Tema 5 Interacción gravitatoria - Colegio Sagrado Corazón de ...
Tema 5 Interacción gravitatoria - Colegio Sagrado Corazón de ...
Tema 5 Interacción gravitatoria - Colegio Sagrado Corazón de ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Tema</strong> 5<br />
Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
5.1 Evolución <strong>de</strong> los mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> movimiento planetario.<br />
5.2 Leyes <strong>de</strong> Kepler. Ley <strong>de</strong> gravitación universal.<br />
5.3 Campo gravitatorio.<br />
5.4 Energía potencial <strong>gravitatoria</strong>. Potencial gravitatorio.<br />
5.5 Distribución <strong>de</strong> masas puntuales. Principio <strong>de</strong> superposición.<br />
5.6 Aplicaciones al estudio <strong>de</strong> la gravedad planetaria. Satélites.<br />
5.1. Evolución <strong>de</strong> los mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> movimiento planetario.<br />
Des<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong> los tiempos el hombre se ha interesado por el cielo nocturno y ha<br />
observado que los objetos celestes (astros) varían <strong>de</strong> posición <strong>de</strong> forma cíclica. Las primeras<br />
teorías acerca <strong>de</strong>l movimiento y posición <strong>de</strong> los astros se <strong>de</strong>ben a Aristóteles (s. IV a.C.) y<br />
Tolomeo (s. II d.C.) y sitúan a la Tierra en el centro <strong>de</strong>l Universo (geocentrismo) estando el<br />
resto <strong>de</strong> los cuerpos celestes girando entorno suyo. Sorprendía el extraño movimiento <strong>de</strong><br />
algunos astros cuya trayectoria era extraña; avanzaban y retrocedían <strong>de</strong> forma alternativa. A<br />
estos objetos se los llamaron planetas que en griego significaba errantes. Este fenómeno fue<br />
explicado como si los planetas siguieran un movimiento combinado según dos trayectorias;<br />
<strong>de</strong>ferente y epiciclo.<br />
Figura 5.1. Trayectorias planetarias (a). Explicación mediante los mo<strong>de</strong>los<br />
geocéntrico (b) y heliocéntrico (c) .
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
Esta concepción <strong>de</strong>l Universo <strong>de</strong> mantuvo hasta el siglo XVI, cuando Nicolás Copérnico<br />
situó al Sol en el centro <strong>de</strong>l Universo, y la Tierra pasó a ser un planeta más, el tercero, que<br />
<strong>de</strong>scribía una órbita perfectamente circular en torno al Sol. Esta teoría se conoce como<br />
heliocentrismo y no fue aceptada hasta tiempo <strong>de</strong>spués. De este modo se pue<strong>de</strong> explicar el<br />
movimiento <strong>de</strong> los planetas visto <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la Tierra <strong>de</strong> un modo más sencillo, ya que se interpreta<br />
como un a<strong>de</strong>lantamiento planetario al viajar los planetas más internos a velocidad mayor.<br />
5.2 Leyes <strong>de</strong> Kepler. Ley <strong>de</strong> gravitación universal.<br />
5.2.1 Leyes <strong>de</strong> Kepler<br />
Entre finales <strong>de</strong>l siglo XVI y principios <strong>de</strong> XVII el alemán Johanes Kepler, tras<br />
cuidadosas observaciones y mediciones y basándose en los datos experimentales <strong>de</strong> un gran<br />
matemático <strong>de</strong> la época llamado Tycho Brahe, <strong>de</strong>scubrió que las trayectorias que siguen los<br />
planetas alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l Sol no son circulares, sino elípticas situándose el Sol en uno <strong>de</strong> sus<br />
focos. Kepler sintetizó sus observaciones en tres leyes:<br />
