TEMA 2 DUALIDAD DEL PROCESADO CONTINUO / DISCRETO ...

TEMA 2
DUALIDAD DEL PROCESADO
CONTINUO / DISCRETO
2.1 Procesado discreto de señales analógicas
2.2 Procesado analógico de señales discretas
2.3 Cambio de la frecuencia de muestreo en el
dominio discreto.
2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a
la conversión A/D y D/A
Tema2.1
T3.1

2.1 PROCESADO DISCRETO DE SEÑALES
ANALÓGICAS
Pretendemos realizar de forma ‘discreta’ un
sistema contínuo, como podría ser la simulación por
ordenador de un proceso físico conocido. Para ello:
x c (t)
x[n]
y[n]
y r (t)
C / D
Sistema
Discreto
D / C
T
T
h(t), H(Ω)
Teníamos: xn [ ] = x ( nT)
Por otro lado:
(
j
)
Xe
c
ω ω π
= 1 ⎛
⋅ Xc
− ⋅ ⎞
∑ ⎜
2 ⋅ k⎟
T ⎝ T T ⎠
k
y
r
∞
() t = ∑ y[ n]
n=−∞
sin
⋅
π
[ π ( t − nT )/
T ]
( t − nT )/
T
=
∞
∑
n=−∞
y
[ n]
⎛
⋅ sinc⎜
⎝
( t − nT )
T
⎞
⎟
⎠
Además:
⎧
( ) ( ) ( )
T Y( jΩT
e )
jΩT
⎪
Ω = Ω ⋅ =
Y H Y e
r
r
⎨
⎩⎪ 0
⋅ Ω <
resto
π / T
Tema2.2
T3.2

2.1 PROC. DISCRETO DE SEÑALES ANALÓGICAS (cont.)
Si el sistema discreto es LTI: Y( e j ω
) H( e j ω
) X( e
j ω
= ⋅ )
que junto a la expresión anterior resulta:
( ) ( ) (
jΩT) (
jΩT
Ω
)
r
Ω
Y = H ⋅H e ⋅ X e =
r
( ) (
jΩT
= H H e )
r
Ω ⋅ ⋅ 1 ⎛
⋅ Xc
Ω− ⋅ ⎞
∑ ⎜
2 π ⋅ k⎟
T ⎝ T ⎠
Si X c (Ω)=0 para |Ω|>π/T, entonces el filtro paso
bajo ideal de reconstrucción H r (Ω) cancela el factor 1/T
y selecciona sólo el término correspodiente a k=0:
Y
r
⎧
(
jΩT) ⎪
c ( Ω)
( Ω) =
k
He ⋅ X Ω < π / T
⎨
⎩⎪ 0
Ω > π / T
De este modo, si: a) X c (Ω) está limitado en banda,
y b) la frecuencia de muestreo es superior a la de
Nyquist, la salida se relaciona con la entrada como:
donde
( Ω) = ( Ω) ⋅ ( Ω)
Y H X
r eff c
H
eff
⎧
(
jΩT
He ) ⎪
( Ω) =
⎨
⎩⎪ 0
Ω
Ω
<
>
π
π
/ T
/ T
Tema2.3
T3.3

2.1 PROC. DISCRETO DE SEÑALES ANALÓGICAS (cont.)
⇒ vemos que el sistema contínuo total (entrada y
salida contínuas) es equivalente a un sistema LTI cuya
respuesta efectiva en frecuencia coincide con la
anterior.
Debemos destacar que el comportamiento LTI del
sistema contínuo total depende de dos factores:
1. El sistema discreto debe ser LTI.
2. La señal de entrada debe ser limitada en
banda y la frecuencia de muestreo
suficientemente alta para que cualquier posible
aliasing (solapamiento espectral) sea eliminado
por el sistema discreto.
Ejemplo: podemos ver en el siguiente ejemplo un filtro
paso bajo discreto en el que, a pesar de existir aliasing,
la salida es correcta:
X c (Ω)
H(Ω)
Ω N
X (e jω )
H (e jω )
Ω S

