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ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 13ELEMENTOS DE LA TEORIA DETENSIONES Y DEFORMACIONES3.1 DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONESConsideremos el caso de un sólido en equilibriobajo la acción de cargas exteriores y aislemosdel interior del cuerpo un cubo elemental de aristasdx, dy y dz, de manera que las cargas pueden orientarsesegún el sistema de referencia.Sobre cada una de las caras existirá un vectortensión total de manera tal que el cubo elementalse encuentre en equilibrio. Estos vectores puedenproyectarse según los ejes de referencia de maneraque en cada una de las seis caras tendremos en generaluna tensión normal y dos tensiones tangencialesperpendiculares entre si. Un estado de tensiones deestas características se dice que es un “estado triple oespacial”.En determinadas circunstancias las cargasactuantes sobre el cuerpo hacen que las tensiones sobreel cubo elemental queden ubicadas dentro de unplano. Este estado se denomina “doble o plano”.Cuando los vectores tensión son paralelos aun eje el estado se denomina “simple o lineal”.En realidad, la definición de un estado comosimple, doble o triple no solo depende de estado decargas actuante sino de la orientación del cubo elemental.Como veremos mas adelante, el estado simplepuede pasar a ser un estado doble si el elementodiferencial tiene una rotación, inclusive puede convertirseen un estado triple. El proceso al revés nosiempre es factible. Es decir, si tenemos un estadodoble, por ejemplo, es probable que no encontremos,por rotación del elemento, una posición para el cualel estado sea lineal.zyxdydzdxEstadotripleEstadodobleEstadosimpleFig. 3.2Fig. 3.1Para poder entendernos con claridad el referirnos a las tensiones, vamos a establecer ciertasconvenciones:σ i : el subíndice i indicará al eje respecto del cual las tensiones normales son paralelas ( σ x , σ y , σ z ).Serán positivas cuando produzcan tracción.

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 2τ ij : el subíndice i indicará el vector normal al plano donde actúan las tensiones tangenciales, y el subíndicej indicará el eje al que resultan paralelas ( τ xy , τ xz , τ yz , τ yx , τ zx , τ zy ).Tanto las tensiones normales como la tangenciales varían punto a punto en el interior de uncuerpo, por lo tanto, debemos tener presente que las tensiones quedan expresadas como funciones:σ = σ (x,y,z)τ = τ (x,y,z)3.2 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTALConsideremos, como en la figura 3.3, un punto A correspondiente a un sólido sujeto a tensiones,punto que hacemos coincidir con el origen de coordenadas; y tres planos perpendiculares que pasanpor el punto, coincidentes con los planos coordenados. Supongamos además un segundo punto Bdel mismo sólido, de coordenadas dx, dy y dz..Admitiremos que las funciones que definen las tensiones en los puntos del sólido son continuasy derivables. Las tensiones que actúan en los planos que pasan por B pueden definirse como lasque actúan en los planos paralelos pasantes por A mas el correspondiente incremento. Así tendremos,∂σxpor ejemplo, σxy σx+ dx tomando como incremento el primer termino del desarrollo en serie∂xde Taylor.El prisma elemental estará sometido a fuerzas actuantes en sus caras como consecuencia delas tensiones, además existirá una fuerza de masa que supondremos aplicada en el baricentro. LlamaremosX, Y, Z a las componentes de dicha fuerza por unidad de volumen.Si planteamos el equilibrio del prisma elemental tendremos:σxdyτxyτxzAyyτzy + τzy dzzτyz + τyz dyyzτyxτzxσy + σyyxτzx + τzx dzzσyτyzσz + σz dzzτyx + τyx dyyσzτzyBτxy + τxy dxxτxz + τxz dxxdzσx + σx dxxxzdxFig. 3.3

