bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras o ...

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO 

Ciencias Básicas 

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO 

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 

PRIMER CONGRESO DE CIENCIAS BÁSICAS 

LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS CIENCIAS BÁSICAS 

Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras 

M. en C. JOSÉ LUIS HERNÁNDEZ GONZÁLEZ 

Alumno (a): ________________________________________________ 

www.itapizaco.edu.mx/~joseluis 

joseluis@itapizaco.edu.mx 

Apizaco Tlax., 25, 26 y 27 de octubre de 2006 

”Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras” M. en C. José Luis Hernández González 1 / 33



ÍNDICE 

BOSQUEJO DE FUNCIONES............................................................................................................ 3 

Introducción ..................................................................................................................................... 3 

Función............................................................................................................................................. 3 

Representación ................................................................................................................................. 3 

Listas ................................................................................................................................................ 4 

Operaciones.......................................................................................................................................... 5 

Tipos de gráficos .................................................................................................................................. 5 

Tipos de marcas................................................................................................................................6 

Gráfica de nube de puntos, editor de ecuaciones ............................................................................. 7 

Evaluación de funciones (home) ...................................................................................................... 9 

La ecuación de la recta que une dos puntos. ........................................................................................ 9 

Gráfica de una función, editor de ecuaciones ................................................................................ 10 

Definición de la función que pasa por dos puntos ......................................................................... 11 

Transformaciones de funciones.......................................................................................................... 18 

Desplazamientos............................................................................................................................. 18 

Estiramientos y compresiones verticales........................................................................................ 19 

Estiramientos y compresiones horizontales ................................................................................... 19 

Reflexiones..................................................................................................................................... 19 

Dominio y recorrido........................................................................................................................... 20 

Otras funciones básicas ...................................................................................................................... 21 

Funciones trigonométricas ................................................................................................................. 22 

Combinación de funciones................................................................................................................. 30 

Bibliografía......................................................................................................................................... 33 




BOSQUEJO DE FUNCIONES 

Introducción 

Aunque en la actualidad es fácil graficar una función o un conjunto de puntos por medio de software 

o una calculadora graficadora, es importante que los alumnos de nivel licenciatura puedan bosquejar 

una función a mano basados en algunos puntos o una serie de transformaciones de la función básica. 

Función 

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, 

llamado f(x), de un conjunto B. 

x • 

a • 

• 

A 

f 

• y = f(x) 

• f(a) 

• 

B 

Una función es 

{(x, y)| x ∈ A} 

Representación 

La representación de una función puede ser: 

a) Verbal 

b) Tabular 

c) Gráfica 

d) Analítica 

x y 

-3 9 

-2 4 

-1 1 

0 0 

1 1 

2 4 

3 9 

2 

y = x 

Tabular Gráfica Análitica 




Generalmente, se acostumbra bosquejar una gráfica elaborando una tabla, para lo cual se da una 

serie de valores para x, con la función f(x) se procede a calcular el valor de la y, de manera tal, que 

y = f(x), aunque esto ya no es necesario con un programa de computo o una calculadora graficadora. 

Ejemplo. Sea la función y = x 2 + 1 

Es decir f(x) = (x) 2 +1 

Si x = -3 

f(-3) = (-3) 2 +1= 10 

f(-2) = (-2) 2 +1= 5 

f(-1) = (-1) 2 +1= 2 

f( 0) = ( 0) 2 +1= 1 

f( 1) = ( 1) 2 +1= 2 

f( 2) = ( 2) 2 +1= 5 

f( 3) = ( 3) 2 +1= 10 

x Y 

-3 10 

-2 5 

-1 2 

0 1 

1 2 

2 5 

3 10 

Ese conjunto de valores lo podemos manejar de manera más apropiada mediante una lista. 

Listas 

Una lista es un conjunto de valores separado por comas entre llaves. 

