.2tP′( t)= 1002( t22+ 1.1)2+ 1.1) − (0.15t( t− 0.01t− 0.222+ 1.1)22− 0.2t+Para medir la tasa de cambio a los tres meses,evaluamos en t = 1/ 4 la primera derivada:4)0.17)(2t)

292 10.2(0.25) − 0.01⋅− 0.22P′ ( 0.25) = 1004= − 15,8%2 2((0.25) + 1.1)2 10.2(0.5) − 0.01⋅− 0.22P′ ( 0.5) = 1002= − 9,602%2 2((0.5) + 1.1)20.2(1) − 0.01⋅1 − 0.22P′ ( 1) = 100=2 2((1) + 1.1)− 0,68%0.2(2) − 0.01⋅2 −P′ ( 2) = 1002 2((2) + 1.1)20.22=2.15%EJERCICIOS1) Derive las siguientes funciones221.1) f ( x)= (4 − x )( x + 1); 1.2) f ( x)= 4 − x ( x + 1);2231.3) f ( s)= ( s + 1)(3s− 3s); 1.4) f ( x)(2x− 1)(4 − 5x− x )= ;21.5) h ( s)= 2s(s + 2 s − 1); 1.6) f ( x)= 3( x − 3)(4 − x);4 − q21.7) f ( x)= ( x − 1)( x − 2)(2 − x ) ; 1.8) C(q)= ;5q34 − qq − 11.9) C ( q)= ; 1.10) C ( q)=q 2 2 ;− 1q − 2q+ 122t+ 3t− 121.11) f ( t)= ; 1.12) f ( x)= ;3t3 x23 33s + 5s+ 61.13) f ( x)= x ⋅ x ; 1.14) f ( s)=;2s + 4s+ 41.15) ( )2 /23 2x − x 1−x 1f s = s ( s − 2s); 1.16) f ( x)= +− ;x − 1 2x− 4 3x22x(3− x )( x − 1)(3 − x )1.17) f ( x)= ; 1.18) f ( x)= ;3 x3(1 − x)2x− 32) a) Utilice la regla del cociente para derivar la función f ( x)=3x− 3b) Reescriba la función como f ( x)= x (2x− 3)y derívela como un producto.− 2c) Rescriba la función como f ( x)= 2x−− 33xy derívela como una suma.d) Demuestre que todas las respuestas son iguales.3) a) Utilice la regla del cociente para derivar la función f ( x)=x − 2 x + 1xb) Reescriba la función como un producto y derívela usando la regla del producto.c) Reescriba la función como una suma y derívela usando la regla de la suma. (no use la regla delcociente ni del producto)d) Demuestre que todas las respuestas son iguales.34) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = ( x −23x)(x − x)en el punto donde x=4.5) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva2x− 1y = en el punto donde x = − 1.1 − 3x

306*) Encuentre los puntos en los cuales la recta tangente a la gráfica de la funciónhorizontal.x + 1f ( x)= esxRespuestas: 1.1) − 3x 2 − 2x+ 4 ; 1.2) 3x 2 3 22 3− − 2x; 1.3) 12s − 9s+ 6s− 3 ; 1.4) 13 − 20x+ 3x− 8x; 1.5)25 222 3 x4 q − 8q+ 1s s + 2 2 − ; 1.6) 3( + 3 − )3 2; 1.7) − 4x + 9x− 6 ; 1.8) −2 ; 1.9)22 sx 25q2 2; 1.10)( q − 1)22q − 2q− 2 10t + 6t+ 1 12; 1.11); 1.12) − ; 1.13) (1+1/33) 33q − 2q+ 13 43x ; 1.14) −3 t3 xs22 1 3 − 5xx − 11.15) s 2/ 3 (8/3s− 10/3); 1.16) − 1 ++2 2 ; 1.17) ; 3) ;(2x− 4) 3x36 x 2 x1 134) y − 728 = 1033( x − 4); 5) y = − x − ); 6) (1,2)16 1621;+ 4s+ 4PROBLEMAS EN ECONOMÍA1) Encuentre la función ingreso marginal cuando I = 2q(30− 0.1q). Encuentre el ingreso marginal paraq=10. Interprete sus resultados. Respuesta: I ′ = 60 − 0. 4q; I`(10)=56q + 7502) p = representa la ecuación de demanda para cierto artículo donde p denota el precio porq + 50unidad cuando se demanda q unidades. Encuentre la función de ingreso marginal.2q + 100q+ 37500Respuesta: I ′ =2)( q + 50)23) El Producto Nacional Bruto de cierto país crece con el tiempo de acuerdo con PNB(t)= t + 4t+ 20 .2La población al tiempo t es P(t)= 0.1t + t + 2 (millones de habitantes). Calcule la razón de cambio delPNB(t)ingreso per capita en el instante t=10. (El ingreso per capita se define como f ( x)= el ProductoP(t)Nacional Bruto dividido entre el tamaño de la población.) Respuesta: 0.0994) Se espera que la venta de un nuevo equipo de sonido siga el siguiente comportamiento con respecto al10tnúmero de meses luego que se ha lanzado al mercado S( t)= miles de equipos al mes.t 2 + 30a) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 3 meses.b) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 6 meses.c) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 9 meses.d) Interprete sus resultados.Respuesta: a) 0.1381x1000; b)-13.8; c) -41.4; d) A los diez meses se venderán aproximadamente 41equipos menos que en el mes anterior.− p5) La ecuación de demanda de cierto artículo es q = 250 . Determinar la razón de cambio de lapdemanda con respecto al precio. a) Calcule esta razón de cambio para p=5. b) Interprete sus resultados.(Respuesta: a) − 25 , b) Si el precio aumenta en 1UM, es decir cuando pasa a 6UM, entonces lademanda disminuye en aproximadamente 25 unidades)6) Las ventas de un artículo V depende de la inversión x que se haga en publicidad mediante la30relación V ( x)= 100 − , donde x está expresado en miles de UM y V en miles de unidades. a)x + 5Encuentre la razón de cambio promedio de las ventas con respecto a la inversión en publicidad cuandox = 5 ; b) Interprete sus resultados. c*) Su interpretación se basa en hacer una estimación, haga el