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 3∑Fx= 0→⎛⎜σ⎝x∂σx ⎞+ dx⎟dydz − σ∂x⎠x⎛dy dz + ⎜ τ⎝zx∂τ+∂zzx⎞dz ⎟dx dy − τ⎠zxdx dy +⎛+⎜ τ⎝yx∂τyx+∂y⎞dy⎟dx dz − τ⎠yxdx dz + X dx dy dz = 0⎛ ∂σ→⎜⎝ ∂xx∂τ+∂zzx∂τyx+∂y⎞+ X⎟ dx dy dz = 0⎠Planteando además ΣFy=0 y ΣFz=0 se llega a:∂σ∂xx∂τyx+∂y∂τ+∂zzx+ X = 0∂τxy∂x∂σy+∂y∂τzy+∂z+ Y = 0ECUACIONES DIFERENCIALES DEL EQUILIBRIO (3.1)∂τ∂xxz∂τyz+∂y∂σ+∂zz+ Z = 0Continuando con las ecuaciones de momento, donde suponemos trasladada la terna de ejes al baricentrodel elemento, tendremos:∑Mx = 0→⎛⎜τ⎝yz∂τyz+∂y⎞dy ⎟dx dz⎠dy2+τyzdydx dz2−⎛-⎜ τ⎝zy∂τzy+∂z⎞dz⎟dx dy⎠dz2− τzydzdx dy2= 0Despreciando diferenciales de orden superior nos queda:τyzIdénticamente∑∑dx dy dz − τMy = 0 →Mz = 0 →zyττdx dy dz = 0xzxy= τ= τzxyx→τyz= τzy(3.2)τxy= τyxτxz= τzxτyz= τzyEstas últimas ecuaciones reciben el nombre de “LEY DE CAUCHY o LEY DE RECIPROCI-DAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES”, cuyo enunciado es: “En dos planos normales cualesquiera,cuya intersección define una arista, las componentes normales a ésta de las tensiones tangencialesque actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista”.Las ecuaciones diferenciales del equilibrio tienen nueve incógnitas, las que considerando laley de Cauchy se reducen a seis. Ahora bien, siendo que sólo disponemos de tres ecuaciones, el numerode incógnitas excede el número de ecuaciones, con lo que concluimos que este problema resultaESTATICAMENTE INDETERMINADO. Las ecuaciones que faltan pueden obtenerse sólo si se estudianlas CONDICIONES DE DEFORMACION y se tienen en cuenta las propiedades físicas del cuerpodado (por ejemplo la ley de Hooke).La determinación del estado tensional de un cuerpo siempre resulta indeterminado por condicióninterna e implica la consideración de ecuaciones de compatibilidad, las cuales establecen relacionesentre las deformaciones, en forma similar como las ecuaciones diferenciales del equilibrio relacionana las tensiones entre sí.