• Primera ley: los planetas siguen trayectorias elípticas alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l Sol estando éste<br />
situado en uno <strong>de</strong> sus focos. El punto más cercano se <strong>de</strong>nomina perihelio y el más<br />
alejado afelio.<br />
• Segunda ley: el área barrida por un planeta en su órbita (superficie areolar) en<br />
intervalo <strong>de</strong> tiempo <strong>de</strong>terminado es siempre la misma. La velocidad <strong>de</strong> traslación <strong>de</strong><br />
un planeta no es constante, sino que al estar más cerca <strong>de</strong>l Sol viaja más rápido.<br />
Estas variaciones son tales que en un intervalo <strong>de</strong> tiempo fijo el área barrida es la<br />
misma sin importar el lugar <strong>de</strong> su órbita en el que se encuentre el planeta.<br />
B<br />
A<br />
Sol<br />
C<br />
Figura 5.2. Trayectoria <strong>de</strong> los planetas y superficies areolares<br />
D<br />
• Tercera ley. El cuadrado <strong>de</strong>l periodo <strong>de</strong> traslación es proporcional al cubo <strong>de</strong>l semieje<br />
mayor <strong>de</strong> la elipse. Éste se suele aproximar a la distancia media al Sol.<br />
T 2 = k · R 3<br />
Si se mi<strong>de</strong> el tiempo en años y la distancia al Sol en unida<strong>de</strong>s astronómicas (distancia<br />
media entre la Tierra y el Sol, 1u.a. = 150 millones <strong>de</strong> Km.) la relación es <strong>de</strong> igualdad.<br />
T 2 (años)= R 3 (u.a.)<br />
<strong>Tema</strong> 5-2
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Por ejemplo, Júpiter se encuentra aproximadamente a cinco unida<strong>de</strong>s<br />
astronómicas <strong>de</strong>l Sol (cinco veces más lejos que la Tierra) y su periodo <strong>de</strong><br />
traslación es <strong>de</strong> 11.2 años por lo que:<br />
T = 11.2 años → T 2 = 125.44 años 2 R = 5 u.a. → R 3 =125 u.a. 2<br />
Las tres leyes son válidas en general para cualquier masa en órbita alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> otra;<br />
la Luna alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la Tierra, una satélite artificial en torno a Marte, los cometas, etc.<br />
5.2.2 Ley <strong>de</strong> Gravitación Universal<br />
En la segunda mitad <strong>de</strong>l siglo XVII Isaac Newton llegó a la conclusión que el hecho que<br />
los cuerpos caigan al suelo implica que <strong>de</strong>be haber una fuerza que los atraiga hacia la Tierra;<br />
al mismo tiempo y, basándose en el principio <strong>de</strong> inercia, interpretó que la Tierra <strong>de</strong>be ejercer<br />
una fuerza sobre la Luna ya que, en caso contrario, ésta tendría una trayectoria rectilínea.<br />
Newton consi<strong>de</strong>ró ambos hechos como resultados <strong>de</strong> un mismo fenómeno; la atracción que se<br />
ejercen las masas. Así pues enunció la ley <strong>de</strong> gravitación universal <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
"Dos masas siempre experimentan una fuerza <strong>de</strong> atracción que es directamente<br />
proporcional al producto <strong>de</strong> sus masas, inversamente proporcional al cuadrado <strong>de</strong> la distancia<br />
que los separa y actúa en la dirección <strong>de</strong> la línea que las une ".<br />
r Gm m<br />
F = −<br />
2<br />
r<br />
1 2 ˆ<br />
r<br />
Figura 5.3 Fuerzas <strong>gravitatoria</strong>s<br />
En la expresión anterior hay que tener en cuenta lo siguiente:<br />
a) G = 6.67·10 −11 Nm 2 /Kg 2 y recibe el nombre <strong>de</strong> constante <strong>de</strong> gravitación universal ya<br />
que no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l medio, ni <strong>de</strong> las posiciones, velocida<strong>de</strong>s, aceleraciones, etc.<br />