31calculo exacto. Respuesta: a)300 unidades, b) Si la inversión aumenta en un 1000 UM, es decir ahorase gasta x=6 UM en publicidad, las ventas aumenta en 300 unidades aproximadamente; c) 272,73I + I + I + 67) Sea C ( I)=la función de consumo de cierto país, donde I y C vienen dadas enI + 2miles de millones de UM.. Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando el ingresoes de 16 miles de millones de UM. Interprete su resultado. Respuesta 0.868; Para un nivel de ingresonacional de 16 mil millones de UM, si hay un incremento del ingreso de la nación de mil millones deunidades monetarias, aproximadamente el 86.8% de ese aumento se consume y el resto se ahorra)38) SeaI + 2 I + 6S ( I)=la función de ahorro de cierto país. a) Encuentre la propensión marginal alI + 10consumo y al ahorro cuando I = 100 . b) Interprete sus resultados. Respuesta: C ′( 100) = 0. 89 ;S ( 100) = 0.119) El ingreso total por la venta de q3q+ 3.5qartículos está dada por I ( q)=. Encuentre el ingresoq + 1marginal cuando se venden 30 artículos. b) Interprete sus resultados. Respuesta: 3 UM10) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 100 matas de mangos por hectárea se obtendrá unvalor de la cosecha por árbol de 500 UM en su edad adulta. Se estima que por cada árbol que sesiembre de más hará que el valor promedio por árbol disminuya en 4 UM. Determine la función deingreso marginal en función del número de árboles adicionales sembrados después de 100.Respuesta: − 8 q + 1002Demostración de la Regla del Producto: Planteamos la derivada de la función ( f ⋅ g)(x)pordefinición:( )′( f ⋅ g )(x + h)− ( f ⋅ g )(x)f ⋅ g ( x)= limh→0 hf ( x + h)g(x + h)−= limh→0h= limh→0f ( x + h)g(x + h)−( f ( x)g(x))Se suma y resta f ( x)g(x + h)f ( x)g(x + h)+ f ( x)g(x + h)− f ( x)g(x)Límite de una sumahf ( x + h)g(x + h)− f ( x)g(x + h)f ( x)g(x + h)− f ( x)g(x + h)= lim + limh→0 hh→0 hSe reescribe⎛ f ( x + h)− f ( x)⎞⎛ g(x + h)− g(x)⎞= lim⎜g(x + h)⎟ + lim⎜f ( x)⎟h→0⎝h⎠h→0⎝h⎠Límite del producto= lim g(x + h)f ( x +h→0limh→0= f ′( x)g(x)+ f ( x)g ′(x)h)− f ( x)+ lim f ( x)g(x +h→h0limh→0h)−hg(x)Se usa definición de derivada

32REGLA DE LA CADENAHasta ahora funciones como h ( x)= x 2 + 1 no tenemos una regla para derivarla: no es unasuma, producto o cociente.La regla de la cadena es usada para derivar funciones compuesta. La función h ( x)= x 2 + 1 lainterpretamos como una composición. Si definimos f ( x)= x y g ( x)= x 2 + 1, entoncesh ( x)= ( f ° g)(x)= f ( g(x))Regla de la cadenaTeorema.- Sean f y g dos funciones tales que f es diferenciable en g (x)y g es diferenciable enx , entonces h = ( f ° g)es diferenciable en x yh ′(x)= f ′(g(x))⋅ g ′(x)La forma de decir la regla de la cadena en la práctica es:La derivada de una composición es la derivada de lafunción externa, f, evaluada en la interna por la derivada de lainterna.comoEn la notación de Leibniz si consideramos u = g(x), la regla de la cadena queda expresadadydx=dydu⋅dudxEjemplo 1.- Encuentre la derivada deh( x)= (2x+ 1)Solución: Se define la función interna como u = g(x)= 2x+ 1 y la externa comoEntonces h ( x)= ( f ° g)(x)ydu232= g ′( x)= 6xy f ′( u)= 33udxAplicando la regla de la cadena se obtieneh ′( x)= f ′(g(x))⋅ g ′(x)==3f ′( 2x+ 1) ⋅ 6x33233(2x+ 1) ⋅ 6x2= 198 x ( x + 1)3322233333f ( u)= u .Funciones como la del ejemplo anterior o como h ( x)= x 2 + 1 son de la forma ( g ( x)), en esteúltimo caso con r = 1/ 2 . Para derivar esta forma podemos usar directamente la siguiente:REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA:r ′ r − 1((g(x))) = r(g(x))g ′(x)r

33Demostración: Si definimos la externa comoh ( x)= ( f ° g)(x)ydu= g ′(x)ydxAplicando la regla de la cadena se obtieneh ′( x)= f ′(g(x))⋅ g ′(x)r( u)u y simplemente u = g(x)f =r − 1′f ( u)= ru. Entoncesr − 1= r( g(x)) ⋅ g ( x)′Ejemplo 2.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones: a) h ( x)= x 2 + 1 b)Solución:a) Reescribimosh′( x)=h′( x)=f ( x)=2 1/ 2h ( x)= ( x + 1) y aplicamos la regla de la cadena generalizada con = 1/ 2r((g(x))xx2 +c) Reescribimos1r − 12( 2( x + 3 ) ) ′′− 1f ( x)= x=⋅ g ′(x)=2− 1((x + 3 ) ) ′2 x1(2x22+ 1)1− 12− 1(2x)r :f ( x)= 2( x + 3x)y aplicamos la regla del factor constanteA la parte que queda por derivar se le aplica la regla de la potenciar − 12generalizada = 2r(g(x))⋅ g ′(x)con r = − 1 y g ( x)= ( x + 3x)x22 +3x=2( − 1)( x2 − 2 2′+ 3x)( x+ 3x)==2( − 1)( x2+ 3x)2(2x+ 3)−2 2( x + 3x)− 2(2x+3)22− 1Comentario. En este último ejemplo se reescribió f ( x)= como f ( x)= 2( x + 3x). Estex2 + 3xprocedimiento resulta útil si el numerador es numérico, pero en el caso que contenga la variable espreferible considerarlo como un cociente.Ejemplo 3.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones⎛ 2x+ 3 ⎞a) y = ⎜ ⎟ ; b)⎝ 3x+ 5 ⎠Solución:34 2 2f ( x)= (3x+ 5) ( x + 2) .⎛ 2x+ 3 ⎞a) La función y = ⎜ ⎟ es de la forma⎝ 3x+ 5 ⎠generalizada.r − 1y′ = r(g(x)⋅ g ′(x)3r( g ( x)). Así que aplicamos la regla de la potencia2′⎛ 2x+ 3 ⎞ ⎛ 2x+ 3 ⎞y ′ = 3⎜⎟ ⋅ ⎜ ⎟La parte que queda por derivar es un cociente⎝ 3x+ 5 ⎠ ⎝ 3x+ 5 ⎠