2.1 PROC. DISCRETO DE SEÑALES ANALÓGICAS (cont.)
Ejemplo: queremos filtrar paso bajo una señal contínua.
Para ello, haremos uso del sistema conversión C/D →
Sistema discreto → conversión D/C, obteniendo las
siguientes señales:
a) Transf. de Fourier
(TF) de una señal de
entrada limitada en
banda.
b) TF de la señal
muestreada, dibujada
en función de la
frecuencia contínua Ω.
c) TF X(e jω ) de la
secuencia x[n] y
respta. en frecuencia
H(e jω ) del sist. discreto
d) TF de la salida del
sistema discreto
e) TF de la salida del
sist. discreto y rpta. en
frecuencia del filtro de
reconstrucción ideal
representadas en f(Ω).
f) TF de la salida
Tema2.5
T3.5

2.2 PROCESADO CONTÍNUO DE SEÑALES
DISCRETAS
En este caso, disponemos de señal discreta y
queremos que la salida también sea discreta (por
ejemplo, obtener la respuesta impulsiva de un recinto
acústico):
x[n]
x c (t)
y c(t)
y[n]
D / C
Sistema
Contínuo
C / D
T
h c (t), H c (Ω)
T
h[n], H(e jω )
Si observamos las relaciones conocidas entre las
distintas entradas y salidas en el margen de
frecuencias indicado:
( ) (
jΩT
Ω
)
X = T ⋅ X e Ω < π / T
c
( ) ( ) ( )
Y Ω = H Ω ⋅ X Ω Ω < π / T
c c c
(
jω
)
Y e
1
= ⋅
T Y
c
⎛ ω⎞
⎜ ⎟ ω < π
⎝T
⎠
⇒ el sistema total se comporta como un sistema
discreto con respuesta en frecuencia:
He (
jω
) H ⎛ ω⎞
=
c ⎜ ⎟ ω <
⎝ T ⎠
π
Tema2.6
T3.6

2.2 PROC. CONTÍNUO DE SEÑALES DISCRETAS (cont.)
Visto de otro modo, la respuesta en frecuencia total
será igual a una H(e jω ) dada si la respuesta del sistema
contínuo viene dada por:
( ) (
jΩT
Ω )
H = H e Ω < π / T
c
2.3 CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO
EN EL DOMINIO DISCRETO
Con cierta frecuencia, será necesario cambiar la
frecuencia de muestreo de una señal discreta, es decir,
obtener una nueva representación discreta de la señal
contínua original:
x[n] = x c (nT) → x’[n] = x c (nT’)
La forma mas sencilla e intuitiva de hacerlo sería
reconstruir la señal contínua x c (t) a partir de x[n], y
volver a muestrear con T’. Sin embargo, esto no es
deseable debido a que ni el filtro de reconstrucción ni
los conversores A/D y D/A son ideales.
⇒ buscaremos entonces el modo de hacerlo en el
dominio discreto, sin necesidad de conversiones.
Tema2.7
T3.7

2.3.1. Reducción de f s por un factor entero:
Diezmado
La frecuencia de muestreo de una secuencia puede
reducirse de forma directa mediante un nuevo ‘muestreo’
de la secuencia original:
x d [n] = x [n⋅N] = x c (n⋅N⋅T)
⇒ sin embargo, esta manipulación directa no sabemos
qué efectos tiene en el dominio de la frecuencia, ya que
podemos estar inframuestreando (muestreando por
debajo de la frecuencia de Nyquist) la señal original, con
lo que nos aparecerían solapes espectrales.
Para realizar este análisis, haremos uso de una
señal intermedia z[n], en la que hacemos cero, pero no
eliminamos, las muestras que no nos interesan.
x[n]
x[0]
z[n]
x[0]
x d [n]
x[N]
x[N]
x[2N
[ ] = [ ] ⋅ ∑δ[ − ]
zn xn n lN
∞
∑
δ
l = −∞
1
− = ⋅
N
[ n lN]
∞
l =−∞
DSF
N −1
∑
k = 0
e
2π
j
N nk
x[2N
Tema2.8
T3.8