r r<br />
b) La dirección <strong>de</strong> y F es la misma pero su sentido es contrario, como indica el signo<br />
negativo. El significado es que las fuerzas son siempre atractivas.<br />
c) La vali<strong>de</strong>z <strong>de</strong> la expresión es absoluta; <strong>de</strong>s<strong>de</strong> núcleos atómicos hasta galaxias, <strong>de</strong> ahí<br />
el calificativo <strong>de</strong> universal.<br />
d) Por el principio <strong>de</strong> acción y reacción las dos masas experimentan la misma fuerza en<br />
módulo y dirección pero en sentido contrario.<br />
<strong>Tema</strong> 5-3
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
Características <strong>de</strong> la interacción <strong>gravitatoria</strong>:<br />
1. Siempre es atractiva.<br />
2. Es <strong>de</strong> carácter central, las fuerzas están en la dirección <strong>de</strong> los centros <strong>de</strong> las masas.<br />
3. La fuerza <strong>gravitatoria</strong> es conservativa y, por lo tanto, se pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>finir una energía<br />
potencial y un potencial.<br />
4. La intensidad <strong>de</strong> la fuerza es directamente proporcional al producto <strong>de</strong> las masas;<br />
cuanto mayores sean las masas, mayor será la fuerza que las atrae.<br />
5. La intensidad <strong>de</strong> la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado <strong>de</strong> la<br />
distancia, es <strong>de</strong>cir, al doble <strong>de</strong> distancia la fuerza disminuye la cuarta parte.<br />
6. Largo alcance; la fuerza <strong>gravitatoria</strong> se ejerce a cualquier distancia si bien su<br />
intensidad disminuye <strong>de</strong> la forma 1/r 2 .<br />
7. Pequeña intensidad <strong>de</strong>bido al pequeño valor <strong>de</strong> G. Para que las fuerzas <strong>gravitatoria</strong>s<br />
sean apreciables es necesaria una gran cantidad <strong>de</strong> masa.<br />
5.3. Campo gravitatorio.<br />
5.3.1 Campo gravitatorio <strong>de</strong> una masa puntual; líneas <strong>de</strong> campo<br />
Cualquier masa, con cualquier forma, siempre atrae a otras masas. El caso más<br />
sencillo es el <strong>de</strong> una masa puntual; toda la masa se supone concentrada en un único punto.<br />
Es una buena aproximación para el caso <strong>de</strong> los planetas y las estrellas <strong>de</strong>bido a las largas<br />
distancias que los separan. Des<strong>de</strong> el Sol, la Tierra y los planetas se pue<strong>de</strong>n tomar como puntos<br />
<strong>de</strong> masa relativamente gran<strong>de</strong> situados a gran<strong>de</strong>s distancias.<br />
Una masa ejerce la fuerza <strong>gravitatoria</strong> a distancia,<br />
sin necesidad <strong>de</strong> que exista contacto físico; esto se explica<br />
utilizando el concepto <strong>de</strong> campo. Un campo es una manera<br />
<strong>de</strong> representar una magnitud física en el espacio. En este<br />
caso se quiere representar la influencia <strong>gravitatoria</strong> <strong>de</strong> una<br />
masa, por lo que se habla <strong>de</strong> campo gravitatorio. Dado<br />
que la interacción <strong>gravitatoria</strong> es una fuerza, el campo<br />
gravitatorio es vectorial. Una masa puntual atraerá hacia sí<br />
cualquier otra masa que se encuentre en cualquier punto <strong>de</strong>l<br />
espacio circundante, por lo tanto el campo es radial y hacia<br />
<strong>de</strong>ntro.<br />
Figura 5.4. Campo gravitatorio<br />
creado por una masa<br />
puntual<br />
La representación gráfica <strong>de</strong>l campo se realiza mediante líneas <strong>de</strong> campo que son<br />