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 4Hay dos ciencias que tratan de resolver este problema:- La Teoría de la Elasticidad- La Resistencia de MaterialesEn la primera aparecen otras ecuaciones diferenciales aparte de las de equilibrio, se agreganecuaciones de contorno y se trata de obtener la solución mediante la integración de las ecuaciones diferenciales.El proceso es complejo y en muchos casos es muy difícil de encontrar la solución rigurosadel problema, recurriendo a métodos numéricos. En el ámbito de la Resistencia de Materiales, en cambio,se hacen hipótesis aproximadas, aplicables a distintos casos particulares, y que se verifican experimentalmente.Cuando resolvimos el problema de la solicitación normal, sin haberlo mencionado específicamente,hemos utilizado una ecuación de compatibilidad: la Ley de Bernoulli. En efecto, esta ley nospermitió establecer que las deformaciones especificas debían permanecer constantes, con lo que debidoa la Ley de Hooke resultó que las tensiones normales también debían ser constante en la sección transversal.PP Pσ = → ∫ σ dΩ = ∫ dΩ = ∫ dΩ = P(3.3)ΩΩΩΩ ΩΩSi hubiésemos intentado resolver el problema sólo a partir de las tensiones, se podrían haberencontrado numerosas leyes de variación σ (x,y) cuya integral en el área de la sección transversal dieracomo resultado el valor P. Sin embargo, ninguna de estas leyes daría ε= cte., que es lo que se observaexperimentalmente.Para resolver otros problemas como los de torsión, flexión, etc., deberemos seguir un caminosimilar al indicado, ya que como hemos visto, las ecuaciones de la Estática no resultan suficiente paradeterminar el estado tensional de un cuerpo.3.3 DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLELa experiencia demuestra que cuando se produce el estiramiento de una barra, el alargamientolongitudinal va acompañado de acortamientos transversales que son proporcionales al longitudinal. Sien un cubo diferencial actúa solamente σ x tendremos:σxεx=Esi además actúa σ y tendremos un valor adicional:σyε ´x= −µ εy= −µEy lo mismo si actúa σ z . En consecuencia podemos establecer las siguientes leyes:1εx= [ σx− µ ( σy+ σz)]Eεεyz==1E1E[ σ − µ ( σ + σ )]y[ σ − µ ( σ + σ )]zxxzy(3.4)Puede demostrarse que las tensiones tangencialesno provocan alargamiento ni acortamientos, sólo cambiosde forma, de modo tal que puede establecerse:Fig. 3.4τxy τ τxzyzγxy= γxz= γyz=(3.5)G G G

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 6∑F s / direc 1 = 0σ ds 1 − σ dy cos α 1 + ταxxydy senα1 − σydxsenα1 + τyxdx cos α 1 = 0σα= σxcos α2+ σ senαy2− 2τxysenαcos α = σxcos α2+ σ senαy2σ+x+ σ2y−σ−x+ σ2y− τxysen2α =σx+ σ2yσx+2σ2y2( 2cos α − 1) + ( 2senα− 1)2−− τxysen2α =σx+ σ2yσx+2σ22 y 22( cos α − sen α) + ( cos α − sen α)2− τxysen2ασα=σx+ σ2yσ+x− σ2ycos 2α − τxysen2α(3.8)Similar a lo anterior, proyectamos fuerzas sobre la dirección 2:∑F s / direc 2 = 0τ ds 1 − σαxdy senα1 − τxydy cosα1 + σydx cosα1 + τyxdx senα1 = 0τα=22( σ − σ ) cosαsenα + τ ( cos α − sen α )xyxy( σ − σ )x yτ α= sen2α + τxycos2α(3.9)2Las tensiones vinculadas a dos planos perpendiculares se denominan tensiones complementarias.Para calcularlas podemos reemplazar en las ecuaciones anteriores, que son válidas para cualquierángulo α, por ( α+90º ).'=( σ + σ ) ( σ − σ )x2y+x2ycos2α`−τxysen2α`=σx+ σ2yσ+x− σ2yσ α2( − cos2α) − τ ( − sen α)xySi analizamos la siguiente suma:σα+ σ'α= σ + σ = cte. ← Invariante de tensiones(3.10)xypodemos ver que la suma de las tensiones normales correspondientes a dos planos ortogonales se mantienenconstantes, por lo que a esta suma se la denomina invariante de tensiones.3.4.2 Valores máximos y mínimosEn el ítem anterior hemos visto la manera de poder calcular el valor de las tensiones cuando elprisma elemental tiene una rotación, ahora vamos a tratar de determinar la rotación que debería tenerpara que las tensiones alcancen valores extremos.( σ − σ ) sen2α − 2τcos2α0d σ α = −x yxy=dα(Idem 3.9)