{-3} 

{-3,-2,-1,0,1,2,3} 

{2,1} 

{a,b,c,e,d} 

Podemos almacenar una lista una variable mediante la tecla § 

Ejemplo. 

Los siguientes datos corresponden a la función y = x 2 +1 

En home introduzca los datos en las 

variables listax, listay. 

{-3,-2,-1,0,1,2,3}§listax¸ 

{10,5,2,1,2,5,10}§listay¸ 




También es posible efectuar operaciones con las listas, tal y como se hace en aritmética o álgebra. 

Operaciones 

Suma + Listax+Listay 

Resta – Listax-Listay 

Multiplicación * 

Listax*Listay 

División / Listax/Listay 

Raíz cuadrada √ 

√( Listax) 

Valor absoluto | | 

abs(Listax) 

Se pueden hacer las siguientes gráficas en la calculadora: 

Tipos de gráficos 

Nube de 

puntos 

Líneas y 

puntos 




Tipos de marcas 

Caja 

Cruz 

Signo Más 

Cuadro 

Punto 




Gráfica de nube de puntos, editor de ecuaciones 

Presione ¹#, mueva el cursor 

hasta Plot 1: y presione ¸ 

Seleccione Plot Type …Scatter 

Mark………..Box 

Y escriba en x, y 

x…………….listax 

y…………….listay 

Se muestra el tipo de gráfico y el 

valor de las listas a graficar 

Del menú seleccione F2:Zoom, 

9:ZoomData y presione ¸ 

La gráfica será ajustada al conjunto 

de valores de las listas. 




La función más sencilla corresponde a una constante. 

Dibuje la función de una constante y elabore una tabla xy 

x 

y 

y = ____ 

Otra función sencilla corresponde a: 

x 

y 

y = x 

Elabore la gráfica de: 

x 

y 

y = x 2 




Evaluación de funciones (home) 

A estas funciones les denominaremos funciones básicas, y también las podemos almacenar en 

alguna variable para poder evaluarlas tal y como se hace a mano. 

Sea la función f(x) = x 2 , almacenarla en la variable f(x) 

x^2§f(x) 

Si se quiere evaluar cuando x = 2, 

entonces debemos escribir 

f(2) ¸ 

Si x = c 

f(c) ¸ 

Si x = c + 1 

f(c+1) ¸ 

Si el valor de x es una lista entonces 

f(listax) ¸ 

Actividad: Definir algunas funciones y evaluarlas. 

Se pueden definir funciones más complicadas tales como f(x 1 , x 2 , … x n ), donde x 1 , x 2 , …, x n se 

denominan parámetros. 

Ejemplo. 

Defina como una función llamada fuerza con la fórmula F = ma y evalúe cuando m = 3 y a = 2 

m*a§fuerza(m,a)¸ 

fuerza(3,2)¸ 

La ecuación de la recta que une dos puntos. 

y 

A 

• 

(x 1 , y 1 ) 

B 

• (x 2 , y 2 ) 

m = tan( θ ) 

x 

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (1, 1) 




Gráfica de una función, editor de ecuaciones 

Antes que nada, es necesario ajustar 

la ventana donde se visualizarán las 

gráficas, presionado ¹$ 

En el editor de ecuaciones, grafique 

la función y = x. 

Presione ¹# 

Mueva el cursor hasta y1 = 

Presione ¸ y escriba x 

Presione ¹% 

Ajuste la ventana de forma que x y 

y sean del mismo tamaño 

presionando F2 Zoom, 

5:Zoomsqr 

El resultado es: 

Actividad: Graficar algunas funciones. 




Puede hacer una gráfica de puntos escribiendo en home la función newplot n,tipo,listax,listay 

Donde 

n Corresponde al número de gráfico 

(del 1 al 10) 

tipo Es un número de 1 al 4 

listax Es la lista con los valores de x 

listay Es la lista con los valores de y 

tipo: 

1 = Nube de puntos 

2 = Gráfica de líneas xy 

3 = Gráfica de cajas (estadística) 

4 = Histograma (estadística) 

Primero defina el conjunto de puntos 

a graficar y almacénelos en listax, 

listay. 

