Geotecnia 1 - Parte III - LORENZO BORSELLI

GEOTECNIA IAño Académico 2013-2014Dr. Lorenzo BorselliInstituto de GeologíaFac. De Ingeniería, UASLPlborselli@gmail.comwww.lorenzo-borselli.euVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

A) Stress, StrainVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Presión hidrostáticaEn un punto, adentroen un masa liquidaZ (m)z!La presión esigual en todaslas direcciones!σv≡σhγwz9.81(kPa)Se vea también…http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlzVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Los Componentes de tensión opresión se pueden ilustrargráficamente, respecto a losejes de coordenadas(x, y, z), cuyo origen es O.Se usa comúnmente una formavectorial (dirección yintensidad).En un cuerpo realCualquier material solidoLos esfuerzos pueden serdiferentes Dependiendoda la orientación en elespacioVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

En geotecnia se usa también elElipsoide triaxial.En un elipsoide triaxial, los tres ejesprincipales son diferentes.σ ves la tensión vertical, mientrasque y son los esfuerzoshorizontales.(en esto ejemplo no se consideran losesfuerzo cortantes.. Se ve masadelante..).σ h 1 2σ hEn un elipsoide triaxial genérico el planolongitudinal y ecuatorial son siempre elipsesσv≠σh≠σ1h2Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Simplificación en dos direccionesVersión 1.3 Last update 04-09-2013En un elipsoide biaxial sólo haydos ejes principales. El eje vertical(v) y el eje horizontal (h).En otras palabras, el planoecuatorial del elipsoide es uncírculo.Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

En rocas y suelosa veces la presión verticalpuede ser menorde la horizontal… v h1 h2σ> σ > σ σ < σ > σv h1 h 2v h1 h 2Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

σσv=h=γzk oγz(kPa)(kPa)stress (o presión)geostatico(presión entro loscuerpos rocosos ysuelos )Stress (o presión) VerticalStress (o presión) Horizontal3peso unitario(kN/m )K 0 = Lateral stress coefficient en condición estática.Este varia entre 0.3 y 2.0 .. En media es 0.3-0.5Versión 1.3 Last update 04-09-2013γGeotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Stress geostatico verticala grandes profundidadesSimbulo ellipsoide de los stressCuando la superficie no es horizontalVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

σ v(kPa)http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmZ(m)∑σv = γidi= γ1d1+ γ2d2+ γ3[z -( d1+ d2)]i(kPa)A cualquier profundidad z, ensuelo o rocas estratificadasLa presión total vertical es la suma dela contribución de carga de todos lo estratos arribael punto consideradoVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

σ v(kPa)Z(m)http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmσγγvunsat=γunsatz +wγsatPeso de unitario porcion insaturaPeso de unitario porcion satura(z-zw)(kPa)satPresión total vertical en un suelo con porción satura de agua abajode porción no satura .material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVkγunsat

W w =m w gCuerpo solido sumergido enun liquidoSpinta hidrostaticaPrincipio de ArchimedesW’ =W-W w = mg-m w gW =mgConcepto de stressefectivo o eficaz'W =mgσ v'σ vEn un medio poroso esequivalente a la presiónPromedia de contacto entrePartícula y partícula.Si hay una presión de poro(hidrostática ) la presión decontacto disminuye.Efecto del principio deArchimedes ..Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

σv, u, σv'(kPa)hwhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmConcepto de Stress efectivo:σ ' = σ u =vσ ' < σ u =vσ =vvv'σv-u0γwhwZ(m)'σ vPresión total vertical en un suelo con falda de agua abajo de una porción noσ vsatura Y su relación con la presión hidrostática de poros u en el mismo punto.Versión 1.3 Last update 04-09-2013σ v'Zona no saturaZona saturauPresionNeutraEstressefectivoPresiontotalGeotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Problema da resolver 1-3-5.5-8-10-14[1][2][3][4]γ 19, γ =sat=unsatγ 18.5, γ =sat=unsatγ 21, γ =sat(kN/m3)=unsat161815.5γ 20.5, γ = 17.5sat=unsatPerfilGeotecnicode 4estratosdiferentesZ(m)Calcular perfil completo de:σv( z),u(z),σv'( z)Recordando que :γw=9.81( kN/3m)Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