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 72τxytg2α σ= −(3.11)σ − σxy2ασObservando esta última ecuación, podemos ver que la mismaqueda satisfecha por dos valores de α, los cuales difieren entre sí 90º.Reemplazando entonces en la ecuación 3.8 por estos valores llegamosa obtener las expresiones correspondientes a las tensiones normalesmáxima y mínimas. Para ello nos apoyamos en la construcción gráficade la figura, de donde resulta muy simple obtener los valores decos 2α σ y sen 2α σ .σx-σy(σx-σy) +4τxy2τxyFig. 3.62 2cos 2ασ=±2 2σ( σ − σ ) + 4τ± ( σ − σ )xσx− σyyxysen2α=x− 2τyxy2+ 4τ2xyσασ=σx+ σ2y±( σx− σy) ( σx− σy) τxy2τ± 222 2( σ − σ ) + 4τ2 ( σ − σ )xyxyxyxy2+ 4τ2xyσασ=σx+ σ2y±22( σx− σy)( σ − σ )xy+ 4τ22xy+ 4τ2xy(3.12)σmaxmin=σx+ σ2y±122 2( σ − σ ) + 4τxyxyτ ασσ=Si calculamos el valor de τ α para α σ− σ− 2τ( σx− σy)2( σ − σ ) +x yxy+ τ22 2xy2( σx− σy) + 4τxy±x y4τxy= 0podemos ver que las tensiones máximas y mínimas, no sólo se producen simultáneamente enplanos ortogonales, sino que al mismo tiempo en dichos planos las tensiones tangenciales son nulas.Las tensiones máximas y mínimas se denominan “tensiones principales” y los ejes perpendiculares alos planos donde actúan, “ejes principales”.A continuación vamos a tratar de determinar las tensiones tangenciales máximas y mínimas.dταdα=( σ − σ )xycos 2α − 2τxysen2α = 0tg2ατσx− σ= +2τxyy(3.13)tg2ατ1= −tg2ασ→2ασdifiere 90º de 2ατLos planos donde se producen las tensiones principales difieren 45º de aquellos donde las tensionestangenciales son máximas y mínimas.

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 8τmaxmin⎛ σ=⎜⎝x− σ2y⎞⎟⎠ ±( σx− σy)2( σ − σ ) +xy4τ2xy+±τxy( + 2τxy)2( σ − σ ) + 4xyτ2xy(3.14)τmaxmin= ±122 2( σ − σ ) + 4τxyxyCalculemos el valor de σ ατ para τ ατσ=x+ σ2yσ+x− σ2y( 2τxy)2( σ − σ )xy+ 4τ2xy−τxy( σx− σy) σx=2 2( σ − σ ) + 4τ2xyxy− σyσ ατ2σx+ σ yσ ατ=(3.15)3.5 CIRCULO DE MOHR PARA TENSIONES3.5.1 Trazado y justificación en el estado dobleSi consideramos las ecuaciones 3.8 y 3.9, y las reordenamos, elevamos al cuadrado y sumamosmiembro a miembro tendremos:σασ−x+ σ2y=σx+ σ2ycos2α − τxysen2ατα=σx− σ2ysen2α + τxycos2α222⎡ ⎛ σx+ σy ⎞⎤2 ⎛ σx− σy ⎞ 2⎢σ⎜ ⎥ + τ =+ τxy2⎟⎜2⎟α−α(3.16)⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠Esta última expresión resulta ser la ecuación de una circunferencia con centro sobre un eje asociadoa las tensiones normales σ, y de abscisa (σ x + σ y )/2 . El radio de la circunferencia es:⎛ σ⎜⎝x− σ2y⎞⎟⎠2+ τ2xy=122 2( σ − σ ) + 4τxyxy(3.17)La propiedad fundamental de esta circunferencia es que cada punto de ella está asociado a unpar de valores (σ, τ) correspondiente a un plano.Desde el punto de vista práctico el trazado de la circunferenciaes muy simple:- Ubicamos los puntos A y B de coordenadas:A (σ x , τ xy )B (σ y , τ yx )OττyxσyrCτxyAσx Rσ- La circunferencia con centro en C, pasante por A y B defineel llamado “Circulo de Mohr”, cuyo radio coincidecon el indicado en la ecuación 3.17BFig. 3.7P