342⎛ 2x+ 3 ⎞ 2(3x+ 5) − 3(2x+ 3)y′= 3⎜⎟ ⋅2⎝ 3x+ 5 ⎠ (3x+ 5)2⎛ 2x+ 3 ⎞ 6x+ 10 − 6x− 9y′= 3⎜⎟ ⋅2⎝ 3x+ 5 ⎠ (3x+ 5)2⎛ 2x+ 3 ⎞ 1y ′ = 3⎜⎟ ⋅2⎝ 3x+ 5 ⎠ (3x+ 5)Aplicando propiedades de exponentes podemos expresar la derivada como23(2x+ 3)y′=4(3x+ 5)4 2f ( x)= (3x+ 5) ( x +22) es un producto, para derivar aplicamos entonces la regla delf ′( x)=4 ′ 2((3x+ 5) ) ( x +22) +4 2 2( 3x + 5) ((x + 2) ) ′ .r( g ( x)), así que usamos la regla de la potencia generalizada:3f ′( x)= 4(3x+ 5) (3x+25) ′(x +22) +4 2(3x+ 5) 2( x +22)( x + 2)′=3 24(3x+ 5) 3( x +22) +4 2(3x + 5) 2( x + 2) 2x.En vez de desarrollar las potencias, multiplicar y agrupar términos semejantes, se va a presentar3 24(3x+ 5) ( x + 2 . Así3 22f ′(x)= 4(3x+ 5) ( x + 2) ( 3( x + 2) + x(3x+ 5) )Se distribuye el 3 y x=3 224(3x + 5) ( x + 2) ( 3x+ 6 +23x+ 5x)Se agrupan términos semejantes=3 224(3x+ 5) ( x + 2) ( 6x+ 5x+ 6)y =2( 3x+ 1) x + 1 ; b) f ( x)=2 4(3x+ 1)4; c) f ( x)=(2x− 1)3x+ 1La regla de la cadena también es usada en la siguiente forma:En ocasiones tenemos una variable y que depende de una variable u y u a su vez es función de lac) La funciónproducto:Las partes a derivar tienen la formael resultado factorizado, esto será conveniente posteriormente para conseguir las raíces de la primeraderivada. Para factorizar sacamos factor común: )Ejercicio de desarrollo Encuentre la derivada de las siguientes funciones:a) ( ) 3variable x. Es claro que y es una función de x al realizar la composición. Se quiere conseguirdxdy dy du= ⋅ .dx du dx

35dy2Ejemplo 4.- Sean y = 3 u + 1 y u = x + x . Encontrar dxSolución: Usando la regla de la cadena tenemos:dydxdydxdydx=dydu⋅dudx2= ⋅ (2x+ 1)2 2u+ 12= ⋅ (2x+ 1)22 2( x + x)+ 12. Sustituyen u por x + x obtenemos finalmenteAPLICACIONEjemplo 1.- Un estudio ambiental revela que el nivel medio de monóxido de carbono seráaproximadamente de c ( p)= 0.5 p + 17 partes por millón cuando la población es de p miles de3habitantes. Se ha modelado que la población de la comunidad será de p ( t)= 100 − , donde t est + 2medido en años ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de carbono respecto al tiempo dentro de 4años?dcSolución: Se pide en t=4. Calculamos la derivada usando la regla de la cadena para este caso,dtobserve que c es función de p y p de t, así:dcdtdcdtCalculamos==dcdp2dcdt⋅dpdt0.5 3⋅2 .0.5p+ 17 ( t + 2)t = 4usando la formula anterior. Para ello debemos determinar el valor de p cuando t=43 1p ( 4) = 100 − = 100 − = 99,5 .4 + 2 2De esta maneradcdt=0.52t = 4 2 0.5(99.5) + 17 (4 + 2)⋅3dcdtt = 4=0.00255partes por millón por año.Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones indique los pasos que usted haríapara conseguir la derivada.Ejemplo: f ( x)= 2 x 2 + 1 . Se reescribe la raíz. El 2 sale afuera de la derivación por la regla del factor2constante. Se aplica la regla de la potencia generalizada ( x + 1)una suma25 5a) f ( x)= x + 5x+ x ; b) f ( z)= 4 − 1 − z ; c)1/ 2. La derivada interna se deriva como2 22h ( x)= x(x − 1) − 2( x − 1) ;