datos perfil geotecnicostrato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m31 -3 3 19 162 -8 5 18.5 15.53 -10 2 21 184 -14 4 20.5 17.5porcion satura WT (m)-5.5stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)1 -3 3 16 48 482A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.752B -8 2.5 18.5 46.25 1333 -10 2 21 42 1754 -14 4 20.5 82 257Desarrollo ejercicio 1 en un hoja de calculo (excel/libre office)1) Estructuraras datos de base2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales3) Calculo tensiones totales en forma simplificadaSe vea file: ejercicio1 - parte III.odsEn el material didáctico adicionalVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

ejercicio 1 Grafico finalStress verticaluz (m)(total, neutro, eficaz)Sigma totSigma effvertical stress (kPa)00 50 100 150 200 250 300-2-4-6-8-10-12-14-16-3-5.5-8-10-14[1][2][3][4]Z(m)(kN/m3)γ 19, γ = 16sat=unsatγ 18.5, γ = 15.5sat=unsatγ 21, γ = 18sat=unsatγ 20.5, γ = 17.5sat=unsatVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

ejercicio 1columnasde calculoZ (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)-0 -0 -0 0-0.5 0 8 8-1 0 16 16-1.5 0 24 24-2 0 32 32-2.5 0 40 40-3 0 48 48-3.5 0 55.75 55.75-4 0 63.5 63.5-4.5 0 71.25 71.25-5 0 79 79-5.5 0 86.75 86.75-6 4.905 96 91.095-6.5 9.81 105.25 95.44-7 14.715 114.5 99.785-7.5 19.62 123.75 104.13-8 24.525 133 108.475-8.5 29.43 143.5 114.07-9 34.335 154 119.665-9.5 39.24 164.5 125.26-10 44.145 175 130.855-10.5 49.05 185.25 136.2-11 53.955 195.5 141.545-11.5 58.86 205.75 146.89-12 63.765 216 152.235-12.5 68.67 226.25 157.58-13 73.575 236.5 162.925-13.5 78.48 246.75 168.27-14 83.385 257 173.615Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Problema da resolver 2(casi como ejercicio 1 pero el estrato 4 es no saturo (aquicludoimpermeable) )-3-5.5-8-10-14[1][2][3][4]No saturo !!γ 19, γ =sat=unsat16γ 18.5, γ =sat=unsatγ 21, γ =sat=unsatγ 20.5, γ =sat(kN/m3)=unsat1815.517.5PerfilGeotecnicode 4estratosdiferentesZ(m)σ ( z),u(z),σ '( z)Calcular perfil completo de:Recordando que :vγw=9.81( kNv/3m)Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

datos perfil geotecnicostrato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m31 -3 3 19 162 -8 5 18.5 15.53 -10 2 21 184 -14 4 20.5 17.5porcion satura WT (m)-5.5stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)1 -3 3 16 48 482A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.752B -8 2.5 18.5 46.25 1333 -10 2 21 42 1754 -14 4 17.5 70 245Desarrollo ejercicio 2 en un hoja de calculo (excel/libre office)1) Estructuraras datos de base2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales3) Calculo tensiones totales en forma simplificadaSe vea file: ejercicio2 - parte III.odsEn el material didáctico adicionalVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

ejercicio 2: Grafico finalStress vertical(total, neutro, eficaz)uSigma totSigma effvertical stress (kPa)00 50 100 150 200 250 300-2[1](kN/m3)γ 19, γ = 16sat=unsat-4[2]z (m)-6-8-10-12-14[3][4] Insaturo !!γ 18.5, γ = 15.5sat=unsatγ 21, γ = 18sat=unsatγ 20, γ = 17.5sat=unsat-16Z(m)Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

ejercicio 2columnas decalculoZ (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)-0 -0 -0 0-0.5 0 8 8-1 0 16 16-1.5 0 24 24-2 0 32 32-2.5 0 40 40-3 0 48 48-3.5 0 55.75 55.75-4 0 63.5 63.5-4.5 0 71.25 71.25-5 0 79 79-5.5 0 86.75 86.75-6 4.905 96 91.095-6.5 9.81 105.25 95.44-7 14.715 114.5 99.785-7.5 19.62 123.75 104.13-8 24.525 133 108.475-8.5 29.43 143.5 114.07-9 34.335 154 119.665-9.5 39.24 164.5 125.26-10 44.145 175 130.855-10 0 175 175-10.5 0 183.75 183.75-11 0 192.5 192.5-11.5 0 201.25 201.25-12 0 210 210-12.5 0 218.75 218.75-13 0 227.5 227.5-13.5 0 236.25 236.25-14 0 245 245Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Sugerencias:material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=relatedSugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.1 y ejercicio 6.1Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

