CAPTULO 4: PROBABILIDAD - c.e.p.a. san francisco

SUCESOS Y PROBABIILIIDAD
La palabra probabilidad es utilizada con frecuencia en nuestra vida cotidiana:
I : “¿Qué probabilidades crees que tengo?.”
J: “Me parece que una entre un millón.”
En los fenómenos reales observamos los hechos que se producen, repitiéndose unos con mayor frecuencia
que otros y cuyos resultados pueden estar influenciados por varias causas. Para estudiar estos resultados
construiremos un modelo matemático de dicho fenómeno. La parte de las matemáticas que profundiza en tales
modelos se conoce como teoría de las probabilidades.
SUCESOS
DEFINICIONES
DEFINICIONES Y PROPIEDADES
• Experimentos aleatorios: son aquellos cuyos resultados no se pueden predecir antes de su realización,
es decir, los que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las mismas condiciones.
Ejemplo 1.: Lanzar un dado o una moneda.
• Suceso elemental: es el resultado de cada una de las realizaciones del experimento aleatorio. Suelen
denotarse ω .
Ejemplo 2.:
i
a) Cuando se lanza un dado, los sucesos elementales son:
ω1= {1}, ω2
= {2}, ω3
= {3}, ω 4 = {4}, ω 5 = {5}, ω 6 = {6}
b) Si se lanza una moneda:
ω1={cara},
ω 2 ={cruz}
• Espacio muestral: Es el conjunto de todos los sucesos elementales y se denota por Ω .
Ejemplo 3.:
a) En el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , es decir, todos los
números que se pueden obtener al lanzarlo, que son los que tiene el dado.
b) Si lanzamos 2 monedas y simbolizamos por c la cara y por + la cruz: Ω = {(c,c), (c,+), (+,c), (+,+)}.
• Suceso: Se llama así a cualquier subconjunto del espacio muestral. Suelen denotarse por A, B, C, etc.
Ejemplo 4.:
a) En el lanzamiento de un dado el suceso A: “ salir par” es A = {2, 4, 6} puesto que podría salir el 2 o el
4 o el 6 y con cualquier número par del dado podemos decir que ha ocurrido el suceso A.
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
1

) Se lanzan 3 monedas, A: “obtener al menos una cara” es:
A = {(c,+,+),(+,c,+),(c,c,+),(c,+,c),(+,+,c),(c,c,c),(+,c,c)}
(al menos una cara significa que por lo menos hay una cara, pero eso no significa que no puedan
aparecer más; también sirven los casos en los que haya dos y el caso de tres)
• Suceso imposible: Es un suceso que no puede producirse nunca, es decir, que sea igual al conjunto
vacío, y se representa por ∅.
Ejemplo 5.:El suceso A: “salir el número 7” al lanzar un dado es un suceso imposible puesto que en un
dado los números que aparecen en sus caras van del 1 al 6. Luego A = ∅.
• Suceso seguro: Se llama así a un suceso que ocurre siempre, es decir, que sea igual al espacio muestral.
Ejemplo 6.: Si en el lanzamiento de un dado consideramos el suceso A: “salir un nº menor que 8”, estamos
ante un suceso seguro ya que se podría obtener un 1 o un 2 o un 3 o un 4 o un 5 o un 6 y todos estos
resultados corresponden a números menores que 8, por tanto, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω.
• Espacio de sucesos, S: Es el conjunto de todos los subconjuntos de Ω
Ejemplo 7.:Si consideramos el lanzamiento de una moneda, tenemos que Ω = {c, +} y S = {∅ , Ω , {c}, {+}}
OPERACIONES CON SUCESOS
• Inclusión: Se dice que un suceso A está contenido en un suceso B, A ⊂ B , si siempre que se verifica A
también se verifica B.
Ejemplo 8.: Lanzamos un dado y consideramos los sucesos A: “salir el 2” y B: “salir un número par”. Se
tiene que A ⊂ B puesto que si obtenemos el 2, éste resultado es un número par y por lo tanto ocurre el
suceso B.
• Igualdad: Dos sucesos A y B son iguales si y sólo si se da la inclusión en ambos sentidos, es decir:
A = B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A
Ejemplo 9.:En el lanzamiento del dado los sucesos A: “salir el 2” y B: “salir un número primo par” son
sucesos iguales pues el único primo par es el 2.
• Unión: Lamamos suceso unión, A ∪ B , al suceso que se produce si se verifica por lo menos uno de los
dos. Es decir, se verifica A o B o también podrían darse ambos al mismo tiempo.
