Redes de Petri Estocasticas

Redes de Petri
Estocásticas
Carlos Aguirre
Universidad Autonoma de Madrid, Dpto Ingenieria Informatica

Redes Estocásticas
Definición: Una red de Petri Estocástica es una red de Petri
con transiciones con tiempo, disparo atómico y en la que los
restrasos de transición son variables aleatorias con
distribución exponencial negativa.
El comportamiento de este tipo de redes se puede describir
mediante un proceso estocástico.

Redes de Petri con tiempo.
El tiempo no estaba incluido en el modelo original
de Petri.
Una transición disparaba de forma “inmediata”
Hoy en dia se considera que es necesario
introducir el tiempo en algunos modelos de redes
de Petri.

El tiempo se introduce con el fin de poder
Evaluar el rendimiento de un sistema
Analizar problemas de scheduling en sistemas
dinámicos.
El tiempo se ha de introducir en las Redes de
Petri de tal forma que:
Los modelos con tiempo y sin tiempo sean
consistentes
Permita calcular indices de rendimiento del
sistema.

Lugares (Places) con tiempo (TPPN)
Los tokens generados por una lugar de
entrada estan disponibles para una
transición sólo despues de pasado un
tiempo el cual es una propiedad del lugar.

Tokens con tiempo
Los tokens llevan una marca de tiempo
que indican cuando estan disponibles para
una transición.
La marca de tiempo se puede incrementar
en cada transición disparada.

Arcos con tiempo
Se asocia un retraso a cada arco, los
tokes solo estan disponibles para disparar
cuando han alcanzado la transición.

Transiciones con tiempo (TTPN)
Las transiciones representan actividades.
• El inicio de la actividad corresponde con la
habilitacion de la transición.
•El fin de la actividad corresponde con el
disparo de la activación.

Transiciones con tiempo (TTPN)
Las transiciones con tiempo permiten diferentes
políticas de disparo:
•Disparo en tres fases
•Los tokens se eliminan de los lugares de entrada cuando
se habilita la transición
•Se espera un tiempo
•Los tokens se generan en los lugares de destino
•Disparo atómico
•Los tokens permanecen en los lugares de entrada hasta
que la transición dispara.
•Se eliminan de los lugares de entrada y se crean en los
lugares de destino cuando la transición dispara.

Redes de Petri con Tiempo
Normalmente se consideran TTPN con disparo
atómico:
•Conservan el comportamiento basico del modelo sin tiempo.
•Es posible aprovechar la teoria desarrollada para
Redes de Petri sin tiempo (invariantes,
alcanzabilidad,..).
Hay dos posibles especificaciones de tiempo
•Tiempo constante (Red de Petri con tiempo
determinista)
•Tiempo variable (aleatorio) (Red de Petri estocástica)

Funcionamiento de cada transición
Se asume que cada transicion tiene asociado un reloj.
•Cuando la transicion se habilita, se establece el valor
de reloj al retraso establecido para la transición.
•El contador se decrementa de forma constante hasta
que alcanza el valor 0.
•En ese momento la transición dispara.

Conflictos
Cuando mas de una transición con tiempo y disparo
atomico está habilitada el funcionamiento es igual al caso
anterior para cada transición
El problema surje cuando hay varias transiciones
habilitadas
•¿ Cual de ellas dispara ?
•¿ Que ocurre con las que no disparan ?

Reglas de selección
Preselección
•Se elige la transición habilitada que dispara de
acuerdo a algun tipo de métrica (prioridad,
probabilidad, etc).
Carrera
•Dispara la transición habilitada que tiene un tiempo de
retraso menor.

Politicas de Memoria
Puede ocurrir que una transición quede desabilitada por el
disparo de otra transición con la que está en conflicto.
•¿ Que ocurre con el reloj cuando la transición se
vuelve a habilitar ?
•Mecanismos básicos
• Continuar: La transición deshabilitada “para” la
cuenta atras de su reloj y la continua la proxima vez
que la transición esta habilitada
• Reiniciar: La transición reinicia su reloj (quizá con
un nuevo valor) cada vez que se habilita.
A partir de los dos mecanismos anteriores es posible
contruir varias politicas de memoria para una transición.

Politicas de Memoria
Reinicio
•Cada vez que dispara una transición con tiempo
todas las transiciones de la red se reinician.
•No hay memoria del pasado
•Las transiciones habilitadas obtienen nuevos
valores de tiempo.

Politicas de Memoria
Memoria de habilitación
•Cuando una transicion dispara, los relojes de todas las
transiciones que son deshabilitadas se reinician, las
transiciones que permanecen habilitadas conservan su
valor.
•Le memoria se graba en una variable de memoria de
habilitacion asociada a cada transición.
•Esta variable cuenta el trabajo realizado por la
actividad asociada a la transición desde la ultima vez
que su reloj fue reiniciado, es decir mide el tiempo
transcurrido desde que la transición se habilitó.

Politicas de Memoria
Memoria de edad
•Cuando una transicion dispara, los relojes de todas las
transiciones mantienen sus valores.
•Le memoria se graba en una variable de memoria de
edad asociada a cada transición.
•Esta variable cuenta el trabajo realizado por la
actividad asociada a la transición desde la última vez
que la transicion disparó.
•Esta variable mide el tiempo de habilitación
acumulado desde la ultima vez que la transición
disparó.