363xxd) f ( x)=3; e) g ( x)= ; f) f ( x)= (2x− 1) ( x + 3);3xx + 2552( x + 3) 1(2x− 1)g) y =+ ; h) h(x)=⎛ 2t− 1 ⎞5 ; i) f ( t)= ⎜ ⎟ ;5 3 3(1 − x)⎝ 1 − t ⎠222(2x− 1)( t + 3)2x− 1) 2 (3x− 1)j) y = ; k) g ( t)= 3 ; l) y =−+ 25x+ 12t+ 15x+ 1 x − 1 5(4EJERCICIOS1) Derive las siguientes funciones1.1)6y = ( 4x− 1) ; 1.2)f ( x)x= (4 −2 ) 4 ; 1.3)f ( x)x= (3x−2 ) 4 ;1.4) y = 4(1+ 3x− 3x2 ) 23(3x3 + 1)2− 4; 1.5) y =; 1.6) y = (4x+ 1) ;4121.7) f ( x)= ; 1.8) f ( x)=2 2 ; 1.9) f ( t)= t + 3 ;(3x− 1)(3x+ 1)21.10) ( ) = 5 2x 2 3 2f x+ 3 ; 1.11) y = ( 1 − x); 1.12) f ( t)=3 ; 1.13)5 (3t− 1)5 1f ( z)= 2z+ 2z; 1.14) f ( x)= 4x−5; 1.15)4x2 521.16) f ( x)= 3x(3 − x); 1.17) f ( t)= t t + 3 ; 1.18)3f ( x)= x(x − 1) ;32f ( x)= (4x− 1) (5x+ 3) ;33(3x− 1)1.19) y = ( x + 3)(1 − x); 1.20) f ( x)=⎛ 3x− 1 ⎞3 ; 1.21) f ( x)= ⎜ ⎟ ;(1 − 5x)⎝ 1 − 5x⎠22x − 13x− 1(3x− 1)1.22) y =2; 1.23) f ( x)= 3 ; 1.24) f ( x)= 3(3x+ 1)25;− x(2 − x)331.25) f ( x)= 5( x − 2x+ 2) x + 3 ; 1.26) f ( x)= 5x− 2x+ 2 3 − x ;1.27)x − 1 ⎛ x − 1 ⎞y = − ⎜ ⎟ ; 1.28)4 − x ⎝ 4 ⎠3f ( z)=2z + 11 − z; 1.29) h( t)= ( 2t+ 1)( t + 2) + 22 32) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x)= ( x − 5) cuando x =3Respuestas: 1.1)24(4−5x 1) ; 1.2)2 27x(3x1.4) 24(1 − 2x)(1+ 3x− 3x) ; 1.5)412− 31.8) − 24x (3x+ 1) ; 1.9) ; 1.10)2 t + 3− 8x(4− x2 ) 3; 1.3)234(3− 2x)(3x− x2 ) 3;2+ 1)32 − 5; 1.6) − 32x (4x+ 1) ; 1.7) −2 ;(3x− 1)10x− 29; 1.11) ; 1.12) −2x 2 + 3 3 3 5; 1.13)1 − x 5 (3t− 1)52 4 1+22 ; 1.14) + ; 1.15) f ( x)= ( x − 1) (4x− 1);5 4 5 62 z 5 x 5 4xt(5t+ 12)421.16) 3x(3− x)(6 − 7x); 1.17) ; 1.18) 2(4x − 1) (5x+ 3)(50x+ 13); 1.19)t + 326(3x− 1)1.20) −4; 1.21)(1 − 5x)(1−−65x)2⎛ 3x− 1 ⎞⎜ ⎟⎝ 1 − 5x⎠22x+ 65; 1.22) 3 ; 1.23) ⋅ 3(3x+ 1)23(2 − x)⎛⎜⎝− ( x + 1);( x + 3)(1 − x)2 − x ⎞⎟3x− 1 ⎠2;

379x+ 73 2⎛ 7x+ 18x− 6x− 101.24)3 8 ; 1.25)3 (2 − x)(3x− 1)⎟ ⎞15⎜; 1.26) 15x2 − 2 − ;⎝ 2 x + 3 ⎠3 − x3 3( x − 1)1.27) −2 3(4 − x)42z +; 1.28) 12 ; 1.29)( z − 1) x + 14t+ 52; 2) y = 18x− 462 ⋅ 2t+ 5t+ 4PROBLEMAS DE ECONOMÍA1) Se ha estimado que el consumo de gasolina en cierta ciudad dependerá de los habitantes que tenga yestá dado por c ( p)=2p50+ 11 . Si el tamaño de la población se estima en p(t)= 100 −22( t + 2)miles.dc 50 p¿A qué razón de cambiará el consumo de gasolina con respecto al tiempo? Respuesta: =3dt ( t + 2)50donde p(t)= 100 −2( t + 2)12) La ecuación de demanda de cierto artículo es p = 25 . Determinar la razón de cambio del precio1 + qcon respecto a la demanda. a) Calcule esta razón de cambio para q=9. b) Interprete sus resultados.1Respuesta: −43) (Demanda marginal) La ecuación de demanda de un artículo está dada por q −1= p + 20 . Determinarla demanda marginal para un precio de p=1. Interprete sus resultados. (Se define como demandamarginal a dq dp ) Respuesta: −194) Sea C ( I)= 1.2I− 5 I + 4 + 6 la función de consumo de cierto país, donde I y C vienen dadas enmiles de millones de UM . a) Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I = 32 .b) Interprete sus resultados.Respuesta 0.7835) La función de ingreso por la venta de cierto artículo está dada por I ( q)=20( 1 + 3x)+ 20x− 10 , donde qestá dado en miles de unidades y el ingreso en miles de UM. Determine el ingreso marginal cuando elnivel de ventas es de 1000 unidades. Interprete sus resultados. Respuesta: 16.250UMPROBLEMAS EN CIENCIAS SOCIALES1) (Demografía) Para una población de 50.000 habitantes el número de personas que se estiman viviránmás de x años está modelado por E( x)= 5.000 100 − x . Calcule la razón de cambio de E con respectoa x cuando x=51? Respuesta: -357