Ejemplo 10.: Consideramos los sucesos A: “salir número par” y B: “salir número primo menor que 4”. El
suceso A ∪ B comprendería todos los pares junto con los primos menores que 4, es decir: A = {2, 4, 6}, B
= {1, 2, 3} y A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}.
• Intersección: Se llama suceso intersección, A ∩ B , al suceso que se produce si se verifican A y B a la
vez.
Ejemplo 11.:Tomando los sucesos A y B del ejemplo anterior se tiene que, cuando sale el número 2, ocurre
A pues es un número par y también sucede B ya que el 2 es menor que 4 y es primo. Este es el único
resultado con el que se dan A y B simultáneamente, luego el suceso intersección viene representado por el
conjunto A ∩ B = {2}.
OBSERVACIÓN: Al escribir la unión de varios sucesos los elementos de la intersección los consideraremos
una sola vez.
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
2

• Diferencia de sucesos: El suceso diferencia de los sucesos A y B, denotado A - B , consiste en que se ha
producido A y no se ha producido B.
Ejemplo 12.: Continuando con los sucesos A y B mencionados, se tiene que el suceso A - B corresponde a
la parte de A que no está en B, por tanto: A - B = {4, 6}.
• Complementación: Llamamos suceso contrario o complementario de un suceso A y lo denotaremos por
A , al que se verifica siempre que no se verifica A. De otro modo, el complementario de un suceso A es el
suceso A : " no ocurrir A" .
Ejemplo 13.:Lanzamos tres monedas y nos interesamos por el suceso A: “obtener al menos una cara”. Su
complementario será el suceso “no obtener ninguna cara” o lo que es lo mismo, “obtener tres cruces”:
A = {(+,+,+)}
OBSERVACIÓN: Se tiene que
A = Ω - A y A - B = A ∩ B .
Las operaciones con sucesos definidas anteriormente pueden representarse gráficamente de la forma:
A
B
A
B
A
A
B
A ∪ B
A ∩ B
A = Ω - A
.
A - B
PROPIEDADES
La tabla siguiente recoge algunas propiedades para la unión, intersección y complementación de sucesos:
Idempotente
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Conmutativa
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Asociativa A ∪ ( B ∪ C) = ( A ∪ B) ∪ C
A ∩ ( B ∩ C) = ( A ∩ B) ∩ C
Simplificativa A ∪ ( B ∩ A) = A
A ∩ ( B ∪ A) = A
Distributiva A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)
Elemento neutro
Complementación
Leyes de Morgan
A ∪ ∅ = A
A ∩ Ω = A
A ∪ A = Ω
A ∩ A = ∅
A = A
A ∪ B = A ∩ B
A ∩ B = A ∪ B
OTRAS DEFINICIONES
• Sucesos Incompatibles: Dos sucesos A y B se dice que son incompatibles cuando no pueden darse
simultáneamente, es decir, si y sólo si A ∩B = ∅ .
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3

Ejemplo 14.: En el lanzamiento de un dado, los sucesos A: “salir par” y B: “salir impar” son incompatibles ya
que un número no puede ser par e impar al mismo tiempo.
• Sistema Completo de Sucesos (S.C.S.): Se dice que una colección de sucesos A1,A
2 ,..., An
forma un
sistema completo de sucesos, cuando son incompatibles dos a dos y la unión de todos ellos es el espacio
muestral, es decir, si se cumplen las condiciones siguientes:
1. A ∩ A = ∅ ∀i
≠ j
i
j
2. A ∪ A ∪ ... ∪ A = Ω
1
2
n
Ejemplo 15.:Los sucesos elementales, puesto que no pueden darse a la vez y el espacio muestral es por
definición el conjunto formado por dichos sucesos, constituyen claramente un S.C.S.
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
4

PROBABILIDAD
DEFINICIONES
• Clásica: Supongamos un experimento aleatorio que se repite n veces y A un suceso asociado a dicho
experimento que ha ocurrido n A veces en esas n pruebas. Llamamos probabilidad de A, y lo denotaremos
P(A), al cociente:
nA
P(A) =
n
• Espacio Probabilístico: La terna formada por (Ω, S, P) se llama espacio probabilístico.