líneas tangentes en cada punto al vector campo gravitatorio, tal como se muestra en la figura<br />
5.4.<br />
Se ha <strong>de</strong>scrito la representación <strong>de</strong>l campo en el espacio y se han <strong>de</strong>finido las líneas<br />
<strong>de</strong> campo, sin embargo, la intensidad <strong>de</strong> la interacción <strong>gravitatoria</strong> en un punto concreto<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la masa que se sitúe en ese punto, lo que no da una i<strong>de</strong>a real <strong>de</strong> la intensidad <strong>de</strong><br />
<strong>Tema</strong> 5-4
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
un campo. Por ello se <strong>de</strong>fine una nueva magnitud; el vector intensidad <strong>de</strong> campo gravitatorio<br />
creado por una masa ‘M’, como la fuerza por unidad <strong>de</strong> masa que ‘M’ es capaz <strong>de</strong> ejercer<br />
sobre cualquier otra masa ‘m’ situada en el espacio circundante.:<br />
r<br />
r F r GM<br />
g = ⇒ g = − r<br />
m<br />
ˆ<br />
2<br />
r<br />
aceleración.<br />
La unidad <strong>de</strong>l campo gravitatorio en el S.I. es el m/s 2 , que correspon<strong>de</strong> a una<br />
5.4. Energía potencial <strong>gravitatoria</strong>. Potencial gravitatorio.<br />
5.4.1. Energía potencial <strong>gravitatoria</strong>.<br />
En el tema anterior se han <strong>de</strong>finido las fuerzas conservativas como aquellas en las que<br />
el trabajo que realizan entre dos puntos no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l camino seguido. En esas situaciones<br />
se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir una energía potencial (magnitud escalar) asociada a la fuerza. Se va a calcular<br />
ahora el trabajo necesario para <strong>de</strong>splazar una masa ‘m’ <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una posición inicial indicada por<br />
el vector <strong>de</strong> posición ‘ r 1 ’ a otra posición final ‘ r 2 ’ bajo la influencia <strong>de</strong>l campo gravitatorio<br />
creado por otra masa ‘M’. Se sitúa el origen <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> referencia en ‘M’ por comodidad.<br />
M<br />
1<br />
r 1<br />
α<br />
r 2<br />
F r<br />
m<br />
d r<br />
ds<br />
r<br />
2<br />
Figura 5.5. Movimiento <strong>de</strong> una masa puntual en un campo gravitatorio<br />
El trabajo realizado por la fuerza <strong>gravitatoria</strong> es:<br />
W<br />
g<br />
=<br />
r2<br />
∫<br />
r1<br />
r r<br />
F o ds =<br />
r2<br />
∫<br />
r1<br />
F ⋅ cosα ⋅ ds =<br />
r2<br />
∫<br />
r1<br />
M⋅m<br />
G ⋅ cosα ⋅ ds = GMm<br />
2<br />
r<br />
r2<br />
∫<br />
r1<br />
1<br />
⋅ cosα ⋅ ds<br />
2<br />
r<br />
GMm<br />
r2<br />
∫<br />
r1<br />
− dr<br />
r<br />
2<br />
1<br />
= GMm<br />
r<br />
r2<br />
r1<br />
=<br />
GMm<br />
r<br />
2<br />
−<br />
GMm<br />
r<br />
1<br />
⎛<br />
= GMm ⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
r<br />
2<br />
1 ⎞<br />
−<br />
⎟<br />
r1<br />
⎠<br />
Del resultado se pue<strong>de</strong> extraer que la integral <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> constantes conocidas y <strong>de</strong><br />
las distancias ‘r 1 ‘ y ‘r 2 ‘ que separan la masa generadora <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> las posiciones inicial y<br />
final. La integral no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l camino seguido y por lo tanto se <strong>de</strong>muestra que el campo<br />
<strong>Tema</strong> 5-5
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
gravitatorio es conservativo. Se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finir una energía potencial <strong>de</strong> forma que entre dos<br />