{0,1}§listax¸ 

{0,1}§listay¸ 

Newplot 1,1,listax,listay¸ 

Después presione ¹% 

Nota: Recuerde que si el punto A(0, 0) equivale a A(x 1 , y 1 ) y B(1, 1) es B(x 2 , y 2 ), las listas para 

almacenar los valores de x corresponde a {x1,x2}§listax y para {y1,y2}§listay, esto es 

{0,1}§listax y {0,1}§listay 

Definición de la función que pasa por dos puntos 

¿Se podrá definir una función que encuentre la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y que 

los puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) sean los parámetros? 

Defina la función como: 

e2puntos(px1,py1,px2,py2) 

y use la función de la calculadora 

drawfunc, para mostrarla. 

______________________________ 

Pruébela con (2,2), (4,8) para obtener y = __________ 

Lo que indica que la ecuación de la recta la podemos escribir como: ________________ 

y 

Donde: 

b = pendiente 

a = El valor donde la ecuación corta 

con el eje y. 

a 

b = La pendiente de la recta. 

x 




Si pudo definir su función, úsela para resolver los siguientes problemas. Si no, hágalos a mano. 

(1, 1), (2,2) y = __________ 

(0, 1), (1,2) y = __________ 

(0, 2), (1,3) y = __________ 

(0,-1),(1,0) y = __________ 

(0,-2)(2,0) y = __________ 

Significa que si deseo _____________ la gráfica hacia _______________, debo 

______________una _______________, es decir __________ 




Observe que sucede si trabajamos con la misma modificación en f(x) = x 2 , grafique las funciones: 

y = x 2 + 1 

y = x 2 + 2 

y = x 2 – 1 

y = x 2 – 2 

Entonces, si deseamos _______________ la gráfica hacia _______________, debo 

______________una _______________, es decir _________ 

¿Qué otro movimiento podré hacer? __________________________________________________ 

________________________________________________________________________________ 

________________________________________________________________________________ 

¿Cómo deberé modificar la función original? ___________________________________________ 

________________________________________________________________________________ 

________________________________________________________________________________ 




Trabajemos nuevamente con f(x) = x 2 , a partir de la gráfica, construya la tabla de valores y observe 

que sucede. 

f(x ) = ( 

) 2 = ______ 

x 

-3 

-2 

-1 

0 

1 

2 

3 

y 

f(x ) = ( 

) 2 = ______ 

x 

-3 

-2 

-1 

0 

1 

2 

3 

y 

f(x ) = ( 

) 2 = ______ 

x 

-3 

-2 

-1 

0 

1 

2 

3 

4 

y 

Nota: Tome el cero como punto de referencia, además del primer punto a evaluar. 

Entonces, si deseamos _______________ la gráfica hacia _______________, debo 

______________una _______________, es decir _________ 

Y si deseamos _______________ la gráfica hacia _______________, debo ______________una 

_______________, es decir _________ 




Encuentre las ecuaciones de las siguientes rectas y observe qué sucede con ellas graficando las 

función correspondiente, con respecto a función base y = x. (describa lo que sucede) 

(0,0), (1,2) y = __________ 

(0,0), (1,3) y = __________ 

(0,0), (2,1) y = __________ 

(0,0), (3,1) y = __________ 

¿Qué se puede concluir? 




Observe que sucede si trabajamos con la misma modificación para la función base f(x) = x 2 , 

grafique las funciones y describa que sucede. 

y = 2x 2 

y = 3x 2 

y = 2 

1 x 

2 

y = 3 

1 x 

2 

¿Qué se puede concluir? 




Encuentre la ecuación de las siguientes rectas y observe qué sucede con ellas graficando las 

funciones correspondientes, con respecto a la función base y = x, y descríbalo. 