PROPIEDADES
1. La probabilidad del suceso seguro (espacio total, Ω) es 1 y la
del suceso imposible (vacío, ∅ es 0):
2. El valor de la probabilidad de un suceso siempre se encuentra
entre 0 y 1:
P( Ω ) = 1 ; P(∅) = 0
0 ≤ P(A) ≤ 1
3. Para el complementario de un suceso A se cumple: P( A) = 1- P(A)
4. Cuando un suceso está incluido en otro, sus probabilidades
están relacionadas de la forma:
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
5. La probabilidad de la unión de dos sucesos verifica: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Cuando A y B son incompatibles, como A
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) .
∩ B =
∅ , esa probabilidad se reduce a
Supongamos que tenemos tres sucesos y queremos calcular la probabilidad de su unión. Para ello
utilizaremos la propiedad conocida para dos:
P(A ∪ B ∪ C)
P(A ∪ B ∪ C) = P((A ∪ B) ∪ C) = P(A ∪ B) + P(C) - P((A ∪ B) ∩ C) =
P(A) + P(B) - P(A ∩ B) + P(C) - P ((A
∩ C) ∪ (B ∩ C) ) =
P(A) + P(B) - P(A ∩ B) + P(C) - (P(A ∩ C) + P(B ∩ C) - P(A ∩ B ∩ C)) =
P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
= P(A) + P(B) + P(C) - P(A
∩ B)
- P(A
∩ C)
- P(B
∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Este resultado puede generalizarse para una cantidad n de manera que irían apareciendo además
todas las intersecciones de tres sucesos, las de cuatro, cinco, etc. hasta llegar a la intersección de los
n sucesos, alternándose el signo de la misma forma que en el obtenido para tres.
6. Para la diferencia de dos sucesos, A-B, se tiene: P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
5

DEFINICIÓN CLÁSICA DE LAPLACE
Supongamos un espacio muestral Ω con un número finito n de sucesos elementales ω 1,...,
ω n
equiprobables , es decir, P( ω 1 ) =...= P( ω n ). Podemos calcular esta probabilidad aplicando las propiedades
anteriores de la forma siguiente:
1
1 = P(Ω) = P( ω 1 ∪ ...∪ ω k ) = P( ω 1 ) +...+ P( ω n ) = n P( ω i ) ⇒ P( ω i)
= ∀i
n
como por hipótesis son equiprobables, estamos sumando n
veces la probabilidad de uno cualquiera de ellos
Consideremos ahora un suceso A del espacio de sucesos S correspondiente a Ω, formado por k de esos n
sucesos elementales (k ≤ n), A = { ω i1
,..., ω ik
}. Escribiendo A como la unión de tales sucesos, se tiene:
1 1 1
k
P(A) = P( ωi1
∪ ...∪ ωik
) = P( ωi1) +...+ P( ωik
) = + ... + = k ⋅ ⇒ P(A) =
n n n n
Llegamos así a la definición clásica de Laplace:
k
P(A) =
n
=
nº casos
nº casos
favorables
posibles
Ejemplo 16.: Lanzamos un dado al aire y queremos calcular la probabilidad del suceso
A: “salir un número par”. Supondremos que el dado no está cargado, es decir, que todos los números tienen la
misma probabilidad de salir. Los resultados posibles en el lanzamiento son cada uno de los números de las
caras del dado, luego el espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los casos favorables serán todos aquellos
resultados en los que se obtenga un número par, así, A = {2, 4, 6}. Tenemos seis casos posibles y tres
favorables, por tanto la probabilidad que buscamos es:
3 1
P(A) = =
6 2
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Cuando se desarrolla un experimento aleatorio, algunos sucesos se relacionan de modo que el conocimiento
de la realización de uno de ellos interviene en la obtención de otro suceso y por tanto influye en su
probabilidad.
DEFINICIONES
• Probabilidad Condicional: Supongamos un suceso A de probabilidad no nula y otro suceso cualquiera B.
