INTERVALOS DE LA RECTA REAL - c.e.p.a. san francisco

IINTERVALOS DE LA RECTA REAL
FUNCIONES. DOMINIO Y RECORRIDO. CONJUNTOS.
Este curso vamos a estudiar las funciones reales de variable real, es decir, funciones que se calculan sobre
números reales y el resultado es un número real. Los números reales sobre los que podemos calcular la
función forman un conjunto llamado dominio, los números reales que resultan forman un conjunto llamado
recorrido. Por lo tanto, dominio y recorrido son subconjuntos, una parte, de los números reales.
Veamos las formas con las que podemos expresar esos subconjuntos:
ENTRE LLAVES, {…….} : Es el conjunto formado exclusivamente por los elementos que aparecen en el
interior de las llaves.
Ejemplo 1.:
a) { -6, 1, 0.5, 3} →Este conjunto está formado por
cuatro elementos, -6, 1, 0.5 y el 3, sólo por esos
cuatro números.
b) { 3 , 3 4 , -7, 1 } →Los elementos de este conjunto son cuatro, cuatro números reales: 3 , 3 , -7 y 1.
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INTERVALOS: Sean a y b dos números reales tales que a < b
I) INTERVALO ABIERTO de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a < x < b, es
decir, todos los números mayores que a y menores que b, no incluidos a y b.
Se representa por (a, b) ó ]a, b[.
(a, b) ={x ∈ R / a < x < b}
gráficamente
Observación: en la representación gráfica de un intervalo, cuando un extremo esté incluido
pintaremos en él un punto cerrado ( ) y cuando no esté incluido, pintaremos uno abierto ( ◦ ).
Ejemplo 2.:
(-2, 3) 1 → Este conjunto está formado por los infinitos números reales (enteros, racionales e irracionales)
comprendidos entre -2 y 3 no incluidos estos dos números. -1.99999, -1, -0.001, 0.5, 1, 1.25, 2.9999999 …
etc.
II) INTERVALO CERRADO de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a ≤ x ≤ b, es
decir, todos los números mayores que a y menores que b incluidos a y b.
Se representa por [a, b].
1 ]-2, 3[
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[a, b]={x ∈ R / a ≤ x≤ b}
gráficamente
Ejemplo 3.:
a) [-2, 3] → Esta formado por todos los números
reales mayores o iguales que -2 y menores o
iguales que 3.
b) [2, 4] → Esta formado por todos los números reales mayores o
iguales que 2 y menores o iguales que 4.
III) INTERVALOS SEMICERRADOS O SEMIABIERTOS de extremos a y b son aquellos intervalos en
los que uno de los extremos se incluye y el otro no.
A) [a, b) : es el conjunto de números reales x, tales que a ≤ x < b, es decir, todos los números
mayores o iguales que a y menores que b (ahora está incluido a y no está incluido b).
[a, b)={x ∈ R /a ≤ x < b}
gráficamente
B) (a, b] : es el conjunto de números reales x, tales que a < x ≤ b, es decir, todos los números
mayores que a y menores o iguales que b (ahora no está incluido a y sí está incluido b).
(a, b]={ x ∈ R /a < x ≤ b }
gráficamente
Ejemplo 4.:
a) [-1, 4) → Esta formado por todos los números
reales mayores o iguales que -1 y menores que 4.
b) (-1, 4] → Esta formado por todos los números reales
mayores que -1 y menores o iguales que 4.
IV) INTERVALOS INFINITOS: en alguno de los extremos, o en ambos, aparece el símbolo ∞.
Observación: El extremo ∞ siempre es abierto; si el otro extremo es un número, puede ser abierto o
cerrado.
(– ∞, + ∞) = R → Representa toda la
recta real, todos los números reales
(Cuando el extremo superior es +∞, también puede omitirse el signo + )
Veamos algunos ejemplos de este tipo de intervalos:
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Ejemplo 5.:
a) (– ∞, 3) → Esta formado por todos los números reales menores que 3
b) (-2, + ∞) →Esta formado por todos los números reales mayores que -2.
c) (– ∞, – 1) → Esta formado por todos los números reales menores que -1.
d) (2, + ∞) → Esta formado por todos los números reales mayores que 2.
e) [2, +∞)→ Esta formado por todos los números reales mayores o iguales que 2.
f) (– ∞, – 1] → Esta formado por todos los números reales menores o iguales que -1.
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