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 9σOC =x+ σ2yσRC =r =xRC− σ22y+ RA2=⎛ σ⎜⎝x+ σ2y⎞⎟⎠2+ τ2xySi por los puntos A y B trazamos dos rectas paralelas a los planos de actuación de las tensionesque definen los puntos, dichas rectas se cortan en el punto P, el cual presenta propiedades muy importantes.Este punto P se denomina “punto principal de Mohr”.Si por el punto principal de Mohr trazamos una recta paralela al plano respecto del cual deseamosevaluar las tensiones actuantes, la misma corta a la circunferencia en el punto M.ττMMOOσyσyτyxτyxArr ταταββC TθC Tθσxσασα α2α2ατxyτxyσxαAσσBBPPFig. 3.8A continuación vamos a demostrar que las coordenadas de ese punto (OT;MT) se correspondencon los valores de σα y τα.β = 2α + θOT = OC + CT = OC + r cosβ = OC + r cos( 2α + θ)OT = OC + r(cos2αcosθ − sen2αsenθ)σ=x+ σ2y+ r cos 2ασx− σ2ry− r sen2ατxyrσOT =x+ σ2yσ+x− σ2ycos 2α − τxysen2α = σαTM = rsenβ = rsen( 2α + θ)= rsen2αcosθ + r cos 2αsenθσTM =x− σ2ysen2α + τxycos 2α = τα

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 10El círculo de Mohr no sólo resulta práctico para determinar las tensiones presentes en un planocualquiera, sino que a partir del mismo pueden obtenerse las tensiones principales y sus planosprincipales, o las tensiones tangenciales máxima y mínima. En el circulo de la figura 3.9 hemos representadolas tensiones recientemente mencionadas y sus correspondientes planos de actuación. En elmismo también puede verse que en correspondencia con las tensiones principales existen tangencialesnulas.τOτxyσmin σx σmaxσyτyxτ minmaxτAσBPσx+σy2σx+σy2τmaxτminσminσmaxFig. 3.9A través del círculo de Mohr podemos analizar algunos casos particulares que nos interesan.a) Corte puroPτxyτyxσmaxσminσminτxy τyxσmaxσEn este estado vemos que existe un elemento girado a 45º con respecto al solicitado por corte puro,tal que sus caras están sometidas a tensiones normales de tracción y compresión, iguales en valor absolutoy numéricamente iguales a la tensión tangencial.b) Tracción simpleFig. 3.10τPσ 1σ 1=0 σ2τα’τασασ 1σα’τασασα’Pστ α’ααFig.3.11

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 113.5.2 Trazado en el estado tripleAsí como es posible determinar las tensionesprincipales en un estado doble, éstas también pueden calcularseen un estado triple. Si suponemos que estas tensionesson conocidas, es posible demostrar que el par detensiones (σ, τ) correspondiente a un plano inclinadocualquiera se corresponde con las coordenadas de ciertopunto ubicado dentro del área rayada indicada en la figura3.13, encerrada por los círculos, definidos, en este casopor las tres tensiones principales.Fig. 3.12τσ3σ2σ1σUn hecho importante a destacar es el que se observaen el circulo de la fig. 3.13. Allí tenemos un estadotriple donde σ 3 =0, y puede verse que la tensión tangencialmáxima resulta mayor que la que corresponderíaal estado plano correlacionado con las tensiones principalesσ 1 y σ 2 exclusivamente.ττmaxFig.3.13τmax12σ3 σ2 σ1σ3.2.a Estado de tensiones en el espacioConsideremos un punto A interior de un cuerpo sometido a cargas. En dicho punto aplicamosuna terna de ejes ortogonales x, y , z. Suponemos conocidos los valores de las componentes de las tensionesσ y τ que actúan en los planos definidos por dichos ejes.⎧σ⎪plano ⊥ x⎨τ⎪⎩τxxyxz⎧σ⎪plano ⊥ y⎨τ⎪⎩τyyxyz⎧σ⎪plano ⊥ z⎨τ⎪⎩τzzxzySupongamos ahora un plano inclinado respecto de los ejes adoptados, que contiene al puntoA. El trazado del plano oblicuo lo haremos desplazado con el objeto de facilitar la representación gráfica.Generamos un tetraedro sobre el cual haremos nuestras consideraciones. Al plano inclinado lo definimospor su normal η que forma ángulo α x , α y , α z , con respecto a los ejes. Los cosenos directoresde dicha normal los designaremos: l, m, n.⎧cosα⎪h⎨cosα⎪⎩cosα∆xyz= l= m= nSup BCD = Ωστττση∆Sup ACD = Ω lτττ∆Sup ABD = Ω mσ∆Sup ABC = Ω n