Lamamos probabilidad de B condicionada al suceso A, y se representa por P (B | A)
, al número definido
por el cociente:
P(A ∩ B)
P(B | A) =
P(A)
Ejemplo 17.:Se lanzan dos dados al aire y se sabe que el resultado total de puntos ha sido 8. Queremos
calcular la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido el número 5. Primero daremos nombre
a los sucesos que intervienen, llamaremos:
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
6

A: “la suma de puntos es 8”
B: “en algún dado sale el 5”
Estamos buscando la probabilidad del suceso B pero no como tal sino condicionada a un suceso que
sabemos que ha ocurrido y del cual conocemos su probabilidad que es el suceso A; en realidad nos
preguntamos por la probabilidad de que en algún dado haya salido el 5 si el resultado ha sido de 8 puntos,
es decir, P(B | A) . Escribiremos todos los pares de puntos que corresponden a cada uno de nuestros
sucesos:
A = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}
B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)}
necesitamos también el suceso intersección:
A ∩ B = {(3,5), (5,3)}
Para calcular la probabilidad que buscamos tenemos que hallar primero las probabilidades de los sucesos
A y A ∩ B ; lo haremos utilizando la definición de Laplace. La cantidad de resultados posibles en el
lanzamiento de dos dados es de 36, por tanto:
5
2
P(A) = P(A ∩ B) =
36
36
Entonces:
P(A ∩ B) 2 / 36 2
P (B | A) = = =
P(A) 5 / 36 5
La probabilidad del suceso B como tal, sin estar condicionado a otro suceso, sería simplemente la
11
probabilidad de que al lanzar dos dados por lo menos en uno de ellos salga el 5, que es P (B) = .
36
• Sucesos Independientes: Dos sucesos A y B se dice que son independientes cuando la realización de
uno de ellos no condiciona la del otro. Esto significa que P (B | A) = P(B)
y que P (A | B) = P(A)
.
Ejemplo 18.: Si tiramos una moneda al aire varias veces, el resultado obtenido en un lanzamiento no influye
en el resultado de los restantes.
Podemos decir que la condición necesaria y suficiente para que dos sucesos A y B sean independientes
es que la probabilidad de su intersección coincida con el producto de sus probabilidades:
A y B
independientes ⇔ P(A ∩ B) = P(A) ⋅P(B)
Utilizando esto para relacionar sucesos incompatibles y sucesos independientes se tiene que si A y B, no
imposibles, son dos sucesos incompatibles entonces A y B no pueden ser independientes ya que por la
incompatibilidad se tendría A ∩ B = ∅ , luego su probabilidad P( A ∩ B ) = 0, mientras que como P(A) y
P(B) son no nulos, su producto P(A)·P(B) ≠ 0; por tanto al no cumplirse la igualdad entre el producto de las
probabilidades y la probabilidad de la intersección y ser la condición anterior necesaria y suficiente es
deduce que los sucesos no son independientes.
OBSERVACIONES:
1. Dado un suceso fijo A, esta función que asocia a cualquier suceso B el número P(B | A)
cumple:
P(B |
A) = 1−
P(B | A)
Ejemplo 19.: Consideremos el ejemplo 17, y queremos calcular la probabilidad del suceso C: “en ninguno
de los dados ha salido el número 5” sabiendo que el resultado suma un total de 8 puntos.
Podríamos seguir los mismos pasos, es decir, escribir ahora todos los pares en los que no aparece el
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
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número 5 para obtener el suceso C y calcular las probabilidades necesarias; pero el conjunto de pares que
comprende C es muy grande y nos resulta mas sencillo hallar su complementario que es:
C : “en algún dado sale el 5” (es el suceso denotado antes por B)
Utilizaremos pues el suceso contrario de C para calcular la probabilidad buscada. Así:
2
P (C | A) = 1−
P(C | A) = 1−
=
5
2. De la definición se deduce la siguiente igualdad para la intersección de dos sucesos:
P(A
∩ B) = P(A) ⋅ P(B | A)
siendo A el suceso que condiciona, es decir, la probabilidad de la intersección es el producto de la
probabilidad del suceso que condiciona por la probabilidad condicional correspondiente. Por tanto, en caso
de conocer las probabilidades condicionadas a B, escribiremos:
P(A
∩ B) = P(B) ⋅ P(A | B)
3
5
Ejemplo 20.: Supongamos una urna con 4 bolas verdes y 3 amarillas. Se realizan dos extracciones sin
reemplazamiento, o lo que es lo mismo, sacamos una bola y sin devolverla sacamos una segunda bola.
La probabilidad que pretendemos hallar es la probabilidad de que la primera bola extraída sea amarilla y la
segunda verde.
1ª bola 2ª bola
Denotamos por:
3 amar.
4 verd.
total: 7 bolas
A i : “salir bola amarilla en la extracción i” i =1, 2
V : “salir bola verde en la extracción i” i =1, 2
i
Así, por ejemplo,
A 2
significará que la segunda bola que sacamos es amarilla.
Nos interesamos por el suceso “1ª amarilla y 2ª verde”; con esta notación podemos escribir este suceso
como intersección de dos sucesos, A1 ∩ V2
.