38DERIVADAS DE FUNCIONES ESPECIALESA continuación presentamos la derivada de funciones de uso frecuente.(ln x)′ =1xx( e )′ =xePodemos obtener por definición la derivada del logaritmo neperiano, haciendo uso del límite notablelim ( +1/ xx) = e . Tenemos entonces por definición de límite que1x→0⎛ x + h ⎞dln( x + h)− ln( x)ln⎜⎟ 1 ⎛(ln( x))= lim⎝ x ⎠ = lim ln⎜1 +dxh→0 h= lim h→0 hh→0⎝hUsando continuidad de la función logaritmo tenemos qued(ln(x)) =dxln⎛⎜⎜lim ⎛⎜ +h → 0⎝ ⎝1hh 1/⎞⎟x ⎠⎞⎟ =⎟⎠⎛⎜ ⎛ln⎜lim⎜1 +h→0⎝⎝e x 1 1= ln 1 / = ln e = .x xxPróximamente deduciremos la derivada de eh ⎞⎟x ⎠xxh⎞⎟ ⎟⎟ ⎠⎛ln ⎜lim ⎛= ⎜ ⎜ 1 +h → 0 ⎝⎝h ⎞⎟x ⎠h ⎞⎟x ⎠xh⎛= lim ln⎜1 +h→0⎝⎞⎟ ⎟⎟ ⎠1xh 1/⎞⎟x ⎠ln ⎛= ⎜⎝lim 1z → 0h( + z )Observación: La fórmula para la derivada del logaritmo es en base e, luego se dará la fórmula paracualquier base. Un comentario similar hay con respecto a la función exponencial.1z⎟ ⎞⎠1/ xEjemplo 1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones:a) y = 3lnx ; b) y =xxe ; c) y = ln xSolución:a) Aplicando la regla del factor constante queda1 3y′′′= ( 3 ln x) = 3( ln x)= 3 ⋅ =x xb)Se aplica la regla de producto′ ′ )′x x xy = x e + x(e = e +xexFinalmente podemos expresar el resultado de la derivada en forma factorizadaxy′= e ( 1 + x)c) Se reescribe primero y =− 2 1y = (ln x)1/ (ln x)′ = (ln x)221y′=2xln x1/ 2= ln x (ln x), se aplica la regla de la potencia generalizada1 − 1/′ 21⋅ Reescribiendo esta última expresión obtenemosxEjercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:xexa) y = x ln xb) y = c) y =− x2e

39FORMAS FRECUENTES DE FUNCIONES ESPECIALES:Las funciones especiales frecuentemente vienen dadas con un argumento distinto a simplementela variable. Esta situación la podemos escribir en cada caso como: ln g ( x)g (x)y e ,. Todas ellas puedenser expresadas como una composición donde la función interna es u = g(x). Para obtener la derivadade cada una de estas formas se usa la regla de la cadena. Las funciones externas f son respectivamente:•ln • , e . La función interna es en todos los casos: u = g(x). Aplicando a cada caso la regla de lacadena:h ′( x)= f ′(g(x))⋅ g ′(x).Ejemplo 2.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones:1 2− xa) ln( 2 − xy = x + 1)b) y = e ; c) y =2πxe .Solucióna) La función es de la forma ln g ( x). Remarcamos que la función externa es ln y la internag ( x)= x 2 + 1. Aplicamos entonces la regla de la cadena:( ln( x + 1 ) ′ 2y′ = )1 2= ⋅ ( x + 1)′2x + 12x=x2 +1′1( g(x))( ln g ( x)) =⋅ g ′(x)g ( x)′ g(x)( e ) = e ⋅ g ′ ( x)No se olvide de laderivada internag (x)b) La función es de la forma e′− x− x− x( e ) = e ( − x ′ = − ey′ =)⋅. La función externa es e y la internag(x)=− xc) Para derivaryyy=y =1 2− x2π( ⋅ ) ′ 2x e1 − x′2π2πx ⋅ e2− xx( e + x(e )′)1 2−′=2π22− xx( e + x(e )( − x )′)1 − 2′=y′=y′=e2π2− x 2 − x( e − 2x( e ))1 22− x2π2( 1 − 2x)usamos primero la regla del factor constanteSe aplica entonces la regla del producto.Ahora queda por derivar2xe − g (x)que tiene la forma2Al derivar − x y reordenar la expresión quedaSe saca2xe − de factor comúne

ReescrituraCuando tenemos un logaritmo de un producto, cociente o potencia podemos usar las propiedadesdel logaritmo para reescribir la función de tal manera que resulte más fácil y rápido de derivar.402Ejemplo 3.- Encontrar la derivada de la siguiente función y = ln[(3x+ 1)( x + 2) ]Solución: Reescribimos la función usando primero la propiedad del producto y luego la de la potencia:y = ln( 3x+ 1) + ln( x +y = ln( 3x+ 1) + 2ln( x +22)2)Esta última forma es la que derivamos, aplicando primero la derivada de la suma( )′ln( 3x+ 1) + ( 2 ln( x + 2 ) ′y′ =)1y′ =⋅ (3x+ 1) ′ + 2 )3x+ 11y′=⋅ 3 +3x+ 13y′=+3x+ 112 ⋅ 1x + 22x + 2( ln( x + 2 ) ′Se aplica regla de la cadena a ln( 3x + 1)yregla del factor constante al segundo término.Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:a) y = ln 1 − xb) y x=3x2 + 14e; c) ⎛ 2x− 1⎟ ⎞y = ln⎜⎝ 3xx + 1 ⎠Ejemplo 4.- Encontrar la derivada de la siguiente función: y = ln xSolución:1/ 2 1/ 2Reescribimos la función usando exponente fraccionario y = (ln x ) . Quedó escrita de laformar( g ( x)), con1/ 2g ( x)= ln x y r=1/2. Se aplica la regla de la potencia generalizada:1 1/ 2 − 1/ 21 / 2y ′ = (ln x ) ⋅ (ln x )′Se reescribe la expresión a derivar21 1/ 2 1/ 2 1y ′ = (ln x )− ⋅ ( ln x )′Se aplica la regla del factor constante221 1/ 2 1/ 2(ln )− 1y ′ = x⋅ (ln x)′22y′=41lnx1⋅ =x14x lnxEjercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:a) y = ln( x(x 2 − 1))b) y =− 2xxex + 1c) y =xe3x+1e3x− 1