Habilitación de una transición
Se llama grado de habilitación de una transición el
número de veces que una transición puede disparar, dada
una marca, antes de estar desabilitada.
Si el grado es mayor que uno, se pueden considerar
diferentes semanticas de tiempo.
•Semantica de servidor simple
•Semantica de servidor multiple
•Semantica de servidor infinito

Semantica de servidor simple
El retraso de disparo se establece cuando la transición se
habilita.
Se establecen nuevos retrasos despues de cada disparo
si la transición está todavia habilitada con la nueva marca.
Los tokens se procesan en serie

Semantica de servidor multiple
Los conjuntos de tokens que producen la habilitación de
la transición se procesan simultaneamente hasta un grado
maximo de paralelismo (por ejemplo K)
Para valores mayores del grado de habilitación, los relojes
asociados a tokens que habilitan la transición se inician
solo cuando el numero de relojes funcionando es menor
que K.

Semantica de servidor infinito
Todos los conjuntos tokens se procesan tan pronto como
llegan a las entradas de la transición
Cada conjunto tiene un retraso de disparo, los relojes
asociados a estos retrasos descienden de forma
simultanea.
Los conjuntos de tokens se procesan en paralelo.

Ejemplo
Consideremos una transición con grado de habilitacion 3,
supongamos que cada conjunto tiene un tiempo de
retraso de 3, 2 y 4 unidades..

Colas
Una vez que la transición ha disparado, los tokens se
pueden remover de los lugares de entrada de distintas
formas.
•Aleatoria.
•Mediante un sistema de colas, con o sin prioridad.

Procesos estocásticos.
Una variable aleatoria es una función real definida sobre
un espacio de probabilidad (espacio muestral).
•Ejemplo 1: Consideremos el experimento aleatorio que
consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada
elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx,
xcx, xxc, xxx} le asignamos un número real, el
correspondiente al número de caras.
•Ejemplo 2:Supongamos el experimento aleatorio que
consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada
resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado.
•Ejemplo 3:Consideremos el experimento que consiste en
elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que
asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria.

Procesos estocásticos.
Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable
aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la
probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a
establecer, por convenio, la siguiente notación:
•(X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x",
y
•p(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.
•(X

Procesos estocásticos.
La función de densidad de probabilidad f(x) de la
variable aleatoria X es una función real tal que:

Procesos estocásticos.
Un proceso estocástico {X(t); t ∈ T}, es una familia
de variables aleatorias definidas sobre el mismo
espacio de probabilidad, indexadas por el parametro
t.
Los procesos estocásticos son modelos útiles para la
descripción de fenómenos de tipo probabilístico que
es función de un parámetro que puede ser el tiempo.

Procesos estocásticos.
Una realización (o camino) de un proceso
estocástico es un cojunto de valores x(i) producidos
por la realización de las variables aleatorias X(i)

Procesos estocásticos.
La descripción probabilística de un proceso
estocástico viene dada por la función de de
distribución de probabilidad conjunta de cualquier
conjunto de variables aleatorias extraido del proceso.
• P{X(1)

Procesos de Markov
Un Proceso de Markov es un caso particular de
proceso estocástico.
Los procesos de Markov tienen una descripción
probabilística mas simple
Un proceso de Markov es un proceso estocastico
que verifica la propiedad de Markov, es decir:
•P{X(t)

Cadenas de Markov
Si el espacio muestral es numerable entonces el
proceso de Markov se denomina cadena de Markov
Si además el parametro t es continuo, el proceso se
denomina Cadena de Markov con tiempo Continuo.

Cadenas de Markov
Buscamos por tanto una distribución de probabilidad
tal que se mantenga la propiedad siguiente:
•P(X > x+|X>P(X>x) para todo x y
La unica función de distribución de probabilidad que
verifica lo anterior es la distribución exponencial
negativa:
•f(x)=e ­x
La distribución exponencial negativa tiene un sólo
parámetro que corresponde al valor inverso de su
esperanza, es decir si X tiene una distribucion
exponencial negativa E[X]=1/

Propiedades de la exponencial
•Si tenemos dos variables aleatorias, X e Y ambas
con distribución exponencia negativa de
parámetros y respectivamente, la variable
aleatoria Z definida como Z=min(X,Y) tambien
tiene distribución exponencial negativa con funcion
de distribución
• f(x)=(e ­(x

Descripción de las cadenas de Markov
•Una cadena de Markov se puede describir mediante
un diagrama de transicion de estado.
●
O bien mediante matriz de transición de estado Q
denominada generador infinitesimal

Descripción de las cadenas de Markov
• La solución de una cadena de Markov a tiempo t es
la distribución de probabilidad sobre el conjunto de
estados. (t)={
(t),
(t),
(t),....} con
(t)=P{X(t)=i}
•Se puede demostrar que:
• d(t)/dt = (t)Q cuya solución se puede escribir
(t)= (0)H(t) con H(t)=e Qt

Descripción de las cadenas de Markov
• La solución de una cadena de Markov a tiempo
estacionario es la distribución de probabilidad sobre el
conjunto de estados.
•Esta distribución solamente existe para Cadenas de
Markov ergódicas.
•La distribución del estado estacionario (t) ={
,
,
,....} con
= lim t→∞
(t) se calcula como la solución del
sistema de ecuaciones Q=0 con la condición ∑ i
=1