3 4
Entonces: P(A
∩ V2
) = P(A 1)
⋅ P(V2
| A 1)
= ⋅
7 6
1 =
2
7
3
P(A
1 ) = puesto que hay un total de 7 bolas y de ellas 3 son amarillas
7
4
P(V2 | A 1)
= ya que en la urna tenemos ahora una bola menos por realizarse extracciones sin
6
reemplazamiento y el número de bolas verdes es de 4, pues la anterior ha sido amarilla
Veamos ahora algunas fórmulas que nos permiten el cálculo de probabilidades de sucesos a partir de
probabilidades condicionales ya conocidas:
TEOREMA DE INTERSECCIÓN
Es una generalización de la probabilidad de la intersección de dos sucesos para una cantidad finita n.
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
8

Sean A1,
A2,...,
An
n sucesos tal que P( A n | A1
∩ ... ∩ A n− 1)
> 0 , entonces:
P( A1 ∩ ... ∩ A n ) = P(A 1)P(A
2 | A1)P(A
3 | A1
∩ A 2 )...P(A n | A1
∩ ... ∩ A n−1)
Ejemplo 21.: En una urna hay 5 bolas negras y 7 rojas. Se realizan cuatro extracciones sin
reemplazamiento y nos preguntamos por la probabilidad de que salgan la primera y la segunda
rojas, la tercera negra y la cuarta roja.
Denotaremos los sucesos por Ni
y Ri
, donde N y R hacen referencia al color de la bola y el
subíndice i indica la extracción a la que corresponde.
Buscamos la probabilidad del suceso intersección: R1 ∩ R2
∩ N3
∩ R4
Aplicando la fórmula producto anterior tenemos:
7 6 5
P( R ∩ R 2 ∩ N3
∩ R 4 ) = P(R 1)
⋅ P(R 2 R1)
⋅ P(N 3 R1
∩ R 2 ) ⋅ P(R 4 R1
∩ R 2 ∩ N3
) = ⋅ ⋅
12 11 10
1 =
5 negras
7 rojas
total: 12 bolas
Los denominadores corresponden al total de bolas, el cual va disminuyendo en uno en cada extracción pues la
bola no se devuelve a la urna, y los numeradores se refieren al número de bolas negras o rojas que van
quedando y que depende del color de la bola en la extracción anterior.
5
⋅
9
35
396
TEOREMA DE LA PARTICIÓN O DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sea un S.C.S { A , A
1 2,...,
An
}tal que
P(A i ) ≠ 0 ∀i
= 1,..., n . Entonces para un suceso cualquiera B se verifica:
Escrito como sumatorio: P(B) = P(A ) ⋅ P(B | A )
P(B) = P(A )P(B | A ) + P(A )P(B | A ) + ... + P(A )P(B | A )
n
∑
i=
1
1
i
1
i
2
Ejemplo 22.:Consideremos dos urnas con bolas rojas y negras. La primera contiene 3 rojas y 4 negras y la
segunda 5 rojas y 3 negras. Sacamos una bola de la urna número 1 y sin ver su color la introducimos en la
urna número 2 y a continuación extraemos de ésta una bola. Nos preguntamos por la probabilidad de que esta
segunda bola sea roja.
En primer lugar, haremos un pequeño esquema del experimento y daremos nombre a los sucesos que
intervienen:
1ª bola 2 ª bola
2
n
n
3 rojas
4 negras
URNA 1
total: 7 bolas
5 rojas
3 negras
URNA 2
total: 8 bolas
Denotaremos por R y N a los sucesos relacionados con salir
roja y salir negra, respectivamente, acompañados con el
subíndice 1 o 2 para indicar la urna de la que extraemos la
bola.
Así, el suceso
R 1
representará: “la 1ª bola sale roja”.