41A continuación deduciremos la derivada de la exponencial a partir de las derivadas de logaritmosxSea g ( x)= e , como el logaritmo es la función inversa de la exponencial tenemos queln g ( x)= x Derivamos ambos miembrosg ′(x)= 1g(x)Finalmente al despejar g ′(x)obtenemos que g ′( x)= g(x), esto esg ′ ) =x( x e Finalmente hemos concluido que(xe =)′exFÓRMULAS PARA LAS DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS YEXPONENCIALES CON BASE DISTINTA A e.Para obtener una fórmula para la derivada de y = logag(x)nos basamos en la fórmula decambio de baseln( g(x))loga( g(x))= .ln( a)Así′′ ⎛ ln( g(x))⎞ 11 1( log g x ) = ⎜⎟ = ⋅ g x ′a( ( ))(ln( ( )) = ⋅⋅ g ′(x)⎝ ln( a)⎠ ln aln a ( g(x))( log ( g ( x)) )a′=1 1⋅ g ′(x)⋅( g(x))ln aEsta fórmula es expresada en manera coloquial como sigue:La derivada de un logaritmo con base distinta a e es la derivada del logaritmo por un factor de1corrección. En este caso el factor de corrección esln ag (x)Para obtener una fórmula para la derivada de y = a , usamos el hecho que el logaritmo es lag ( x)función inversa de la exponencial:g ( x ) lna = ea . Esta la escribimos comoderivamosg ( x )( ) ′ ln a ( )=⋅ g xa e ⋅ (ln a ⋅ g(x))′Usamos la regla del factor constanteyln a⋅g ( x)= e , la cuál=eln a ⋅ g(x)′⋅ ln a ⋅ g ( x)g ( x)Finalmente usamosg ( x ) lna = ea para obtenemosg ( x ) ′ g(x)( a ) = a g ′(x)⋅ ln aEsta derivada es expresada como:La derivada de una función exponencial con base distinta a e es la derivada de la exponencialpor un factor de corrección. En este caso el factor de corrección es ln a

42Ejemplo 6.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones:3a) y = log 2 ( x + 2x)b) y = x log 2 ( x + x); c) y = 2xSolución:a) Se derivará usando la formula ( )′ 1log a ( g(x))=⋅ g ′(x)⋅( g(x))( ( x + 2x) ′y′ = log 2 )′( x + 2 )1= xx + 2x=1 ⎛ 1⎜x + 2x⎝ 2 x⋅⎞+ 2⎟ ⋅⎠1ln 21ln 21lnRealizando la suma intermedia y los productos tenemosaRecuerde que si la base es distinta a e hay unfactor de corrección en la derivada=2 ln 21 +x4x( x + 2x)b) Aplicamos la regla del productodydxd3 d3= ( x)log2 ( x + x)+ x ⋅ (log 2 ( x + x))Se usa cambio de base en el segundo logaritmo.dxdx33 d ln( x + x)= 1⋅log 2 ( x + x)+ x ⋅ ( ) En el segundo término aplicamos la regla del Factor Cte.dx ln 23 1 d 3= log 2 ( x + x)+ x ⋅ (ln( x + x))ln 2 dx3 x 1 d 3= log2( x + x)+( x + x)3ln 2 ( x + x)dx3 x 1 2= log 2 ( x + x)+ ⋅ (3x+ 1)3Sacamos x de factor común en el denominador y simplificamos.ln 2 ( x + x)=3 3x+ 1log2( x + x)+2ln(2)( x + 1)2d3Alternativamente para calcular (log 2 ( x + x))pudimos usar la fórmuladx( log ( g(x))) =a′1 1⋅ g ′(x)⋅( g(x))ln aen vez de usar la fórmula de cambio de base antes de derivar.xc) Alternativa 1.- Reescribimos la función y = 2 comog (x)derivamos, la cual tiene la forma edy d = x ln 2 ln 2 d( e ) = e x ( x ln 2 )dx dxdxyxln 2ln 2= ex= e . Esta última es la que

43ln 2 d 1/ 2= e x ln 2 ( x )De una vez usamos el hecho quex ln 2 xe = 2dxx 1= 2 ln 21/ 2Esta forma de la derivada la reescribimos usando2xpropiedades de exponente y multiplicación de fracciones.x − 12 ln 2=xAlternativa 2.- Se usa la fórmula:Directamente entonces obtenemosy = 2( ) ′′xx= 2 x′( ) ln 2y′=ag ( x)g ′(x)⋅ ln a=ln 222 xx − 1x 2 ln 2=xEjercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:⎛2a) ⎟ ⎞⎜(1 − x)x + 1y = log3; b) 10 −⎝ xy =⎠x1xAPLICACIONEStEjemplo 1.- Un modelo de crecimiento de cierto país está dado por P ( t)= 25(1.03)millones dehabitantes a partir de 1999. ¿A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo t años después?dPSolución: Debemos conseguir . La funcióntP ( t)= 25(1.03)tiene forma exponencialdttdP d(1.03)x g ( x)= 25 . Se aplica ( a )′ = ln( a)⋅ a ⋅ g ′(x), obteniendodt dtdPdt= 25ln(1.03)⋅ (1.03) ⋅ 1.tPor tanto la población cambiará a una razón deaño t.dPdtt= 25ln(1.03)⋅ (1.03) millones de habitantes en elEjercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones indique los pasos que usted haríapara conseguir la derivada. Considere reescribir.Ejemplo: f ( x)= 2xln( x 2 + 1). El 2 sale afuera de la derivación por la regla del factor constante. Seaplica la regla del producto, quedan dos términos en uno hay que derivar ln( x 2 + 1)el cual tiene laforma del logaritmo de g(x). La derivada interna se deriva como una suma22x + 12a) f ( x)= e + ln x + x ; b) f ( z)= 3e; c) h ( x)= ln( x − x)+ ln 2 ;