B) Stress y deformaciónVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Stress en elemento tri-dimensional (3D) en solidosVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

3D 2DStress en elementotri-dimensional (3D)Stress en elementobi-dimensional (2D)Versión 1.3 Last update 04-09-2013En condición de equilibrioLas parejas de stress tangencialesdeben ser equivalentes… (pero con signo cambiado )Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Definiciones de Deformaciones normal y de corte (normal and shear strain)Deformaciones normal(Linear strain):ε(adimensional)Deformacion de corte(Shear strain) : (en radianes ) γVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Elastic moduluso modulo de deformacióno modulo de Young’sShear moduluso modulo de deformaciónpor esfuerzo horizontalVersión 1.2 Last update 20-09-2012Geotecnia I (2012/2013) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Los dominios de stress vs. Strain• Region elastica• Region plastica• RopturaVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

El comportamiento demateriales en términos destress y strain se puede poneren forma grafica…Elastic moduluso modulo de deformacióno modulo de Young’smaterial audiovisual:http://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_videoVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Definición dePoisson’s ratioVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Modulo elástico y coeficiente dePoisson’s de varios tipos de suelos:Nota:1x10 3 kN/m 2 =1 MPaVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Modulo elástico estatico ycoeficiente de Poisson’s porvarios tipos de rocas ..Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1 ,6.2,6.3Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

C) Distribución de tensiones en elterreno bajo de áreas cargadasVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Tensión debida a una cargapuntual en un semi-espacioElástico.(teoria de BUSSINESQ)P =carga puntual (dimensiónde una presión)Z,r,L: parámetros geométricospara posicionar el punto, oelemento, adonde se necesitacalcular la tensión adicional(delta sigma) inducida da lacarga P.Nota: en este caso se usa un sistema decoordenadas coordinada cartesianas XYZVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