puntos su variación será:<br />
ΔEp = −W<br />
g<br />
⎛<br />
= −GMm<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
r<br />
2<br />
1 ⎞<br />
−<br />
⎟<br />
r1<br />
⎠<br />
En un punto concreto la energía potencial vale:<br />
GMm<br />
Ep = − + cte<br />
r<br />
Si se consi<strong>de</strong>ra que en el infinito la masa ‘M’ no ejerce ninguna fuerza, tampoco habrá<br />
campo ni energía potencial, por lo que es en el infinito don<strong>de</strong> se sitúa el origen <strong>de</strong> potenciales:<br />
Ep(∞) = 0<br />
⎛ GMm ⎞<br />
Ep( ∞)<br />
= lim Ep(r) = lim ⎜−<br />
+ cte⎟<br />
= cte<br />
r→∞<br />
r→∞⎝<br />
r ⎠<br />
Por lo tanto la constante vale cero y se pue<strong>de</strong> expresar la energía potencial que tiene<br />
una masa ‘m’, como consecuencia <strong>de</strong> estar inmersa en el campo gravitatorio creado por una<br />
masa puntual ‘M’ como:<br />
Mm<br />
Ep = −G<br />
r<br />
Al ser una energía su unidad es el Julio. Es muy importante tener siempre presente que<br />
esta expresión asume que el origen <strong>de</strong> potenciales está en el infinito. Como se pue<strong>de</strong> apreciar<br />
la energía potencial sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> las masas y <strong>de</strong> la distancia que las separa.<br />
Si representamos gráficamente la energía potencial <strong>de</strong> dos masas (eje y) frente a la<br />
distancia que separa ambas masas obtenemos la curva siguiente.<br />
Energía potencial<br />
Ep<br />
r<br />
Figura 5.6. Representación <strong>de</strong> la Ep <strong>de</strong> dos masas frente a<br />
la distancia que las separa.<br />
<strong>Tema</strong> 5-6
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Esta gráfica representa que a medida que las masas están más alejadas su energía<br />
potencial va siendo mayor hasta el valor máximo, que es cero, en el infinito. Si las masas están<br />
próximas su energía potencial es menor (más negativa). Si la distancia entre las masas tien<strong>de</strong><br />
a cero la energía tien<strong>de</strong> hacia –∞, que es el valor más pequeño posible. Este caso no se pue<strong>de</strong><br />
dar nunca porque si la distancia que las separa es cero significaría que las dos masas están al<br />
mismo tiempo en el mismo punto.<br />
5.4.2. Potencial gravitatorio; superficies equipotenciales<br />
Se <strong>de</strong>fine el potencial <strong>de</strong> campo gravitatorio como la energía por unidad <strong>de</strong> masa<br />
que tendría cualquier cuerpo afectado por el campo gravitatorio creado por una masa M.<br />
Ep<br />
U =<br />
m<br />
M<br />
U = −G<br />
r<br />
Es una magnitud escalar y su unidad es el J/Kg. De la expresión anterior se pue<strong>de</strong><br />
observar que el potencial sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> la masa que crea el campo y <strong>de</strong> la<br />
distancia que se consi<strong>de</strong>re.<br />
Se <strong>de</strong>nominan superficies equipotenciales a los lugares <strong>de</strong>l espacio que tienen el<br />
mismo potencial. En el caso <strong>de</strong> una masa puntual las superficies <strong>de</strong> equipotenciales son<br />
esferas concéntricas centradas en la masa generadora <strong>de</strong>l campo. Si una masa se mueve por<br />
una superficie equipotencial no cambia su energía. Las superficies equipotenciales se<br />
relacionan con las líneas <strong>de</strong> campo <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
1. las superficies equipotenciales son en siempre perpendiculares a las líneas <strong>de</strong> campo;<br />
2. el sentido <strong>de</strong> las líneas <strong>de</strong> campo es siempre hacia potenciales <strong>de</strong>crecientes.<br />