(-1,1), (0,0) y = __________ 

(-1,2), (0,0) y = __________ 

(-1,3), (0,0) y = __________ 

(-3,1), (0,0) y = __________ 

Haga lo mismo para y = -x 2 




Transformaciones de funciones 

Las transformaciones que sufre una función básica son las siguientes: 

Desplazamientos 

Estiramiento 

Reflexiones 

A partir de las funciones básicas, podemos obtener otras gráficas de funciones relacionadas, 

permitiéndonos trazar gráficas de numerosas funciones rápido (sin necesidad de utilizar la 

calculadora). 

Desplazamientos 

Los desplazamientos pueden ser sobre el eje x o sobre el eje y. 

Translación hacia arriba 

f(x) + c 

f(x + c) 

f(x) 

f(x – c) 

Translación a la Izquierda 

f(x) – c 

Translación a la derecha 

Translación hacia abajo 




Si c es un número positivo, entonces tenemos los siguientes desplazamientos 

y = f (x) + c, se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia arriba 

y = f (x) – c, se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia abajo 

y = f (x – c), se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia derecha 

y = f (x + c), se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia izquierda 

Estiramientos y compresiones verticales 

cf(x) 

f(x) 

1 f(x) 

c 

Estiramiento vertical 

Compresión vertical 

y = cf(x), estírese la gráfica de y = f(x) verticalmente en su factor de c 

y = c 

1 f(x), comprímase la gráfica de y = f (x) verticalmente en su factor de c 

Estiramientos y compresiones horizontales 

f(cx) 

f(x) 

⎛ 1 ⎞ 

f ⎜ x⎟ 

⎝ c ⎠ 

Compresión horizontal 

Estiramiento horizontal 

y = f(cx), comprímase la gráfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c 

y = f( c 

1 x), estírese la gráfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c 

Reflexiones 

-f(x) 

f(x) 

f(-x) 

Reflexión en x 

Reflexión en y 

y = –f (x), refléjese la gráfica de y = f (x) respecto al eje x 

y = f(-x), refléjese la gráfica de y = f (x) respecto al eje y 




Dominio y recorrido 

El dominio de f es el conjunto A, y su recorrido o imagen es f(x) 

Recorrido 

y 

y = f(x) 

• 

• 

x 

Dominio 

En realidad, una función nueva parte de la función básica y = x, es decir, si consideramos por 

ejemplo a y = x 2 , es una modificación de la básica x, es decir si realizamos la tabla de valores para 

algunos puntos podemos ver que: 

x f(x) = x f(x) = x 2 

-3 -3 (-3) 2 = 9 

-2 -2 (-2) 2 = 4 

-1 -1 (-1) 2 = 1 

0 0 (0) 2 = 0 

1 1 (1) 2 = 1 

2 2 (2) 2 = 4 

3 3 (3) 2 = 9 

Observe cómo los valores que toma el recorrido nunca serán negativos, es decir, se puede observar 

cómo la parte de las x, en la función f (x) = x devuelve valores positivos; imagine si es posible 

proyectar la información de la variable x a la nueva función x2. 

NOTA: A partir de este momento, ya no usar la calculadora 

para hacer la gráfica de las funciones, sólo para evaluar 

algunos puntos. 




Otras funciones básicas 

Otras funciones que podemos considerar básicas son las siguientes: 

y = |x| 

y = 

x 2 1 

= 

x 

Dominio 

Recorrido 

Dominio 

Recorrido 

y = x 

1 

y = e x 

Dominio 

Recorrido 

Dominio 

Recorrido 




y = ln(x) 

Evalúa algunos puntos cercanos a cero, 

tanto positivos como negativos, describe 

que observas. 