44d) f ln x( x)= 2ln x; e) ⎟ ⎞⎜ ⎛ xg ( x)= lnx; f) f ( x)= ln( e − 1);⎝ x + 2 ⎠5xg) y = ln(3 − 1) 1+x5 e; h) ⎛ ( x − 1)⎟ ⎞2h ( x)= ln⎜5 ; i) h ( x)=⎝ (1 − 3x)⎠2x;3e2ln x − 12xj) y = ; k) g ( t)=e 2 ln 3; l) y = − + 2 ;ln(3x− 1)ln( x − 1)5x+ 1 e x2 2x ⋅ x2m) g(x)= ln( 2 ⋅ 3 ) ; n) g ( x)= ( ln( x + 1)) 22e x; ñ)x −y = ;xln( x − 1)o) y =3x2log( x); p) h( x)= x ⋅ 2 ; q) g(x)=x2 + 1EJERCICIOS1) Encuentre la derivada de las siguientes funciones21.1) y = ln( 3x− 4)3; 1.2) f ( x)= x ln x ; 1.3) f ( x)= ln(1 − 2x) ;2ln( z 1)1.4) g ( t)= (4t− 1) ln(3t+ 5); 1.5) h(z)= ; 1.6)z2 +zf ( z)=ln( z2 ;+ 1)2⎛1.7) ⎟ ⎞44x( ) = ln⎜s + 1⎛ s + 1f x2 ; 1.8) f ( s)= ln4 ; 1.9)⎝ x + 14⎟⎠s − 1⎞f ( s)= ln⎜4;⎝ s − 1 ⎠1.10) = ln ((3x− 1)(4 x + 1) )3y ; 1.11) ( x)= ln( x(x − 1) )2 2h ; 1.12) = ln( (4x− 1) 3x+ 1)y ;4 41.13) y = ln( x)− 1 ; 1.14) y = ln x + ln x ; 1.15) y = ln ( 1 + ln( x)) ;31.16) h ( x)=ln( 2x+ 1); 1.17) ( x)3g = .ln( 2x) + 12) Encuentre la derivada de las siguientes funciones2.1)2.4)2.7) yy =4x− 5e ; 2.2)y =ln x − 3e ; 2.5)3− 3x= ( x + 1) e ; 2.8)yy =4 3x= 2e− ; 2.3)xe2 − xy 3; 2.6)x= 4x3 + ; 2.9)2x − 3xey = ;4xe − 1y = ;− xe + 1y = 3 x 2;2.10)2.13)2 x2x x2 2y = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ; 2.11) y = 3 e ; 2.12) y = ( e )2 xe+ −;2x92x2y = ( e + 1) ; 2.14) y = ln(1 + e ) ; 2.15) y =− 2x;e + 23) Encuentre la derivada de las siguientes funciones. Considere reescribir1 1ln(1 − x)2x3.1) y = ln(1 + e ) ; 3.2) y = +2x; 3.3) y = ;e eln(1 + x)− x3.4) ⎟ − x⎛ − e ⎞y = ln 1⎜x⎝ 1 + e; 3.5) ⎛ e⎠⎟ ⎞y = ln⎜; 3.6) 2 3⎝ 2 ⎠y = ln x ⋅ ln x ;3.7) y = ln 222x + 1 x; 3.8)⋅ ln 32 ln x + 1y = e ; 3.9) y ln x + 1 ⋅ ln x= ;2xe ⋅ e3.10) y =xex 2x; 3.11) y = 4 ⋅ 2 ; 3.12) ln 5 xy = ( e + 1);

45ln(1 − x)x − 1x 53.13) y = ln( e + 1) ; 3.14) y =e − x2 ; 3.15) y = ;x2x + 2e23xlog3.16) y = log( e )( x ); 3.17) y = ; 3.18) y = 1 + log( x)2x3 x4) Si f ( x)= 3 ; encuentre f ′(4)5) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva6) Cierta cantidad crece según la leyrespecto a t.2 3x−3y = x e cuando x=1;kteC( t)= . Calcule la razón de cambio porcentual de C cont23Respuestas: 1.1) ; 1.2) 2 (ln x + 1)− 6x3(4t− 1); 1.3) ; 1.4) (4t − 1)(8ln(3 t + 5) + ) ; 1.5)33x − 41 − 2x3t+ 52 222222z− ( z + 1)ln( z + 1) ( z + 1)ln( z + 1) − 2z238s2 2; 1.6)2 2 2; 1.7)z ( z + 1)( z + 1)ln ( z + 1) x(x 2 ; 1.8) − ; 1.9)+ 1) s8− 13 4− 4s⎛ ⎛ 1 ⎞⎜s + ⎞ln⎜⎟ ⎟84s − 11⎝ ⎝ s − ⎠ ⎠11.14)2xln x − 1− 1/ 2; 1.10)4x−5x2.1) 4e ;2.2) − 6e 4−3 ; 2.3)3(24x− 1; 1.11)(3x− 1)(4 x + 1)4x− 1; 1.12)x(x − 1)34 4ln x1+ ; 1.15)x x( x ) ; 1.16)(ln + 1)x2x − 3 2x − 3x3 2− 3x− x + x − 1) e ; 2.8) 12 2 3x ln 34e; 2.4)1; 2.5)2x(2x+ 1) ln212x+ 27x+ 82; 1.13)(4x+ 1)(3x+ 1)−62( 2x+ 1);1.17)x − x− x 2 + e − e( 2 − x)e ; 2.6)− x 2( e+ 1)(ln− 32( x) ;2 + 1) x; 2.7)2xx xx + ; 2.9) 2ln(3) x 3 ; 2.10) 3⋅ ln 3 ⋅ 3 ⋅ 3 (1 + 2x); 2.11)0;2x42.12) 4( e 2x+ ex2 2x8e) ;2.13) 18 e x ( e + 1) 2.14) y = 22x1 + e; 2.15) 4 2ex; 3.1) ; 3.2)1 + 2e 2x2x− 2e − 2 ;1 + e(1 + x) ln(1 + x)+ ln(1 − x)(1− x)− x xe + 2 − e3.3)( x2 − 1) ( ln(1 + x ) ) 2 ; 3.4)x− x; 3.5) -1: 3.6)6 ; 3.7) ( 43x + 2 x ) ln 2 ⋅ ln 3 ;(1 + e )(1 − e )xx ln x + ( x + 1) ln( x + 1)xx 4( x3.8) 2ex; 3.9); 3.10)2 − x + 1) / 2x( x − 1/ 2) e ; 3.11)2x(x + 1)4 ⋅5e( ln(1 + e ))⋅ ln 4 ; 3.12) ;x1 + ex5e2 − 4 ln10 ⋅ log x 13.13) ; 3.16) 3 log e ; 3.17)x; 3.18)1 + ex3 ⋅ ln102xln10 1 + log x4) 3 7 ln34; 5) y = 5x− 4 ( kt 1); 6) e kt −2tPROBLEMAS DE CIENCIAS SOCIALES0.025t1) Un modelo de crecimiento de cierto país está dado por P( t)= 30emillones de habitantes apartir de 1999. a)¿A qué razón cambiará la población respecto al tiempo 2009? b) Calcule la razónporcentual con que cambiará la población t años después de 1999? Respuesta: a) 0.96 millones por año;b) 2.5%.2) Un modelo de crecimiento poblacional de cierto país está dado por P ( t)= 25(1 +tr)millones dehabitantes a partir de 1999. Encuentre la razón de cambio de P con respecto a t.Respuesta: 25(1+ r)t ln(1 + r)253) Una población crece de acuerdo al siguiente modelo logístico P(t)=− 0.04t2 + 3e2x