2.3.1. Reducción de f s por un factor entero:
Diezmado (cont.)
Vamos a demostrar (no obtener) la igualdad
anterior, obtenida mediante desarrollo en serie de
Fourier (DSF):
N−1
∑
k = 0
e
2π
j nk
N
•
Si n = N ⇒
=
0
0
1−
e
1−
e
⇒
j 2πn
2π
j n
N
N−1
∑
k = 0
e
⎧NUM = 0 siempre
⎪
⎨
2π
j n
⎪
⎩DEN = 0 sii e N = 1
2π
j nk
N
n=
N
=
•
N−1
k = 0
⎧
•
1
N−1
2π
j nk ⎪0
si n ≠ N
⇒ ∑ e N = ⎨
N
•
k = 0 ⎪
⎩1
si n = N
Una vez demostrada la igualdad, tenemos entonces:
[ ] [ ]
zn
1
= ⋅
N xn ⋅
∑
e
j 2πk
=
N−1
∑
k = 0
•
n = N
1 = N
2π
N−1
ej N
∑
nk
k = 0
⎛ 2π
∞ N
−j⎜ω
−
N k ⎞
−1
∞
⎟ n
(
jω) − jωn
1
⎝ ⎠
Ze = ∑zn [ ] ⋅ e = ⋅ ∑ ⋅ ∑xn
[ ] ⋅e
n =−∞
N
k = 0 n1=−∞
4444244443
⎛
⎜
X⎜e
⎜
⎝
⎛ 2π
j ⎜ ω −
⎝ N k ⎞
⎟
⎠
⇒ repeticiones periódicas de X(e jω ) cada 2π/N
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⇒
Tema2.9
T3.9

2.3.1. Reducción de f s por un factor entero:
Diezmado (cont.)
X c (Ω)
1
Gráficamente:
X (e jω )
-Ω N Ω N
Ω
1/T
-2⋅π
ω a
2⋅π
ω
1/(N·T)
Z (e jω )
-2⋅π
2⋅π/N
2⋅π
ω
Si observamos:
∞
j
( ) ∑ d [ ] [ 0] [ ] [ 2 ]
X e = x n ⋅ e = ... + x + x N ⋅ e + x N ⋅ e + ...
d
ω −jωn −jω −j2ω
n =−∞
∞
j
( ) ∑ [ ] [ 0] [ ] [ 2 ]
ω −jωn −jωN −j2ωN
Ze = zn⋅ e = ... + x + xN⋅ e + x N⋅ e + ...
n =−∞
⎛
X e = Z ⎜
⎜
e
⎝
⇒ (
jω
) d
ω ⎛ ω 2π
j j⎜
−
N
⎝ N N k ⎞
⎟
⎠
1/T’=1/(N·T)
⎞ N−1
⎛
⎟ X e
⎟ = 1
N
⋅ ⎜
∑
⎠ k = 0 ⎜
⎝
X d (e jω )
⎞
⎟
⎟
⎠
-2⋅π -π N·ω a π
2⋅π
Tema2.10
T3.10

2.3.1. Reducción de f s por un factor entero:
Diezmado (cont.)
⇒ si aparecen solapes en Z(e jω ), también aparecerán
en X d (e jω ), ya que sólo hemos cambiado la graduación
del eje de abscisas.
Por tanto, un esquema práctico de diezmado
deberá incluir una etapa de prefiltrado que evite la
aparición de solapes aunque perdamos información:
v[n]
π / N
x[n]
↓ N
y[n]
1
H(e jω )
-π / N
π / N
ω
Tema2.11
T3.11

2.3.2. Aumento de f s por un factor entero:
Interpolación
Si queremos aumentar la frecuencia de muestreo
de la señal x c (t):
x[0]
x [n]
x[1]
x[n]=x c (nT)
x i [n]= x c (nT’) con T=T’⋅L
x[2]
z[n]
x[0]
x[1]
x[2]
⇒ x i [nL]= x[n]
La secuencia intermedia:
x i [n]
[ ]
zn
=
⎧
⎪xn
⎨
⎪
⎩0
•
/ si n = L
[ L]
si n
≠
•
L
Podemos expresar:
∞
[ ] = [ ] ⋅ [ − ]
zn ∑ xk δ n kL
k =−∞
∞
jω
( ) ∑ ∑ [ ] δ[ ]
Ze = xk⋅ n− kL⋅ e =
n=−∞1k
=−∞ 444 24443
zn [ ]
∞
∑
− jωkL
[ ] (
jωL)
= xk ⋅ e = Xe
k =−∞
∞
− jωn
Tema2.12
T3.12