Dominio 

Recorrido 

Funciones trigonométricas 

Considérese un círculo de radio r = 1 y ángulo θ, por trigonometría sabemos que: 

entonces 

y 

sen θ = ; 

1 

x = cosθ 

y = senθ 

x 

cos θ = 

1 

θ 

x 

y 

x 

Si medimos el ángulo θ en radianes tenemos 




y = cos(x) 

y = sen(x) 

Dominio 

Recorrido 

Dominio 

Recorrido 

Cómo se comportan las funciones de la forma 

y = f(x) + c 

donde f(x) es una de las funciones anteriores y c es una constante 

Propón una función y una constante y realiza lo que describiste. 

y = __________ 

y = __________ 




Cómo se comportan las funciones de la forma 

y = f(x-b) 

donde f(x) es una de las funciones anteriores y b es una constante. 

y = __________ 

y = __________ 

¿Qué efecto produce en cualquiera de las funciones anteriores el multiplicarlas por un número a? 

esto es, cuál es el comportamiento de funciones de la forma: 

y = a f(x) 

donde f(x) es una de las funciones anteriores y a es una constante, en cualquiera de los siguientes 

casos: 

i) a > 1 

ii) 0 < a < 1 

iii) a < 0 




y = ___________ 

y = ___________ 

a > 1 

y = ___________ 

0 < a < 1 

a < 0 

En general, cómo se comportan las funciones de la forma 

y = af(x-b) + c 

donde f(x) es una de las funciones anteriores y a, b y c son constantes. 



y = ____________ 

y =____________ 


En cada una de las siguientes funciones determinen cuál es la función básica y describan el efecto 

que le producen cada uno de los parámetros. Luego bosquejen las gráfica correspondiente. 

y = x – 3 

y = 

2 

x − 3 



2 

y = 1 − 

x − 3 


1 

y = (x + 3) 

2 

2 − 

1 

y = 4 − 2 ln(x + 3) 




Bosqueje las funciones, si cree que es necesario evalúe algunos puntos. 

y = 

− 

x 

y = x − 2 

y = 

− 

x 

y = 

1− x 

y = 

− 2 1 − x 

y = 4 − 2 1 − x 




Sabiendo que la gráfica de la figura corresponde a la función y = f(x), 

bosqueje la gráfica de cada una de las siguientes funciones: (use algunos puntos para hacerlo) 

y = f(x) – 5 

y = 2 

1 f(x) 

y = f(x – 2) 

y = 10 – f(x) 




y = f ( x ) 

y = 5 − f (x + 3) 

Combinación de funciones 

Estos primeros problemas deben haberle permitido precisar el efecto que sobre una función 

cualesquiera y = f(x), tienen los parámetros a, b y c (constantes) que aparecen en funciones de la 

forma 

y = af(x – b) + c 

Tales efectos, pueden explicarse fácilmente teniendo claro que en la expresión y = f(x), f(x) 

representa los valores de la variable y, que se obtienen a partir de los valores de la variable x al 

efectuar sobre ellos las operaciones representadas por la regla f; ya que, en ese caso, en una 

expresión de la forma 

y = f(x) + c 

f(x) + c representa los valores de la y de la nueva función y, por tanto, es evidente que éstos se 

obtienen, en cada caso, al sumarle c unidades a los valores de la y de la función inicial. Una 

consecuencia inmediata de esto, es el hecho de que para cualquier valor dado de la x, los valores 

correspondientes de las y de las dos funciones, y = f(x) y y = f(x) + c, difieren en el valor 

constante, c. Geométricamente, esto hace que la gráfica de y= f(x)+c sea igual a la gráfica de y = 

f(x), sólo que está c unidades más arriba o más abajo según que c sea un número positivo o 

negativo. 