En el caso de áreas cargadas uniformemente se necesita una integración de lasolución de Bussinesq (integral de superficie de la solución puntual)Ejemplo de solución por una área rectangular:q = presión uniformeL,B= lados del rectánguloVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Solución de Newmark(por áreas rectangular cargada uniformemente)Factores de escala (adimensionales)Incremento de tensión verticalCoeficiente de influencia que depende dafactores geométricosVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Solución de Newmark(carta de Fadum, 1948)I (Fadum) I (Newmark) /4 pSolución aproximada porEsquina de un área cargadaUniformemente carta de Fadum.Nota: esto coeficiente incluyeya el divisor 4 pD z =q x I (Fadum)Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Solucion Área circular cargadauniformementeVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Bulbo de presión bajo superficies uniformemente cargadas(area circular )Area Rectangularcon lado L infinitoVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Principio de superposición (Ejemplo aplicado a área rectangular cargadauniformemente)L1L2En cualquier puntointerno se suman losB1 [1]efectos a la esquina de 4[2]rectángulos cargadosuniformementeB1=B2B3=B4[4][3]B3L1=L4L2=L3zΔσzΔσ Δσ Δσ Δσz1 z 2 z3z 4Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Principio de superposición:Presión inducida bajo de Terrapleno con sección trapecio o triangularq 5q 4q 3q 2q 1Δσ =ZΔσ = q I + q I + .... +z 1 σ1 2 σ2qnIσnCadaI σidepende de la geometría de carga de cada sub-elementoVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Principio de superposiciónOtro ejemplo : efecto de carga concentrada a lado de una excavación con barrerade contenciónVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974) para evaluar la presiónadicional al centro de un área con una carga distribuida:Zapatas circularBZfBLZapatas rectangularZfVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Métodos aproximados llamado 1:2 , para evaluar la presiónadicional al centro de un área con una carga distribuida :Los métodos aproximadodan una solución con unerror Promedio de 5%respecto a la solucione deBussinesq-NewmarkVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Esercicio 3 - Ejemplo de aplicación: comparación de métodosStress vertical inducido da una área uniforme cargada uniformemente de q=200 kPa.El área tiene lados B=4 m y L=7 m. calcular el stress adicional a laprofundidad de 5 m debajo el centro del área cargada.qqqB=4mqZ=5 mL=7mComparar 3 métodos1) Método de newmark-fadum2) Método de poulos y davis (1974)3) Método 1:2Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Método de newmark-fadum1)Se subdivide el área cargada en 4 rectángulos iguales de lado B=2m y L=3.5m2)Se calculan los factores m y n relativos a la profundidad Z=5m y con B=2m , L=3.5mqZ=5 mSe obtiene al fin a z=5 mD z =q x I 200x0.36=72 (kPa )Versión 1.3 Last update 04-09-2013qqqL=3.5 mB=2mm=L/z=3.5/5=0.7n= B/z=2/5=0.4Con los valores (m,n)= (0.7,0.4)Se deriva el valore I=0.09 en la carta deFadum.Ósea a 5 m tenemos en profundidad un 9%adicional a la presión normal, debido ala carga uniforme q en superficie.Aplicando el principio de superposición al centrodel área cargada se tiene que considerar elacción combinada de los 4 rectángulos chiquitoy iguales. Entonces el factor de influencia finales I fadum =4 X 0.09=0.36 (nota que estocoeficiente incluye ya el divisor 4 p)Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Uso de cartade Fadum, (1948)D z =q x I (Fadum)0.7I (Fadum)0.09m=0.7n=0.4Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974)qBLSe obtiene al fin a z=5 mD z =q X I200 x 0.326 65 kpaZapatas rectangularCon las constantes a=2.1212b=1.7334Z fCon el metodo 1:2Se obtiene al fin a z=5 mD z =q X I200 x 0.283 56.56 kpaVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.6,6.11 y 6.12 -ejercicios 6.7 y 6.20Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

D) stress en cualquier planoz’z' z zy'' yz y'y’ y'y' yz zy'' z90Versión 1.2 Last update 20-09-2012Geotecnia I (2012/2013) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Distribución de estresbajo una cimentación..Los Ejes de estres mayor ymenor sondibujadosConcepto de stressVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Concepto de stress-1Stress UNIAXIALstress normalal plano PQFuerza tangencialal plano PREnsayo cilíndricocon compresiónuniaxialFuerza normalal plano PRVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Concepto de stress-2Stress UNIAXIALstress tangencialy normal a planoorientado decualquier AngulothetaCual es el ángulocon max Tau y maxSigmaN?Versión 1.3 Last update 04-09-2013Variación de sigmaN y Tau en un ensayo cilíndrico porCualquier ángulo thetaGeotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Concepto de stress-3Stress biaxial en una plataformaRectangular y stress en su elementoStress BIAXIALVersión 1.2 Last update 20-09-2012Geotecnia I (2012/2013) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Concepto de stress-4Stress BIAXIALstress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo thetaVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Concepto de stress-5Stress BIAXIAL generalizadoVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Concepto de stress-6Stress BIAXIAL generalizadoConvenciones en geo-mecanica !Nota importante:In geotecnia la convención de los signosse usa una manera diferente queen otras área de mecánica de losmateriales (donde los signos soninvertidos).1) tensiones normales compresivas sonpositivos Y tensiones normales detracción son negativo.2) Orientación shear stress (Tau) sigue lala regula siguiente:En condicionde equilibiro+-Orientacion Anti-clockwiseOrientacion clockwiseVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Concepto de stress-7Stress BIAXIAL generalizadostress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo thetaVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Concepto de stress-8Stress BIAXIAL generalizadoshear stress máximo en un planoorientado según este ángulo:θθττmaxmax1 yz arctan22 yz 45sisiyzyz00Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Exercicio 4Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto A, enun plano a -35° como en el dibujo.agua3m[w]k 0 =0.6g =19 kN/m32m[1]k 0 =0.6g=21 kN/m3A-35°2.5m[2]En el punto A …sigmaV = 9.81*3+19*2+21*2.5=29.4+38+52.5=119.9 (kPa) (presion vertical)sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 (kPa) (presion horizontal)Con tauZY=0 (kPa)SigmaN ?Tau?Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Esfuerzo normal y e tangencialA un plano orientado con sigmaOrientada de un Angulo teta respectoA la horizontalSigma 1=sigmaV35°Sigma NNuestro caso:SigmaZ=SigmaVSigmaY=SigmaHCon tauZY=0 (kPa)-35°55°Sigma 3=sigmaHtauel plano hace -35 grados respecto a el eje horizontal y sigma NEs orientada a 55° al mismo eje horizontalVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