2.3.2. Aumento de f s por un factor entero:
Interpolación (cont.)
X c (Ω)
1
Gráficamente:
-Ω N Ω N
Ω
X (e jω )
1/T
-2⋅π -π π
L
1/T
Z (e jω )
2⋅π
-2⋅π
2⋅π/L
X i (e jω )
π
2⋅π
ω
L/T=1/T’
-2⋅π
2⋅π
ω
Por tanto, un esquema práctico de interpolación:
x[n]
z[n]
x i [n]
↑ L
π / L
L
H(e jω )
-π / L
π / L
ω
Tema2.13
T3.13

2.3.3. Cambio de f s por un factor no entero
Combinando el diezmado y la interpolación es
posible cambiar la frecuencia de muestreo por un factor
no entero:
x[n]
x i [n]
x id [n]
↑ L
π / L π / N ↓ N
G=L G=1
'
s
De este modo: f = f ⋅
s
⇒ Eligiendo de forma adecuada L y N, podemos
acercarnos a cualquier relación entre períodos de
muestreo deseada (al menos, idealmente).
Si de los dos filtros intermedios, nos quedamos
con el mas exigente:
L
N
x[n]
↑ L
min ( π / L , π / N )
G=L
↓ N
x id [n]
Tema2.14
T3.14

• Ejemplo: tenemos una señal discreta, con ω max =4π/5,
y queremos modificar su f s de modo que:
a) f s ’ = 3/2 ⋅ f s
b) f s ’ = 2/3 ⋅ f s
X (e jω )
-2⋅π -π 4π/5 π
2⋅π ω
(a) L=3, N=2
X i (e jω )
-2⋅π -π
π/3
4π/15
π
2⋅π
ω
X id (e jω )
-2⋅π
-π
(b) L=2, N=3
8π/15
π
2⋅π
ω
X i (e jω )
-2⋅π -π
π/3
X id (e jω )
π
2π/5
2⋅π
ω
-2⋅π
-π
π
2⋅π
ω
Tema2.15
T3.15

⇒ si x[n] fue fruto de muestrear cumpliendo el criterio
de Nyquist, siempre podremos aumentar la frecuencia
de muestreo sin perder información.
Sin embargo, para bajar la frec. de muestreo, sólo
podremos hacerlo sin perder información en la misma
medida que la señal estuviera sobremuestreada.
2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a
la conversión A/D y D/A
En la conversión A/D siempre vamos a necesitar
un filtro antialiasing, en teoría ideal. En la práctica,
estos filtros tienen una pendiente de caída mas o
menos abrupta.
X (Ω), H(Ω)
-Ω s /2 Ω s /2 Ω
En los filtros analógicos, una pendiente (orden) mayor
significa:
* Coste mayor
* Mayor distorsión de fase
La atenuación requerida a estos filtros es de
alrededor de 60 dB en Ω s /2.
Tema2.16
T3.16

2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a la
conversión A/D y D/A (cont.)
Para reducir la complejidad de los filtros, podemos
muestrear a una frecuencia muy superior a la necesaria
(sobremuestreo), con lo que tendremos la misma
atenuación en Ω s /2, pero con un orden del filtro mucho
menor.
X (Ω), H(Ω)
-Ω s /2 Ω s /2 Ω
Además, el ruido de cuantificación es un proceso
del tipo ‘ruido blanco’, que se extiende en toda la banda
[-π, π], con potencia de ruido Δ 2 /12.
X (Ω)
-Ω s /2 Ω s /2
Ω
X (Ω)
-Ω s /2 Ω s /2 Ω
⇒ la SNR de cuantificación, en la banda de interés
quedará multiplicada por el factor de sobremuestreo.
Tema2.17
T3.17

2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a la
conversión A/D y D/A (cont.)
Ejemplo: N=2 ⇒ +3 dB
N=4 ⇒ +6 dB
Por tanto, un posible esquema para mejorar el sistema
de adquisición sería:
x c (t)
x [n]
x d [n]
Filtro
A / D π / N ↓ N
antialiasing
(orden bajo)
T

* Disminuye el nivel de ruido ⇒ mejor SNR (1 bit
cada 4 veces de aumento de f s )
2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a la
conversión A/D y D/A (cont.)
y[n] El esquema de salida y i [n] con interpolación quedaría: y r (t)
↑L
π / L
D / A
H r (Ω)
corrección
sen(x)/x
T