De igual forma, en funciones de la forma y = af(x), los valores de la y se obtienen multiplicando por 

a los valores de la y de la función y = f(x), de tal manera que, si a>1, los valores de la y, de la 

función y = af(x) tendrán un valor absoluto mayor que los correspondientes valores de la y de la 

función y = f(x), excepto cuando y = 0, en cuyo caso serán iguales. En el caso de que a sea una 

fracción entre cero y uno, es decir, en el caso de que 0 < a < 1, resultará que los valores de la y, de 

la función y = af(x) tendrán un valor absoluto menor que los correspondientes valores de la y de la 

función y = f(x), excepto, como en el caso anterior, cuando y = 0. 




Gráficamente, lo anterior se refleja en el hecho de que las gráficas de y=f(x) y y=af(x), coinciden 

cuando y = 0 y cuando y ≠ 0 se separan más o menos dependiendo del valor de y de la función 

y=f(x) y del valor de a (mientras mayores son los valores absolutos de y, la separación de las 

gráficas es mayor; lo mismo sucede para los valores de a, cuando son mayores que uno y lo 

contrario cuando son menores que uno). 

Por último, si a < 0, af(x) y f(x) tendrán signos diferentes, esto es, cuando f(x) > 0, af(x) < 0 y 

viceversa. 

Consideremos ahora el caso en el que a y/o c fueran también variables dependientes de x; esto es 

consideremos a = A(x) y c = C(x) de tal manera que tendremos ahora funciones de la forma 

i) y = f(x) + C(x) 

ii) y = A(x)f(x) 

o la combinación de ambos, que dan lugar a funciones de la forma 

y = A(x)f(x) + C(x) 

(desde luego que los casos anteriores son ahora casos particulares de esta nueva forma y 

corresponden, precisamente, a los casos en los cuales A(x) y C(x) son funciones constantes). 

Entonces, se pueden combinar dos funciones f y g para formar nuevas funciones f+g, f-g, fg, f/g de 

manera semejante a las operaciones básicas con los números reales. 

Si definimos la suma f + g por la ecuación 

(f+g)(x) = f(x) + g(x) 

Entonces, el segundo miembro de la ecuación tiene sentido si tanto f(x) como g(x) están definidas; 

es decir, si x pertenece al dominio de f y también al de g. Si el dominio de f es A y el de g es B, 

entonces el dominio de f+g es la intersección de ambos, es decir A B. 

Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones se definen como 

sigue: 

(f + g)(x) = f(x) + g(x) dominio = A ∩ B 

(f – g)(x) = f(x) – g (x) dominio = A ∩ B 

(fg)(x) = f(x)g(x) dominio = A ∩ B 

⎛ f ⎞ f (x) 

⎜ ⎟(x) 

= 

⎝ g ⎠ g(x) 

dominio = {x ∈A ∩ B | g(x) ≠ 0} 




Si 

f (x) = x y 

g(x) 

2 

= 4 − x , la suma de f(x) y g(x) es 

Dominio A = {x | x ≥ 0} 

Dominio B = {x | -2 ≤ x ≤ 2} 

El nuevo dominio es A ∩ B = { x | 0 ≤ x ≤ 2} 

Seleccione algunos puntos para bosquejar la función resultante, por ejemplo los extremos del nuevo 

dominio, así como algún o algunos puntos interiores de ese dominio. 

Como la operación que se realiza es la suma, 

Para el primer extremo se tienen que: 

0 + 2 = 2, 

para el siguiente punto x = 1, 

entonces y 2 = 4 – 1, y = 3 

3 + 1 =2.73 

Para el otro extremo 2 + 0 = 2 




Bosqueje las funciones resultantes de: 

f(x) – g(x) 

f(x) * g(x) 

f (x) 

g(x) 

Bibliografía 

Curso de Cálculo, MEEC2, Ciidet, mayo 2005 

Cálculo de una variable, James Stewart, Edit. Thomson. 2001 

Manual de la calculadora Voyage 200, Texas Instruments. 2006 

Las gráficas fueron generadas en Winplot, 

Parris Richard, Peanut software, tomado de http://math.exeter.edu/rparris octubre de 2006.

bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras o ...

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