463eCalcule la tasa de crecimiento de la población en el momento t. Respuesta:2 + e− 0.04t− 0.04tPROBLEMAS DE ECONOMÍA4001) Sea c = el costo promedio de producir q unidades. a) Encuentre la función de costoln( q + 4)marginal. b) Calcule el costo marginal para q=30. c) Interprete sus resultados.400( ( q + 4)ln( q + 4) − q)Respuesta: a) C ′(q)=b) C ′( 30) ≈ 5. 48( q + 4) ln( q + 4)( ) 222) Sea C = 25ln( q + 1) + 12 el costo total de producir q unidades de un producto. a) Encuentre lafunción de costo marginal. b) Encuentre el costo marginal para q=3; c) Interprete sus resultados.50qRespuesta: a) C ′(q)= ; b) C ′( 3) = 15q2 + 1253) Suponga p = representa la ecuación de la demanda de un determinado producto. Determineln( q + 2)a) la función de ingreso marginal; b) la función ingreso marginal para q=2; c) Interprete sus resultados.((q + 2) ln( q + 2) − q)Respuestas: a) I ( q)= 25; b) I ′( 2) ≈ 11. 52( q + 2) ln( q + 2)4) Sea(3q+200) / 300( ) 2400ec(q)= el costo promedio de producir q unidades. Encuentre la función de costoq(3q + / 300marginal y el costo marginal para q=98. Respuestas: 4e 200) ; 20.750.02q5) Sea p = 25e− la ecuación de la demanda de un determinado artículo. Determine la función deingreso marginal y la función ingreso marginal para q=98. Interprete sus resultados.Respuesta: I´(q)=25e -0.02q (1-0.02q); I´(98)=-24e -1.96 =-3.380.02q6) (Precio marginal) La ecuación de demanda de cierto artículo es p = 25e− . a) Determinar lafunción de precio marginal. b) Evalúe el precio marginal para un nivel de producción de 100 unidades.c) Interprete sus resultados (Recuerde que el precio marginal es dp dq ).Respuesta: a) –0.5e -0.02q7) Una máquina se deprecia t años después de su compra a un valor dado porCalcule la razón de cambio y la razón de cambio porcentual con respecto al tiempo.− 0.03tRespuesta: D(t)= − 150eD(t)− 0.03t= 5000e.− 0.2I8) Sea S(I)= 0.3I− 0.5ela función de ahorro de cierto país. a) Encuentre la propensión marginalal consumo y al ahorro cuando I = 5 miles de millones. b) Interprete sus resultados.Respuesta S ′(5)= 0.3379) Un capital de 6000UM se deposita en un banco a una tasa anual del 8% capitalizada continuamente.tCalcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo? Respuesta: 48e 0. 0810) Un capital de 5000UM se deposita en un banco a una tasa anual del 8% capitalizada anualmente.Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo?11) Por la venta de un artículo se obtiene una utilidad de 10U.M Se ha decidido hacer una campañakxpublicitaria a fin de aumentar las ventas. Si se invierte x UM se estima que se venderán 1000(1 − e − )artículos donde k=0,001. Sea U la utilidad cuando se han invertido x U.M. en publicidad. a) CalculedU . b) Evalúe esta derivada cuando se han invertido 1000 U.M. en publicidad. c) Ahora evalúedxcuando la inversión es de 3.000 U.M. d) Intérprete sus resultados.

47VERDADERO O FALSO.Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique.1.1) ( ) La derivada se interpreta como la razón de cambio momentánea de y con respecto a x11.2) ( ) ( ln( 2) ) ´ = ; 1.3) ( ) f ( x)= | x − 1 | no es derivable en 02x′x '⎛ e ⎞ ( e )1.4) ( ) ⎜ ⎟=xxe x;⎝ − ⎠ ( e − x)'1.5) ( ) Si f es derivable en un punto entonces es continua en ese punto2 / 51.6) ( ) Si f es continua entonces es derivable.; 1.7) ( ) f ( x)= x es derivable en su dominio.Para las siguientes afirmaciones suponga que f y g son diferenciables⎛ 1 ⎞ g ′(x)1.8) ( ) ( 2 f ( x)− 3g(x))′ = 2 f ′(x)− 3g′( x); 1.9) ( )⎜ ln( ) ´ = −g(x)⎟⎝⎠ g(x)′ 11.10) ( ) ( xf ( x))′ = f ( x)+ xf ′(x); 1.11) ( ) ( f ( x)) =2 f ′(x)321.12) La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (2,8) es y − 8 = 3x( x − 2)1.13) El Ingreso de la unidad 51 es estimado por el ingreso marginal evaluado en 501.14) U ( 21) − U (20)es la utilidad exacta por producir y vender la unidad 21.Respuestas:1.1)Verdadera; 1.2) Falsa, la derivada vale cero porque es una constante;1.3)Falso, no esderivable en 1; 1.4) Falsa, se debe aplicar correctamente la regla del cociente; 1.5)Verdadera; 1.6)Falsay= |x| es continua pero no derivable en 0; 1.7)Falso, no es derivable en 0; 1.8) Verdadera, se aplica laregla de la diferencia y luego la del factor constante; 1.9)Verdadera, se reescribe y se aplica la derivada( − ln( g(x)))´ , no hay que olvidar la derivada interna; 1.10) Verdadero, se aplica la regla del producto;′ f ′(x)1.11) Falsa, hay que reescribir y aplicar la regla de la potencia generalizada, queda ( f ( x)) = ;2 f ( x)I (51) − I (50)1.12) Falso, hay que evaluar la derivada en x =2, la pendiente es 12.1.13) Verdadera, ≈ I ′(50)1e I ( 51) − I (50)es el ingreso exacto de la unidad adicional a 50.1.14) Verdadera, U (21)es la utilidad porla producción y venta de las primeras 21 unidades si se le quita la utilidad de las primeras 20 se obtienela utilidad de la unidad 21.