= [119.9*0.671 + 71.9*0.329 ] = 104.1 kPa= [-24* -0.9397 ] = 22.6 kPasigmaV=119.9Con tauZY=0 (kPa)Sigma N = 104.1 kPa35°55°sigmaH =71.9-35°Tau 22.6 kPaVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Parry (2002)– capitulo 1- secciones 1.1, 1.2 y 1.3Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

E) Círculos de Mohr max( ) ,z zyn , 2( )2 pCirculo demohrStressprincipales,normales ytangencialesy maximosmin 2( , )y zy 1 2 2 max 1Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Circulo de MohrEjemplo en condiciones destress plano.Parámetroscirculo de MohrEl circulo de Mohr permiten derepresentare y calcular gráficamente todasla condiciones de stress en un punto y encualquier planormedioCentro y rayo del circulo de stress plano zmax2yzy 2 2 1222zy n0 0Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Zoom del anterior…..Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Determinación de orientación(ángulo Theta P ) de losstress principales(máximo y mínimo )z’ 1 pzCuando xy es diverso da0 los stresses principalesnon son perfectamenteverticales y horizontales.En esto caso los estressindicados como 1 y 2tienen una orientacióntheta p con la vertical. 2 py’Y 2 1θ p12 2zyarctanzy1,2z2yz2y22zyVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

( )z, zy max ,n 2( )2 pCirculo demohrStressprincipales,normales ytangenciales ymaximosmin 2( , )y zy 1 2 2 max 1Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

maxz2y22zy122Shear stressmaximo y su orientacion ,cuando xy es diverso da 0Angulo Theta donde hay el shearstress máximo y su relación conTheta Pθθθτττmaxmaxmax1 zyarctan2 2zy45θp 45si si zzyxy 0 0Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Recuerdo el ejemplo de el ejercicio 4…Exercicio 4Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto enun plano a -35° como en el dibujo. Pero con TauZY=30 kPaagua3mk=0.6g =19 kN/m32mk=0.6g=21 kN/m3A-35°2.5mEn el punto A …sigmaV = 29.4+38+52.5=119.9 kPasigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 kPatauZY=30 kPaSigmaN ? Tau?Versión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

= [119.9*0.671 + 71.9*0.329+(30*-0.93) ] = 76.2 kPa= [ -24* -0.9397 + 30*0.34] = 32.8 kPasigmaV=119.9Sigma N = 104.1 kPa35°TauZY =3055°sigmaH =71.9-35°Tau 32.8 kPaVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

z’z y'' z zy'' yz y'y’yDeterminación de estrés en uncualquier plano rotado de unángulo teta' yz zy'' z90Versión 1.3 Last update 04-09-2013zyzyz' cos2zysin 22 2zyzyy' cos2zysin 22 2zyzy' sin 2zycos22Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Circulo de Mohr para el stress eficaz : el stress eficaz se calculasolamente para los stress principales y los stress normales pero no para el shear stress ' u1 ' 2 u2 ' 1 2' 2Entonces la corrección debida a la presión neutra hace que semueva a la izquierda todo el circuloVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli

Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Parry (2002) – capitulo 1 – secciones 1.4 y 1.5Material audiovisual acerca la distribución de stress:http://www.youtube.com/watch?v=RlDkYQqSJxs&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=DuZllNDex6s&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=YcNQS1ZltsM&feature=relmfuhttp://www.youtube.com/watch?v=v8wK4xezOXU&feature=relmfuhttp://www.youtube.com/watch?v=WegNYmngBaE&feature=relmfuVersión 1.3 Last update 04-09-2013Geotecnia I (2013/2014) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli