Matemáticas - Instituto Tecnológico de Apizaco

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
Manual de problemas para Matemáticas ENCB
“Etapa Escrita”
Recopilación:
M. en C. JOSÉ LUIS HERNÁNDEZ GONZÁLEZ
Alum.: ________________________________________________
Apizaco Tlax., Enero/junio 2006
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 1 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
1.- Encuentra las abscisas de la tangente a y = x 3 es paralela a la secante de la curva que pasa por los
puntos cuyas abscisas son –1 y 1.
3,
−
3
3
,
33 1 1
− , −
3
3 3
Ninguno de los interiores
2.- Se dispara un proyectil perpendicularmente hacia arriba, desde el nivel del suelo, con velocidad
inicial de 72 pies/s. Su altura s después de t segundos está dada por s = –16t 2 + 72t .¿Durante qué
intervalo de tiempo estará el proyectil a más de 32 pies del suelo?
⎡1
⎤
⎢
,4
⎣2
⎥
⎦
⎛ 1 ⎞
⎜ ,4⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞
⎜ ,5⎟
⎝ 4 ⎠
⎡3
⎞
⎢
,5⎟
⎣4
⎠
∞
3.- La función G (x) = ∫
0
−
te t
2
dt
tiene un valor:
Mínimo de
1
− Máximo de
2
1
− Mínimo de 0 Máximo de 0
2
x
4.- Considera que f(x) = sí x ≠ 0 y también que f(0) = 1. Entonces, lim 0
f ( x )
x
x→
:
Existe y es igual a 0 Existe y es igual a 1 Existe y es igual a –l No existe
5.- Encuentra la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie 36z = 4x 2 + 9y 2
con el plano x = 3 en el punto (3, 2, 2)
1 1/2 2 1/4
6.- Encuentra el cambio de la función Ψ = xyz en la dirección normal a la superficie Φ = x 2 y + xy 2 +
yz 2 – 3 en el punto (1, 1, 1).
–3
−
9
29
9
29
3
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 2 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
7.- Sabiendo que la trayectoria de vuelo de una mosca queda definida por la función vectorial
2
r ( t)
= 6t
i - 4tj
+ 3k
.Determinar la distancia aproximada que recorrió desde el punto (0, 0, 3) hasta
chocar con una pared de cristal representada por la ecuación y + 3z = 1
20 unidades 21 unidades 35 unidades 26 unidades
8.- La ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 3x – y + 2z + 9 = 0, x + z – 3 = 0
y por el punto M (4, –2, –3) es:
22x – y + 19z – 33 = 0 33x – 2y + 21z – 73 = 0
23x – 2y + 21z – 33 = 0 28x + 6y + 27z – 19 = 0
−1
−1
9.- Sean A y B dos matrices de orden 7, tales que det(A) = 3 y det(B) = 2. Calcula det[ ( 2A
)( 3B
)]
5
− –6 6 –1 6 6
6
⎡1
2 ⎤
10.- Sea A = ⎢ ⎥ Si A 3 B = I, ¿Cuál es el valor del elemento b l2 ?
⎣0
−1
⎦
–1 0 1 2
11.- Considerando que A, B, y C son matrices, determina cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera:
Si existe AB entonces BA existe
Si existe AB y AC entonces
A(B + C) = AB + AC
Si AB = BA entonces
Si AB = 0 entonces A = 0 ó B = 0
(A +B) 2 = A 2 + 2AB +B 2
12.- Cual de las afirmaciones es falsa, si A es una matriz no singular y si
A es diagonal entonces A -1 es diagonal
Los elementos de A son enteros, entonces los elementos de A -1 son enteros.
A es simétrica entonces A -l es simétrica
A es de 3 x 3 y triangular, entonces A -l es triangular de la misma forma.
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 3 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
7
13.- Determina el valor de k para que la función y = − cos3x
sea una solución de la ecuación
4
diferencial y m – ky’’ + 9y’ – 18y = 0
5 3 2 Ninguno de los anteriores
14.- Determina la ecuación de la curva que pasa por (1, 1), tal que la pendiente de su recta tangente
en cualquier punto sea el doble de su ordenada.
y = e 2x – 1 2(x – 1)
y = 2x– 1 y =2(x – l) y = e
15.- La ecuación diferencial
si y sólo si:
dy
dx
ax + by
= , donde a, b, c y e son constantes y ae – bc ≠ 0, es exacta
cx + ey
b – c = 0 b+ c = 0 a – e = 0 a + e = 0
2 2 3x
2 2 3x
3x
3x
16.- y = − x
7 / e + x
5 / xe + c1e
+ c2
xe es la solución general de una ecuación diferencial
7 5
no homogénea con coeficientes constantes. Determina cuál de las siguientes ecuaciones
diferenciales corresponde a esta solución:
y" – 6y' + 9y = e 3x x -5/2 y" – 6y' + 9y = e 3x x 3/2
y" – 6y' + 9y = e 3x x -3/2 y" – 6y' + 9y = e 3x x 5/2
17.- La siguiente figura muestra la gráfica de una función F(x) definida de [0, 4]
¿Cuál es el dominio de su derivada?
y
x
x
(0, 4) [0, 4] (0, 2) ∪ (2, 4) [0, 2) ∪ (2, 4]
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 4 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
18.- ¿Cuál es la expresión analítica que corresponde a la gráfica siguiente?
30.0
20.0
10.0
−3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0
−10.0
−20.0
−30.0
x + 1
f ( x)
= x −1
x −1
f ( x)
= x + 1
x + 1
f ( x)
=
x 2 −1
x −1
f ( x)
=
x 2 −1
19.- La función f(x) = x 101 + x 51 + x +1:
Tiene varios máximos y mínimos
Tiene mínimos y puntos de inflexión
Tiene máximos y puntos de inflexión
No tiene máximos ni mínimos
20.- Después de evaluar ln = ∫ x n dx , el lim x→∞
ln es:
1
0
1
0 1 1/2 2
21.- Sean a, b, c vectores unitarios que satisfacen la condición a + b + c = 0 . Obten el número real
definido por a ⋅ b + b ⋅c
+ c ⋅ a
0 –1 –3/2 1/2
22.- ¿Cuál es la ecuación del plano cuyas intersecciones con los planos xy, xz son las rectas
8y –5x = 0; 5z – 4x = 0 respectivamente?
–20x + 32y + 25z = 0 20x + 32y + 25z = 0
–20x – 32y + 25z = 0 –32x + 20y + 25z = 0
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 5 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
23.- Una partícula se mueve sobre la trayectoria 4x 2 + 9y 2 = 36, de forma tal que da una vuelta en 2π
segundos. Calcula el tiempo t 0 , para el que v r (0)
y v r t ) forman un ángulo π/3 radianes.
( 0
t
0
7 −1
= sen
4
2
7
t
0
= 2sen
−1
7
2
t
0
= sen
−1
2
7
t
0
1 −1
= sen
2
4
7
24.- Encuentra la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie 36z = 4x 2 + 9y 2
con el plano x = 3 en el punto (3, 2, 2).
1 1/2 2 1/4
1
25.- Calcula la integral doble ∫∫ senxdA ; R es la región limitada por las rectas y = 2x, y = x, x = π
R
2
270
3π
2
–90
3π
−
2
26.- Sean A y B dos matrices de orden 7, tales que det(A) = 3 y det(B) = 2
Calcula det [( 2A -1 ) ( 3B -1 ) ] .
5
− –6 6 –1 6 6
6
dy y
27.- Encuentra la respuesta a la ecuación diferencial =
2
dx x + y
x = y
3 / 2
+ C
3
x
y = + C 3
3
y
x = + Cy 2
2
y = x +
Cy
2
4
2
d y d y
28.- Encuentra la solución de la ecuación diferencial + 5 + 4y
= 0
4
2
dx dx
C 1 cos3x + C 2 sen3x + C 3 cos2x + C 4 sen2x
C 1 cosx + C 2 senx + C 3 cos2x + C 4 sen2x
C 1 cosx + C 2 senx + C 3 xcosx + C 4 xsenx
C 1 cos3x + C 2 sen3x + C 3 xcos3x + C 4 xsen3x
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 6 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
29.- Una compañía fabrica un producto con precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de
$15. Si los costos fijos son de $600,000.00, ¿cuál es el número mínimo de unidades que se deben
vender para que la compañía obtenga utilidades?
12,001 112,000 120,000 120,001
30.- ¿Cuál es el valor de "a" de modo que el
2
2x
− 3a
+ x −1−1
lim
x →3
exista?
2
x − 2x
− 3
–2 –1 0 2
31.- Durante una tormenta eléctrica un rayo incide sobre un área boscosa, provocando con ello un
incendio; el incendio se propaga en forma de círculo, el radio del círculo crece a razón de 2 m/s. La
rapidez con que crece el área del incendio cuando el radio es de 30 m es:
188.49 m 2 /s 377 m 2 /s 874 m 2 /s 2827.4 m 2 /s
32.- El área limitada por las curvas y 2 = x –1; y = x – 3 es:
7/2 u 2 9/2 u 2 41/6 u 2 41/3 u 2
33.- La molécula de metano CH4 está dispuesta con los cuatro átomos de hidrógeno en los vértices
de un tetraedro regular y el átomo de carbono como centroide. Si se escogen los ejes coordenados y
la escala de modo que los vértices sean los puntos (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1) y el
centroide es (1/2, 1/2, 1/2), el ángulo de enlace entre las rectas que van del átomo de carbono a dos
de los átomos de hidrógeno es:
10.94° 79.06°
89.06°
1.09.47°
34.- ¿Cuánto debe valer k para que las rectas siguientes sean perpendiculares?
x = 2 – kt
y = 1 + 2t
z = 2t
x = 1 – 2h
y = 5 – 3k
z = 1 – 4h
–2 0 2/3 2
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 7 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
35.- El volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano 3x + 6y + 4z – 12 = 0
es:
2 4 8 12
36.- Sean A t y B t transpuestas de A y B respectivamente, entonces si (AB) t existe es igual a:
A t + B t A t B t B t A t Ninguna de las anteriores
37.- La solución del sistema de ecuaciones
es:
x x
1
2x
x
1
2
1
− 2
2
− x x
2
− 3
+
x
2
x
x
+ 3x
x
2
2
3
3
3
2
+ 2x
x
+ 2x
x
2
= 8
2
= 7
= 4
x 1 = 2/9 x 2 = 2/3 x 3 = 7 x 1 = 1/6 x 2 = 2 x 3 = 5/9
x 1 = 5/9 x 2 = 9 x 3 =1/3 x l = –9 x 2 =5/9 x 3 =1/3
38.- La solución general que satisface la ecuación diferencial y" – 2y' – 3y = e x + e 2x es:
C 1 e 3x + C 2 e -x –1/4 e x + 1/3 e 2x
C 1 e 3x + C 2 e -x –1/4 e x – 1/3 e 2x
C 1 e 3x + C 2 e -x +1/4 e x + 1/3 e 2x
C 1 e 3x + C 2 e -x +1/4 e x – 1/3 e 2x
39.- La figura muestra las gráficas de las funciones f y g cuyos dominios son respectivamente [0, 8]
y [0, ∞ ). Determina el dominio de g o f.
[0, ∞) [0, 8] [0, 4] [0, 3]
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 8 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
40.- Si f(x – 1) = x 2 encuentra f(x + 1)
f(x + l) = (x + l) 2 f(x + l) = x 2 +1 f(x + l) = (x + 2) 2 f(x + l) = (x + 3) 2
41.- En la figura se tiene un triángulo isósceles ABC y un semicírculo de diámetro AB. Si S 1 (θ) es el
área del semicírculo y S 2 (θ) es el área del triángulo isósceles, determina:
lim
S ( θ )
( )
1
+
θ → 0
S
2
θ
A
S 1 (θ)
S 2 (θ)
B
θ
C
1 0 1/2 No existe
42.- La ecuación de una superficie de revolución S es:
2x – y 2 – z 2 – 1 = 0
Identifica la ecuación de la generatriz de S y su eje de rotación.
z 2 = 2x – l; eje y y 2 = 2x – 1; eje y z = 2x – 1; eje x y 2 = 2x – 1; eje x
43.- Un gusano se arrastra en una región de un plano de tal forma que su posición a los t segundos
esta dada por:
x =
1+
t
1
y = 2 + t
3
44.- La temperatura de esta región está dada por la función T(x, y) que satisface T x (2, 3) = 4 y
T y (2, 3) = 3. ¿Qué tan rápido cambia la temperatura en la senda del gusano después de tres
segundos?
1 grados/segundo 3 grados/segundo 2 grados/segundo 4 grados/segundo
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 9 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
r r
45.- Si v = 2 , w = 6 y el ángulo entre v r y w r π r r 2
es entonces v + w es:
6
4(10 + 3 3 ) 2(10 +3 3 ) 4(2 +3 3 ) Ninguna de las anteriores
46.- Sean A, B y C matrices del mismo orden con A y B no singulares. Identifica la expresión que
permite obtener la matriz X que satisface a la ecuación:
donde 0 es la matriz nula.
C – AXB = 0
X = A -1 B -1 C X = B -1 CA -1 X = A -1 CB -1 X = A -1 B -1 + C
47.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
Si A y B son matrices cuadradas de orden n y AB es no singular, entonces A y B son no
singulares
Si A es la matriz de coeficientes de un sistema no homogéneo de n ecuaciones lineales con n
incógnitas y A es singular entonces el sistema es incompatible.
Si A es una matriz cuadrada de orden n y un renglón es múltiplo de otro renglón de A, entonces
A es singular.
A es no singular si y sólo si el único vector columna que satisface la ecuación matricial AX = 0
es X = 0
48.- Se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales es compatible
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
donde las incógnitas son x, y, z y los términos independientes son diferentes de cero. Una ecuación
que junto con las dos anteriores forma un sistema incompatible es:
3ax + 3by + 3cz = 3d (a – e)x + (b – f)y + (c – g)z = d – h .
No existe 4ex + 4fy + 4gz = 0
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 10 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
49.- Considera el sistema de ecuaciones:
x + y + z = 9
x + 5y + 10z = 44
¿Cuántas soluciones constan sólo de valores enteros positivos?
Cero Una Dos Más de dos
50.- Un punto material de masa igual a 1 kilogramo se mueve partiendo del reposo en línea recta
debido a la acción de una fuerza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el
instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocidad del punto. En el instante t = 10s la
velocidad era igual a 50 m/s y la fuerza igual a 4 N.
¿Qué velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?
120 5 m/s 2 5 m/s 10 20 m/s 12 20 m/s
51.- La rapidez con que un medicamento se disemina en un flujo sanguíneo se rige por la ecuación
diferencial:
dx
= A − Bx
dt
en donde A y B son constantes positivas.
La función x(t) describe la concentración del fármaco en el flujo sanguíneo en un instante t
cualquiera. ¿En qué tiempo la concentración alcanza la mitad de su valor máximo?
t = –Bln(2)
1 ⎛ 1 ⎞
t = ln⎜
⎟
B ⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞
t = ln⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
1
t = ln(2)
B
52.- Sea g una función de A a B y f una función de B a C. En cada inciso se da una proposición.
Determina cuál es verdadera.
Si f es inyectiva entonces fog es inyectiva.
Si fog es inyectiva entonces f es inyectiva.
Si g es inyectiva entonces fog es inyectiva.
Si fog es inyectiva entonces g es inyectiva.
53.- El radio de curvatura de la trayectoria y = ax + b, donde a y b son constantes:
Es igual a cero Es igual a uno Es igual a a/b No está definido
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 11 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
54.- Para la función f que muestra la siguiente gráfica, la única afirmación verdadera es la que está
en el inciso:
y
x
x 0 x 1 x 2 x 3 x 4
f’(x) = 0 en (x1 y x2 f’(x) < 0 en x (x2, x4)
f’(x) < 0 en x (x0, x1) f’(x) > 0 en x (x2, x4)
55.- El área bajo la curva de una función f está dada por ∫ −
2
1
⎢
⎡ 1
f ( x)
dx = x + x
⎣ 3
El valor de x0 ∈ (-1, 2) que satisface el Teorema del Valor Medio es:
3
⎤
⎥
⎦
2
−1
= 6
1
1
2
0
1
−
2
56.- ¿Cuál es la expresión analítica de la función f cuyo bosquejo es dado en la gráfica siguiente?
y
1 2 3 4
x
1
f ( x)
= − 3
2
( x + 2)
−
1
f ( x)
= 3
2
( 2)
− x +
1
f (x) = − 3
2
(x + 2)
+
1
f ( x)
= 3
2
( 2)
+ x +
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 12 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
57.- De las siguientes afirmaciones, la única verdadera es la que está en el inciso:
Si una función f es continua en el intervalo (a, b), entonces es derivable en ese intervalo
lim
Si
x→ a
f ( x)
exíste, entonces f es continua en x = a
lim
Si
x→c
f ( x)
no existe y a≤ c ≤ b entonces f es integrable en el intervalo [ a, b]
lim
Si f(a) está definida, entonces existe
x→ a
f ( x)
58.- De las siguientes gráficas, la única que corresponde a una función derivable en x = 3 es la que
está en el inciso: y
y
y
x
x
y
y
x
x
59.- La velocidad de una partícula que se desplaza en la trayectoria de una curva es
v(t) = 4i + (3t 2 – 6)k
Si en el instante que inicia su movimiento (t = 0) la posición de la partícula está dada por el vector
r(t) = 4j + k, entonces su posición y aceleración en cualquier instante son:
r(t) = 6tk; a(t) = 4ti + (t3 – 6t)k
r(t) = 4ti + (t3 – 6t)k; a(t) = 4ti + 6tk
r(t) = 4tj + tk; a(t) = 4i + 6tk
r(t) = 4ti + 4j + (t3 – 6t + l)k; a(t) = 6tk
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 13 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
60.- La superficie de un lago se representa por una región en el plano xy de tal manera que la
profundidad en cualquier punto (x, y) está dada por la función f(x, y) = 600 – 2x2 – 3y donde x, y,
f(x, y) están dadas en metros. Un niño está dentro del lago en un punto de coordenadas (4, 9).
Determine la razón con la que cambia la profundidad bajo el niño cuando nada en la misma
dirección: i) del eje x, ii) del eje y
en la dirección de x: –16; en la dirección de y: –3
en la dirección de x: –26; en la dirección de y: –14
en la dirección de x: –8; en la dirección de y: –27
en la dirección de x: –4; en la dirección de y: –3
61.- Indique cuál de las siguientes respuestas es correcta para donde ∫ ( x 3 y + cos y)
dA donde T es el
triángulo que consta de los puntos (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ 2
π , 0 ≤ y ≤ x
T
− π
768 −1
π
1
768 −
6
π
−1
768
6
π
+ 1
768
62.- Si el determinante de una matriz A es –2 y el determinante de 2A es –16, entonces el orden de
la matriz A es :
2 3 4 no se puede calcular el orden.
63.- Sea Ax = b la representación matricial de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
Entonces el sistema de ecuaciones tiene solución única si:
El determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero.
El rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz aumentada.
La matriz de coeficientes tiene inversa.
El rango de la matriz de coeficientes es menor que n.
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 14 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
64.- Una familia de soluciones de y’’’ + 3y’’ + 3y’ + y = O puede representarse gráficamente como:
⎡a
a⎤
Sea A = ⎢ ⎥ y sea x una matriz de orden 2xl, entonces los valores del escalar k para los que
⎣0
1 ⎦
Ax = kx tiene soluciones no triviales son:
k l = a, k 2 = –a k l = –a, k 2 = 1 k l = a, k 2 = 1 k l = –a, k 2 = –1
65.- Las curvas que muestra la figura corresponden a soluciones particulares de una ecuación
diferencial lineal de primer orden.
f4: y(x) = (x – 2) 3 + 12
f3: y(x) = (x – 2) 3 + 10
f2: y(x) = (x –2) 3 + 8
f1: y(x) = (x – 2) 3
La condición inicial que corresponde a una de las curvas es:
y(0) = 6 y(0) = 4 y(0) = 3 y(0) = 1
3x
66.- Se sabe que y1 = e es una solución de una ecuación diferencial y’’ + f(x}y = 0. Entonces una
función y 2 que también es solución de la ecuación diferencial es:
y 2 = 5y 1 y 2 = 5 + y 1 y 2 = (y 1 ) 5 y 2 = y 1 – 5
67.- Para una ecuación diferencial de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 se dice que un factor
integrante en función de x es e ∫ h( x)
dx donde h(x) es:
1
1
h( x)
= [ N
x
( x,
y)
− M
y
( x,
y)]
h( x)
= [ M
y
( x,
y)
− N
x
( x,
y)]
M ( x,
y)
N(
x,
y)
1
h( x)
= [ M
y
( x,
y)
− N ( x,
y)]
Ninguna de las anteriores
x
M ( x,
y)
68.- Si a < 0 entonces |a| es igual:
a –a Es negativo Ninguna es correcta
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 15 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
69.- La gráfica de la función f(x) = |senxl representa:
Una línea recta que pasa por y = 1
Un tren de impulsos rectificados
Un tren de ondas positivas cóncavas hacia abajo
Un tren de ondas positivas cóncavas hacia arriba
70.- Calcular el límite de la siguiente función, si existe
lim
x →2
3
10 − x − 2
x − 2
1
−
12
1
12
1
6
1
−
6
71.- Sea f(x} una función real de variable real derivable. Si la derivada de f, nunca hace cero, esto
significa:
Que la función es creciente o decreciente
Que la función no es un polinomio
Que la función es constante
Que es una función trigonométrica
72.- Sea f una función tal que f'(c} = 0, tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto
que contiene a c. Si f’’(c} < 0 entonces:
f(c) es un mínimo relativo
f(c) es un mínimo y un máximo
El criterio no decide
f(c) es un máximo relativo
73.- El plano que contiene el punto (x, y, z) y que tiene como vector normal n = (a, b, c) puede
representarse mediante la siguiente ecuación:
ax + by + cz = yxba ax 2 + by + cz = 0
ax + by + cz + d = 0 ax + by + cz + d = x 2 y 2
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 16 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
74.- Dada la ecuación 3x – 5y + 2z – 30 = 0 seleccione la opción que cumple la condición de la
misma:
Es paralela al plano xy
Contiene al eje x
Es paralela al eje x Sus intersecciones son (10, 0, 0), (0, -6, 0) y (0, 0, 15)
75.- El valor de la integral ∫ ∫ 1−
1
0
2
2
( 6 y)
dyxdy
0
x es:
–2 –6 –3 Ninguna de las anteriores
76.- Determinar si la Matriz A es invertible, si lo es encuentre su inversa. La matriz es:
⎡ cosθ
A =
⎢
⎢
− senθ
⎢⎣
0
senθ
cosθ
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
A
−1
⎡senθ
=
⎢
⎢
cosθ
⎢⎣
0
cosθ
senθ
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
A
−1
⎡cosθ
=
⎢
⎢
senθ
⎢⎣
0
senθ
cosθ
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
A
−1
⎡cosθ
=
⎢
⎢
senθ
⎢⎣
0
− senθ
cosθ
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
La
matriz A no
es invertible
77.- Si en un determinante |A| se intercambian un par de filas y un un par de columnas, obteniéndose
un determinante |B|. El valor asociado de |B| con respecto a |A|:
Cambia de signo Se duplica No se altera Ninguno de los anteriores
78.- Si para un sistema de ecuaciones lineales el rango de la matriz de coeficientes se expresa como
r(A) = K, y el rango de la matriz aumentada del sistema se establece como r(A b ) = K- l entonces se
dice que el sistema:
Tiene solución única
El sistema es incompatible
Tiene múltiples soluciones
Ninguno de los anteriores
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 17 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
79.- Se considera que una ecuación diferencial es lineal cuando:
La variable dependiente "y" y todas sus derivadas son de primer grado
La variable dependiente "y" y sus derivadas son de cualquier orden y grado
La variable dependiente" y" y sus derivadas son de cualquier orden y grado y sus coeficientes
dependen de la variable independiente
La variable dependiente" y" y sus derivadas son de primer grado, de cualquier orden y sus
coeficientes dependen de la variable independiente
80.- La solución general de una ecuación diferencial ordinaria, gráficamente representa:
Una curva en el espacio
A una familia de curvas
A una sola curva de una familia de curvas
A la envolvente de la familia de curvas I
81.- Un depósito metálico cubierto con extremos semicirculares debe tener una capacidad de 12
metros cúbicos. Determinar el radio r de las cubiertas y la longitud h del depósito, para requerir la
menor cantidad de material en su construcción.
1.56 m, 3.12m 1.84 m, 2.25m 3
12 m,
2 3 12
m v 12 m,
π
2
12
π
m
82.- ¿Cuál de los siguientes sistemas es homogéneo?
4x
2x
4x
2x
1
3
1
3
+ x
2
+ 55x
+ x
2
+ 55x
− 3 − 6x
2
+ x
+ x
1
− 3 − 6x
2
1
3
= 0
3
= 1
= 0
= 0
− 2x
3
4 + 3x
− 2x
3
+ x
2
− 4 + 3x
1
+ 8x
+ x
2
1
−10x
1
+ 8x
2
= x
−10x
1
2
3
= x
= 0
+ 4
= x
3
1
+ 4
+ 1
83.- Cuando una partícula se ubica a una distancia de x pies del origen, una fuerza dada por x 2 + 2x
actúa sobre ella. El trabajo (en las unidades correspondientes) que se realiza al mover la partícula
desde x = 1 hasta x = 3, es:
0
50
3
18
58
3
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 18 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
84.- Determinar la rapidez de una partícula cuyo vector de posición es
r (t) = cos(t)i + cos(t)j +
2sen(t)k
1 2 2 2 2
85.- Determinar una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes que tenga solución
2x
general dada por y(x) = Ae + Bcos(2x) + Csen(2x)
y
y
,,,
,,,
,, ,
,,, ,, ,
+ 2y + 4y + 8y = 0
y − 2y + 4y − 8y = 0
,, ,
,,, ,, ,
− 2y + 4y + 8y = 0
y + 2y + 4y − 8y = 0
86.- Encontrar los intervalos en los que la función
2
9 − x
(x) = es continua
x −16
f
4
[ − 3,
−2) ∪ ( − 2,2) ∪ ( 2,3]
( − 3,
−2) ∪ ( − 2,2) ∪ ( 2,3)
( − 3,
−2) ∪ ( − 2,2) ∪ ( 2,3]
[ − 3,
−2) ∪ ( − 2,2) ∪ ( 2,3)
87.- Si la suma vectorial A + B + C, donde A, B y C son vectores no nulos, es igual al vector cero
¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A • B = A B y A • C = A C
A + B = B + C = C + A
( B + C) 0
A • =
A × B = B×
C = C×
A
88.- Las raíces de una ecuación auxiliar son m 1
= 4 , m
2
= m3
= −5
¿Cuál es la ecuación diferencial
correspondiente?
y
y
,,,
,,,
,, ,
,,, ,, ,
− 6y −15y
+ 100y = 0
y − 6y −15y
−100y
= 0
,, ,
,,, ,, ,
+ 6y −15y
+ 100y = 0
y + 6y −15y
−100y
= 0
→
89.- Para F(t)
= 2xzî + 4xyĵ − 6zkˆ
operaciones no es válida?
y
2 2 3
= 3x + x y 2y , ¿cuál de las siguientes
g (x, y)
+
→
×
→
∇ F
→
∇ g
→
•
→
∇ F
→
∇×
g
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 19 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
90.- ¿Cuál de las siguientes matrices es antisimétrica?
⎡1
⎢
⎣6
− 6⎤
0
⎥
⎦
⎡0
⎢
⎣6
− 6⎤
1
⎥
⎦
⎡2
⎢
⎢
2
⎢⎣
2
− 2
2
2
− 2⎤
− 2
⎥
⎥
2 ⎥⎦
⎡ 0
⎢
⎢
−1
⎢⎣
1
1
0
− 2
−1⎤
2
⎥
⎥
0 ⎥⎦
91.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para una función f (x, y)
diferenciable en un
punto (a,b)?
El gradiente ∇f (a,b)
es perpendicular a la gráfica de z = f (x, y)
La gráfica de z = f (x, y)
tiene un plano tangente en (a,b)
Si ∇ f (a,b) = 0 , f tiene un valor extremo en (a,b)
La gráfica de z = f (x, y)
es discontinua en (a,b)
en el punto (a,b)
92.- Si b = 20, ¿para qué valor de a es exacta la ecuación diferencial
2
2 2
( axy 6x) dx + ( 3y − bx y) dy = 0
+ ?
−20 −18 18 20
93.- Encontrar el área acotada por las curvas y = x
2 + 1, y = 5
20
28
3
32
3
20 5
3
94.- Se sabe que los fluorocarbonos tienen el efecto de reducir la capa de ozono en la atmósfera. Si
se descubre que la cantidad Q, de ozono en la atmósfera, se reduce a un ritmo de 0.15% por año
¿Cuántos años se necesitan para completar una reducción de 80% del ozono?
1072.96 años 1720.69 años 2071.96 años 2710.69 años
95.- Determinar lim(x − π)cot(x)
x →π
0 1 ∞ No existe
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 20 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
96.- ¿Cuál es la derivada direccional de
dirección 2î
− ĵ−
2kˆ
2
2
= x yz 4xz en el punto (1,−2,−1) y en la
f (x, y,z) +
73
3
73
7
37
3
37
7
97.- Con base en las operaciones de matrices, cuál de las siguientes opciones es equivalente a la
expresión ( A + B) 2
2
A + 2AB +
B
2
2
A + AB + BA +
B
2
2
A + AB +
B
2
2
A +
B
2
98.- Sea g una función de A a B y f una función de B a C. En cada inciso se da una proposición.
Determina cuál es verdadera.
Si f es inyectiva entonces fo g es inyectiva.
Si fo g es inyectiva entonces f es inyectiva.
Si g es inyectiva entonces fo g es inyectiva.
Si fo g es inyectiva entonces g es inyectiva.
99.- Sea la función f (x) =
⎧1−
cos x
⎪
,
x
⎨
⎪ 0,
⎪
⎩
si
si
x ≠ 0
x = 0
0
El valor de f ′ (0) es:
1
2
1 No existe.
100.- La altura de un triángulo aumenta a razón de 1 cm/min, mientras que su área aumenta a razón
de 2 cm 2 / min. ¿A qué velocidad cambia la base del triángulo cuando la altura es igual 10 cm y el
área es de 100 cm 2 ?.
1.5 −1.5 1.6 −1.6
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 21 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
101.- Sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera. Identifícala
Si f (x) ≤ g(x) en [ b]
a, , entonces ∫ f (x) dx ∫
a
b
≤ b
a
g(x)
Si f y g son funciones con el mismo dominio, entonces
Una función continua y creciente en (a ,b) es derivable en (a, b)
2
2
∫ cos x dx = ∫ cos x dx +
1
8
1
0
∫
8
0
cos
2
x dx
dx
f tiene también el mismo dominio.
g
102.- De las siguientes afirmaciones, la única falsa está en la opción
El vector → v = 6i + 3k está en un plano paralelo al plano XZ
El vector → u = −500j es perpendicular al plano XZ
El vector → x = 8i + 6j es paralelo al vector → y = −6i − 8j
El vector → w = 7j − 2k es perpendicular al vector → v = 15i
103.- Un alpinista se encuentra en un punto de una montaña. Si f (x, y) proporciona el punto donde
se encuentra el alpinista, entonces −∇f (x, y) indica:
La dirección que el alpinista debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de mínima
pendiente
La dirección que el alpinista debe adoptar para subir por la trayectoria de mínima pendiente
La dirección que el alpinista debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de máxima
pendiente
La dirección que el alpinista debe adoptar para subir por la trayectoria de máxima pendiente
104.- Una empresa fabrica 10,000 cajas de madera cerradas cuyas dimensiones son de 3, 4 y 5
metros. El costo de la madera que se emplea es de un peso por metro cuadrado.
Si las máquinas que se utilizan para cortar la madera tienen un error posible de 0.1 cm en cada una
de las dimensiones, entonces el máximo error posible en el cálculo del costo de la madera es
aproximadamente:
$940 $48 $480 $470
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 22 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
105.- Una araña A se encuentra en el punto A(1,3,6), una araña B en el punto B (4,0,0) y un
mosquito se encuentra atrapado en una telaraña en P (8,12,12).
Las dos arañas se percatan de la presencia del mosquito al mismo tiempo y corren hacia él a la
misma velocidad. La araña A lo hace a través de la trayectoria → r (t)= t 3 i + 3t 2 j + 6t k, mientras que
la araña B lo hace en línea recta. ¿Cuál araña llegará primero a la presa?
La araña B Llegan al mismo tiempo La araña A Falta información
106.- Sea A ≠ I una matriz invertible.¿ Cuántas matrices B existen, tales que AB=BA?
Ninguna Una Dos Más de dos
107.- Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
falsa?
Si det(AB) =0, entonces det(A) = 0 ó det(B) = 0
det(AB) = det(BA)
Si AB = I, entonces det(A) ≠ 0 y det(B) ≠ 0 Si A 2 = A, entonces det(A) =1
108.- De las siguientes ecuaciones diferenciales, la que no es homogénea está en la opción:
y′ =
2y
x
2
x + xy
y′ =
2
y
y′ + y = 3x y′ + 1= x
y
108.- Los números r = 2, 1 r 2 = −i, r 3 = 1 + i son raíces de la ecuación característica de una
ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes. Entonces, dicha ecuación es de
orden:
menor que tres tres cuatro mayor que cuatro
109.- Supóngase que f’’ es continua y que [ f (x) + f ''(x)]
f(0) es igual a
π
∫
0
senxdx = 2 , Además, si f( π )=1, entonces
0 1 2 π
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 23 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
110.- Suponiendo que f denota la magnitud de la fuerza laboral (número de trabajadores) que
requiere una empresa para fabricar p unidades de un cierto producto y que la correspondencia entre
1
ambas está dada por: f = p . Si la demanda del producto está creciendo a una velocidad
2
constante de 9,600 unidades por año. Determinar el número de trabajadores que la empresa debe
contratar y cuándo deberá hacerlo, si dicha demanda llega a ser de 360,000 unidades.
2 trabajadores por año, 1 cada seis meses. 3 trabajadores por año, 1 cada cuatro meses.
4 trabajadores por año, 1 cada tres meses. 6 trabajadores por año, 1 cada dos meses.
1
111.- Si f (x) = x x , entonces la derivada será
2
f’(x) = |x| f’(x) = – x si x > 0 f’(x) = – x f’(x) = x
112.- Si lim x →α[f (x) + g(x)] = 2 y lim x → α[f (x) − g(x)] = 1. Entonces el lim x→α
[f (x)g(x)]
nos da
como resultado:
–3/4 1/4 1/2 3/4
113.- ¿Cuál de las siguientes opciones contiene la definición correcta de trayectorias ortogonales?
Familia de curvas que se intersectan
Familia de curvas cuyas pendientes las cortan en ángulo recto
Familias de curvas que se intersectan formando ángulo recto
Dos familias de curvas de la forma F(x, y – 1 / y ’) = 0
114.- El modelo ml θ ’’= mgsen θ – cl θ ', representa un movimiento armónico simple:
Forzado y amortiguado
No amortiguado y no forzado
Amortiguado y no forzado
No amortiguado y forzado
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 24 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
115.- Si la gráfica de una función f(x) es:
¿Cuál de la siguientes opciones representa la gráfica de la derivada de f(x)?
Grafica 1) Grafica 2) Grafica 3) Grafica 4)
116.- Se vierte agua en un jarrón como el que muestra la figura, a un ritmo constante. Si analizamos
la gráfica de la profundidad d que va ocupando el agua en función del tiempo t. ¿Cuál de las
siguientes opciones es la más correcta?
La función tiene un mínimo relativo
La función tiene extremos absolutos
La función tiene un mínimo absoluto
La función tiene extremos relativos
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 25 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
117.- Si la distancia desde un punto P(x,y) del plano al origen se define como d = |x| + |y| entonces la
ecuación |x| + |y| = 3 tiene por gráfica:
1) 2) 3) 4)
118.- Suponga que A es una matriz cuadrada que satisface A 2 -5A+I=0 y que A -1 existe, además
det(A)=1. Entonces el det(5I-A) nos resulta:
1 4 24/5 5
119.- Una caja contiene monedas con denominaciones de un peso, cinco pesos y diez pesos, tiene 13
de ellas con un valor total de 83 pesos. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la caja?
3, 6, 4 3, 4, 6 4, 3, 6 4, 6, 3
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 26 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
⎡1
1⎤
120.- Sea la matriz A = ⎢ ⎥ , ¿cuál es la estructura de
⎣0
1 ⎦
A +
2 3
k
+ A + A + ... A ?
⎡n
⎢
⎣0
n⎤
n
⎥
⎦
⎡ n n + 1⎤
⎢ ⎥
⎣0
n ⎦
⎡ n + 1⎤
⎢
1
n 2 ⎥
⎢ ⎥
⎣0
1 ⎦
⎡ n + 1⎤
⎢
n
2 ⎥
⎢ ⎥
⎣0
n ⎦
121.- Indica a qué tipo de ecuación diferencial de primer orden no pertenece la siguiente expresión:
at at
− b(t)e + axe
x' = ,
at
− e
donde a∈R y b(t) es una función continua.
Variables separables Lineales no homogéneas Exactas Lineales
122.- Sean N el número de alumnos inscritos en una universidad, p el costo de alimentación y
∂N alojamiento y t el costo de la matricula. Supongamos que N es una función de p y t, tal que < 0
∂p
∂N
y < 0 . ¿Qué información se deduce de éste hecho?
dt
Al incrementar los costos, la matricula
aumenta.
Al incrementar los costos, la matricula
disminuye.
Al disminuir los costos, la matricula
disminuye.
Al disminuir los costos, la matrícula se
incrementa.
123.- ¿Cuál es el nombre que recibe el lugar geométrico que representa a la ecuación 2rcosθ – r = 0
en coordenadas cilíndricas?
Dos semiplanos que contiene al eje z
Dos semiplanos que contiene al eje x
Una esfera con radio 2 Una esfera con radio 2
124.- Sean a r y b r vectores unitarios y θ el ángulo entre ellos, ¿A qué equivale a
r r − b ?
senθ
sen θ
2
2senθ
θ
2sen
2
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 27 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
125.- Considere el volumen del sólido definido en los octantes superiores, limitado por el cono z = r
y la superficie cilíndrica r = 1. ¿Cuál de las siguientes integrales no corresponde al cálculo del
volumen del sólido?
2π
1 r
∫∫∫
0 0 0
1 2π
1
rdzdrd θ
2π
1 r
∫∫∫
0 0 0
∫ ∫∫ rdrd θdz
∫∫ ∫
0
0 2
1 1 2π
0 2 0
rdrdzd θ
rd θdrdz
126.- Encuentre los puntos sobre la curva
cos x
y = en los cuales la tangente es horizontal.
2 + senx
⎛ 11π
1 ⎞ ⎛ 7π
1 ⎞
⎜−
+ 2πn,
⎟ y ⎜ + 2πn,
⎟ , n es
⎝ 6 3 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠
entero
⎛11π
1 ⎞ ⎛ 7π
1 ⎞
⎜ + πn,
⎟ y ⎜ + πn,
− ⎟ , n es
⎝ 6 3 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠
entero
⎛11π
1
⎜ + 2πn,
⎝ 6 3
entero
⎛ 11π
1
⎜−
+ πn,
⎝ 6 3
es entero
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎛ 7π
y ⎜ + 2πn,
−
⎝ 6
⎛ 7π
y ⎜−
+ πn,
−
⎝ 6
1 ⎞
⎟ , n es
3 ⎠
1 ⎞
⎟ , n
3 ⎠
127.- Se debe construir un canalón para lluvia a partir de una lámina metálica que tiene 30 cm. de
ancho, doblando la tercera parte de la lámina de cada lado hasta que forme un ángulo θ . ¿ Còmo
debe elegirse θ para que el canalón lleve la cantidad máxima de agua?.
2π
θ =
3
π
θ =
2
π
θ =
3
π
θ =
4
f (t)
128.- Encuentre una función f y un número a tales que 6 + ∫ dt = 2 x
2
t
x
a
2 / 3
f (x) = x ; a = 6
3 / 2
f (x) = 2x ; 12.
2
a = f (x) = 2x
3/ ;a = 9 .
3 / 2
f (x) = x ; 9.
a =
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 28 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
2
4 x −1
4x + 3x
129.- Encuentre lim x→
∞
f (x)
si < f (x) <
2
x
x
para toda x > 5.
4 -4 1/4 -1/4
2 2 2
130.- Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie x 2y + 3z = 21
+ en el punto ( 4,
− 1,1 )
2 x − 4y − 3z = 21 4x
+ 2y − 3z = −21
4 x − 2y + 3z = 21 2 x + 42y + 3z = 21
131.- Suponga que en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dado por la expresión
2
V(x, y, z) = 5x − 3xy + xyz . Encontrar la razón de cambio del potencial en P(3,4,5), en la
dirección del vector v = î + ĵ − kˆ
−
32
3
32
3
32
3
32
−
3
132.- Un hombre de 160 lb de peso sube con una lata de 25 lb de pintura por una escalera helicoidal
que rodea a un silo, con radio de 20 pies. Si el silo mide 90 pies de alto y el hombre hace
exactamente 3 revoluciones completas. ¿ Cuánto trabajo realiza el hombre contra la gravedad al
subir hasta la parte superior ?.
16.7 pie-lb
3
. 67 10 pie-lb 167 pie-lb.
1 x
4
. 67 10 pie-lb.
1 x
133.- Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto (-1,2,1) y contiene a la recta de
intersección de los planos x + y − z = 2 y 2 x − y + 3z
= 1.
x − 2y + 4z = 1 2x − y + 4z
= −1
x + 2 y − 4z
= 1 2x
+ y − 4z
= −1
134.- Hallar una base del subespacio F de R 4 cuya ecuación implícita es:
x + x
2
+ x
3
+ x
4
= x1
= x
2
1
=
0
(0,0,-1,1) (0,0,1,-1) (-1,1.0,0) (1,-1,0,0)
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 29 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
⎛1
2 ⎞
135.- Sea A = ⎜ ⎟
⎝0
−1⎠
. Si A 3 B = I,
¿Cuál es el valor del elemento b
12
?
-1 0 1 2
136.- Considerando que A, B, y C son matrices, determina cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera:
Si existe AB entonces BA existe
Si existe AB y AC entonces A(B + C) = AB + AC
Si AB = BA entonces (A +B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
Si AB = -BA = I donde B es la matriz inversa multiplicativa de A
137.- Encuentre el determinante de la matriz A n definida por:
A n
⎛ 1
⎜
⎜−1
⎜−1
⎜
= ⎜ .
⎜
⎜
.
⎜ .
⎜
⎝−1
2
0
− 2
.
.
.
− 2
3
3
0
.
.
.
− 3
...
...
...
...
...
...
...
n ⎞
n
n
. .
.
.
⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ 0⎠
(n -1)! n ! n(n+1)! (n+1)!
138.- La solución de la ecuación diferencial k( α −.X)( β − X)
segundo orden cuando α ≠ β es:
dX
= que describe las reacciones de
dt
X
X
αβ + αβe
β + αe
αβ − αβe
β − αe
( α−β)kt
( α+β)kt
= X =
( α−β)kt
( α+ β)
kt
αβ − αβe
β + αe
αβ − αβe
β − αe
( α−β)kt
( α−β)kt
= X =
( α−β)kt
( α−β)
kt
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 30 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
138.- Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dadas por
y
1
= −x
−1+ C e
x.
x = −y
+ 1 + Ce
− y
x = y + 1 + Ce
− y
x = −y
−1
+ Ce
− y
x = −y
+ 1 + Ce
y
139.- Determinar una función N (x, y)
tal que la siguiente ecuación diferencial sea exacta
⎛
x
y 1/ 2 − 2 ⎞
⎜ x
1/ + dx +
2
x y
⎟
⎝
+ ⎠
N(x, y)dy
= 0
N(x, y)
N(x, y)
1/ 2 −1/
2 1 2 −
= y x + ( x + y) 1
− 2 2 1
1/ 1/
2 −
N(x, y) = y x + ( x − y) 1
2
−1/
2 1/ 2 1 2 −
= y x + ( x + y) 1
− 2 2 1
1/ 1/
2 −
N(x, y) = y x − ( x − y) 1
2
2
2
140.- Determinar la corriente en estado estable en un circuito en serie LRC cuando L = 1 h, R = 2 Ω.
C = 0.25 f y E (t) = 50cos t V
i(t)
150 100
150 100
= sent − cos t
i (t) = − sent + cos t
13 13
13 13
13 13
13 13
i (t) = − sent + cos t
i(t)
= sent − cos t
150 100
150 100
141.- Al evaluar el lím (x ln x)
+
x→0
se obtiene:
− ∞
0 1 No existe
142.- Suponga que tiene un sistema de ecuaciones lineales n × n no homogéneo A x = B , y sabe que
es consistente dependiente (compatible indeterminado). ¿Cuál de las siguientes proposiciones es
correcta?
( A) r( A B)
( A) r( A B)
det A = 0 y r =
La forma escalonada reducida por renglones de A es I n
det A = 0 y r <
Los renglones de A son linealmente independientes.
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 31 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
1 t
2
143.- Si g(t) = ∫ σ −1
dσ
, entonces g(1)
− g( −1)
es:
2 − 1
0
2
3
2 2
3
2
2
3
144.- ¿Cuál de los siguientes agrupaciones no forma un conjunto ortogonal?
{( 2,0,1,3),( − 2,4,1,1),( −3,
−2,0,2)
} {( 3,1),(2, − 6) }
{( 4, − 1,0),(2,3, −5),(
−8,7,1)
}
{(
a ,0),(0, b)
} en donde a y b son números dados
r
145.- Sean A ≠ 0
r r
A
r r >
A B
r r
A B
r r <
A B
r
, B ≠ 0
r r r
r r r
A + B B
r r r
A + B ⋅ B
r r r
A + B B
y
r r
A ≠ ± B ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
r r
r r =
A B
r r
A ⋅ B
r r ≥
A B
r r r
⋅ B
r r r
A + B B
r r r
A + B ⋅ B
r r r
A + B B
⋅ B ( A + B)
⋅ B
A ⋅ B ( A + B)
⋅ ( )
( )
146.- Abajo aparece la gráfica de la derivada f '(x)
de una función continua f (x)
. ¿En qué
intervalos f (x)
es creciente?
( 0, 2) ∪ (4, ∞)
( 2,4)
( 1,3) ∪ (5, ∞)
( 0,1) ∪ (3,5)
147.- Por un punto cualesquiera ( x,
y)
de una curva que pasa por el origen se trazan dos rectas
paralelas a los ejes coordenados. Hallar la curva de modo que divida al rectángulo formado por las
dos rectas y los ejes coordenados en dos superficies, una de las cuales sea el triple de la otra.
3
y = cx
3
3
x = cy
y c1x
+ c
2
3
= x = c1y
+ c
2
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 32 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
148.- Las funciones tangente y cotangente forman áreas iguales intersectadas con el eje de las
abcisas a lo largo de los números reales. La expresión que determina el área de acotación en un
período es:
π
∫ ∫
0
⎢⎣
cos x
sen x
tan x
dy dx
dy dx⎤
⎥⎦
⎡
π
4
tan x
π
2
2 ⎢∫ ∫ +
0 0 ∫π
∫
⎣
dy dx
4
⎡ ∫ π cot x
π tan x
π
2
4
2
0∫tan
x
∫ ∫ dy dx +
0 0 ∫ π ∫
4
cot x
0
cos x
sen x
0
⎤
dy dx⎥
⎦
dy dx
149.- Si una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes tiene las raíces solución:
− 2 de multiplicidad 3 y 2 ± 3i
de multiplicidad 2 . ¿Cuantas constantes tiene su solución general?
4 5 6 7
150.- Al evaluar el
2
2
( x + y + ∆y) z − ( 3 + ( x + y)
z)
3 +
lim se obtiene:
∆y→0
∆y
2 x + yz
( 2 x + y)z
2 ( x + y)z
2 x + 2yz
151.- El dominio de la función f ( x ) = ln ∫ −x 1
udu es:
x > 1
x < 1
−1 < x < 0
x < 0
152.- Hugo, Paco y Luis están tomando café, cuando uno de sus estudiantes les pregunta como
dy y + 1
resolver la ecuación diferencial = . Después de mucha discusión, Paco dice: y ( t)
= t , Hugo
dt t + 1
contesta: y ( t)
= 2t
+ 1 y Luis contradice: y ( t)
= t 2 − 2 . ¿Quién de todos tiene la razón?
Luis Hugo y Paco Hugo Luis y Hugo
r
153.- Para las funciones F( t)
= 2xy
iˆ
+ 3xzj
ˆ − 2xzkˆ
siguientes operaciones no es válida?
y
g( x,
y)
y
3 2 3
= 2x
+ 3x
y − 2 , ¿Cuál de las
∇ r × g
∇ r g
∇ r ⋅ F r
∇
r × F r
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 33 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
154.- Determine las funciones f (x)
y (x)
g tales que ( f o g)( x) ≠ x
2
f ( x)
= x ; g ( x)
= x
f ( x)
= x ;
g ( x)
= x
2
3
3
f ( x)
= x ;
1
f ( x)
= ;
x
g ( x)
= x
1
g( x)
=
x
155.- Suponga que tiene un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y al resolverlo se
sabe que es consistente dependiente (compatible indeterminado). Desde el punto de vista
geométrico, la interpretación de tal solución se encuentra en la opción:
Tres planos que se cortan en un solo punto
Tres planos que se cortan por parejas
Tres planos paralelos
Tres planos que se cortan entre sí en una
línea recta
r
x
x
156.- Encuentre N de tal manera que F = yze î + Nĵ + ye kˆ
sea un campo vectorial irrotacional:
y
N = xe
x
N = ze
z
N = xe
x
N = ye
157.- La gráfica muestra la solución particular de una ecuación diferencial, ¿A qué ecuación
corresponde?
20
15
10
5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-5
-10
-15
-20
y ´´ + y = 0
y ´´ + 2y´ = 0
y ´´ −3y´
−4y
= 0 y ´´ + 2y´
+ 2y
= 0
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 34 / 35

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
Ciencias Básicas
Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de observación situada en el
suelo a 5 millas de la plataforma de lanzamiento. Supóngase que el ángulo de elevación θ de la línea
visual hacia el cohete aumenta 3º/seg. cuando θ= 60°. ¿Cuál es la velocidad del cohete en ese
momento?
Calcule el volumen de un cono circular recto de altura h y radio r
Resuelva la siguiente integral ∫ (tan 2θ
− cot 2θ
)
2 dθ
Un trapecio está limitado por las gráficas de f(x)= Ax + B, x = a, x = b , y = 0. Demuestre que el área
de dicho trapecio es:
f ( a)
+ f ( b)
A T
=
( b − a)
2
Considerando una curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
x = t 2 + 1
y = 4t – 3
z = 2t 2 – 6t
Halla el vector tangente unitario en el punto correspondiente a t = 2
Halla el ángulo que forman las superficies:
x 2 + y 2 + z 2 – 9 = 0
x 2 + y 2 – z – 3 = 0
en el punto (2, –1, 2)
Dada la ecuación y' – y 2 = 0 encontrar todos los puntos donde las soluciones de la ecuación anterior
tengan una inclinación de 76°
Resolver y" – y = x
1
Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencia: y IV – 5y´´ + 4y = 0
Sean y dos vectores en el espacio. Si , , . Entonces el valor de corresponde a:
-20 -10 10 20
Manual de problemas para matemáticas ENCB “Etapa escrita” M. en C. José Luis Hernández González 35 / 35