Con esta notación, nos estamos preguntando entonces por la probabilidad del suceso R 2 , pero la composición
de la segunda urna cambia, es decir, a la urna 2 añadimos una bola, con lo cual tendrá un total de 9 y el
número de rojas y negras variará según el color de la bola en la extracción anterior: habrá 6 rojas y 3 negras si
la primera ha salido roja, y 5 rojas y 4 negras si la primera ha sido negra. Por tanto el suceso R 2 depende del
color de la primera bola que puede ser o bien roja o bien negra y además no pueden darse al mismo tiempo,
por tanto los sucesos y N forman un S.C.S. Aplicando la fórmula anterior:
R1
1
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
9

3 6 4
P(R ) = P(R1)
⋅ P(R 2 | R1)
+ P(N1)
⋅ P(R 2 | N1)
= ⋅ +
7 9 7
Otra forma (sin aplicar directamente la fórmula):
2 ⋅
5 38
=
9 63
Teniendo en cuenta que el estado de la segunda urna depende del color de la bola extraída de la urna 1, la
probabilidad de que la segunda bola sea roja puede expresarse considerando todas las opciones para las que
la segunda es roja, que son: la primera ha salido roja y la segunda también, o, la primera ha salido blanca y la
segunda roja. Además estas dos únicas situaciones no pueden darse al mismo tiempo, puesto que si la
primera es roja no puede ser también blanca. De esta forma el suceso R 2 puede escribirse como la unión de
dos sucesos incompatibles: = (R ∩ R ) ∪ (N R )
R2 1 2 1 ∩ 2
Por tanto, el cálculo de su probabilidad se reduce al cálculo de la probabilidad de la unión de dos sucesos:
P(R2)
= P((R1
∩ R2)
∪ (N1
∩ R2))
Utilizando ahora la propiedad 5 sobre la probabilidad de una unión, llegamos a la misma expresión que nos da
el teorema de la probabilidad total:
P(R 2 ) = P((R1
∩ R 2 ) ∪ (N1
∩ R 2 )) = P(R1
∩ R 2 ) + P(N1
∩ R 2 ) = P(R1)
⋅ P(R 2 | R1)
+ P(N1)
⋅ P(R 2 | N1)
↑
como no pueden
darse a la vez, la
probabilidad de
la intersección
sería 0.
↑
desarrollando la
probabilidad para
una intersección
TEOREMA DE BAYES
Sea un S.C.S { A , A
1 2,...,
An
} tal que P(A
i ) ≠ 0 ∀i
= 1,..., n y se considera un suceso B cualquiera. Entonces:
P(A
k
| B)
=
P(A
n
∑
i=1
k
)P(B | A
P(A )P(B | A )
i
k
)
i
∀ k = 1,2,...,n
El denominador desarrollado sería la suma siguiente:
P(A )P(B | A ) + P(A
1
1
2
)P(B | A
2
) + ... + P(A
k
)P(B | A
k
) + ... + P(A
n
)P(B | A
Esta fórmula puede comprobarse fácilmente utilizando la definición de probabilidad condicional, la probabilidad
de una intersección y el teorema de la probabilidad total.
n
)
Ejemplo 23.: Supongamos una urna con 3 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas. El experimento consiste en sacar
una bola y devolverla a la urna junto con 2 del mismo color. Se realizan dos extracciones y se sabe que la
segunda bola ha sido negra. Nos preguntamos por la probabilidad de que la primera bola haya sido blanca.
Llamamos, para i = 1,2:
B i : “salir blanca en la extracción i”
N i : “salir negra en la extracción i”
R i : “salir roja en la extracción i”
1ª bola
+2 igual color
que 1ª
3 blancas
4 negras
2 rojas
2ª bola
Puesto que la situación de la urna para la segunda extracción
depende de si en la primera ha salido roja o blanca o negra, los
total: 9 bolas
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
10

sucesos { R1
, B1, N1
} forman un sistema completo de sucesos.
La probabilidad que nos interesa es P(B1 | N2
) y no P( B1), es decir, la probabilidad de que la primera haya
sido blanca si la segunda nos ha salido negra.
Para la segunda extracción el número de bolas ha cambiado; el total es de 11 y habrá 2 blancas mas o 2
negras mas o 2 rojas mas dependiendo del color de la bola extraída en primer lugar.
Por el teorema de Bayes podemos escribir entonces que:
P(B1)P(N2
| B
P(B1
| N2
) =
P(R1)P(N2
| R1)
+ P(B1)P(N2
| B
3 9 ⋅ 4 11
3
=
=
2 9 ⋅ 4 11+
3 9 ⋅ 4 11+
4 9 ⋅ 6 11 11
1
1
)
) + P(N
P(B1)P(N2
| B1)
También puede plantearse utilizando la definición de probabilidad condicionada: P(B1
| N2
) =
P(N2
)
y encontrar por separado cada uno de los términos. Al calcular P(N 2 ) habrá que considerar todas las
situaciones posibles para la bola anterior, con lo cual, aparecerá la expresión del teorema de la probabilidad
total, que es justo el denominador del teorema de Bayes.
1
)P(N
2
| N
1
)
C.E.A. San Francisco – Probabilidad
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