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 12El problema que analizaremos a continuación consiste en establecer las relaciones que permitanvincular la tensión total ρ, y sus componentes σ y τ que actúan sobre la superficie inclinada con lastensiones existentes en los planos definidos por la terna de ejes adoptados.Primeramente consideremos la tensión ρ descompuesta en tres componentes paralelas a losejes coordenados: ρ x , ρ y , ρ z .ηρρxρyρzτσρηPor condición de equilibrio del tetraedro debe cumplirse:∑Fx→ ρxΩ − σxΩx− τxyΩy− τzxΩz= 0∑Fy→ ρyΩ − τxyΩx− σyΩy− τzyΩz= 0∑Fz→ ρzΩ − τxzΩx− τyzΩy− σzΩz= 0Operando queda:ρx= σ l + τxyxm + τzxnρy= τxyl + σym + τzyn(**)ρz= τxzl + τyzm + σznExpresiones que vinculan las tensiones conocidas, que actúan en las caras ortogonales, con latensión incógnita ρ.2 2 2Conocidas estas componentes podemos hallar el valor de ρ = ρ + ρ + ρ .También podemos calcular la componente de tensión normal:xσ = ρxyl + ρyzm + ρzn , a su vez2 2la componente tangencial: τ = ρ − σ .Se puede apreciar que al cambiar la orientación del plano considerado, varía la tensión resultanteaplicada al mismo, y consecuentemente sus componentes. Entre los infinitos planos que pasanpor ese punto, habrá planos para los cuales la componente τ = 0. Para esas direcciones la tensión normalσ adquiere sus valores algebraicos máximos y mínimos (en nuestra materia lo demostramos parael caso de estado plano de tensiones).Cuando ρ ≡ σ, tales planos se denominan planos principales, las tensiones que ocurren en losmismos tensiones principales y las direcciones de estas ultimas, direcciones principales.En este caso:ρx= σ lρy= σ mρz= σ nReemplazando en (**) y agrupando

ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 130 = ( σx− σ)l+ τyxm + τzxn0 = τxyl + ( σy− σ)m+ τzyn0 = τxzl + τyzm + ( σz− σ)nLos valores de l, m y n que satisfacen el sistema de ecuaciones, nos dan posiciones de planospara los cuales las tensiones son principales. La condición para que l, m y n tengan valores distintos decero, es que el determinante del sistema sea nulo.( σxττ− σ)xyxz( στyτyx− σ)yz( σττzzxzy− σ)= 0Desarrollando el determinante y reemplazando los datos conocidos (σ x , σ y , σ z , τ xy , τ xz , τ yz ) seobtiene una ecuación de tercer grado en σ, que nos dará tres valores de tensión normal: σ 1 , σ 2 , σ 3 ,queson las tensiones principales en el espacio.Es decir que en el punto A, existirán tres direcciones para las cuales en sus planos respectivossolo se producen tensiones normales.Las direcciones principales son normales entresi y σ toma valores que son: máximo, mínimo y elrestante intermedio.En materias de cursos superiores se ampliaráel tratamiento de este tema.σσσ