Figura 5.7. Relación entre el campo y el potencial<br />
<strong>Tema</strong> 5-7
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
expresión:<br />
En general el potencial se pue<strong>de</strong> relacionar con el módulo <strong>de</strong>l campo mediante la<br />
dU<br />
g =<br />
dr<br />
que en todo caso se consi<strong>de</strong>rará <strong>de</strong> modo unidimensional, <strong>de</strong>rivando directamente respecto ‘r’.<br />
Esta expresión indica que el campo gravitatorio se pue<strong>de</strong> calcular como la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>l<br />
potencial respecto <strong>de</strong> la distancia. En una región don<strong>de</strong> el potencial sea constante el campo<br />
gravitatorio será cero, mientras que en una región don<strong>de</strong> el potencial cambie muy <strong>de</strong>prisa el<br />
campo será muy intenso.<br />
5.4.3. Trabajo realizado por la gravedad y trabajo realizado por fuerzas no conservativas.<br />
La relación entre el trabajo realizado y las variaciones <strong>de</strong> la energía potencial pue<strong>de</strong><br />
resultar confusa si no se tiene muy claro el trabajo <strong>de</strong> qué fuerza se va a calcular.<br />
Por un lado está el trabajo realizado por la fuerza <strong>gravitatoria</strong> (W g ) que, al ser una<br />
fuerza conservativa, tiene un valor, por <strong>de</strong>finición, igual a la variación <strong>de</strong> energía potencial<br />
cambiada <strong>de</strong> signo.<br />
W g = – ΔEp<br />
Si el trabajo que se va a calcular es cualquier otro (grúas, motores, personas, ...) se<br />
supone que el objeto se moverá a velocidad constante mientras no se indique lo contrario, en<br />
ese caso:<br />
W FNC = ΔEm<br />
W FNC = ΔEc + ΔEp<br />
W FNC = ΔEp<br />
Por lo tanto, si un objeto cambia <strong>de</strong> altura y se quiere calcular el trabajo realizado sobre<br />
dicho objeto es fundamental tener claro que:<br />
a) el trabajo realizado por la gravedad es: W g = – ΔEp<br />
b) el trabajo realizado por cualquier otra fuerza es: W = ΔEp<br />
5.5. Distribución <strong>de</strong> masas puntuales. Principio <strong>de</strong> superposición.<br />
En el caso que existan ‘n’ masas puntuales se aplica el principio <strong>de</strong> superposición,<br />
<strong>de</strong> uso muy frecuente en física;<br />
“El efecto <strong>de</strong> varias interacciones simultáneas es igual a la suma <strong>de</strong> los efectos<br />
cada interacción por separado.”<br />
<strong>Tema</strong> 5-8
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Aplicado al campo gravitatorio, la fuerza ejercida por varias masas puntuales se pue<strong>de</strong><br />
calcular sumando la fuerza que ejerce cada masa por separado, y este principio se extien<strong>de</strong><br />
también al campo, energía potencial y potencial gravitatorios. De este modo se obtienen las<br />
siguientes expresiones para n masas puntuales:<br />
r<br />
F =<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
Mim<br />
− G rˆ<br />
2 i<br />
r<br />
i<br />
r<br />
g =<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
Mi<br />
− G rˆ<br />
2 i<br />
r<br />
i<br />
n<br />
i<br />
E P = ∑ − G<br />
U = ∑<br />
i=<br />
1<br />
M m<br />
r<br />
i<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
Mi<br />
− G<br />
r<br />
i<br />
En las expresiones anteriores ‘M i ‘ representa cada una <strong>de</strong> las masas que se sitúan en<br />
el espacio, ‘ r i ’ son los vectores que van <strong>de</strong>s<strong>de</strong> cada ‘M i ‘ hasta el punto en el que se van a<br />
calcular cualquiera <strong>de</strong> las cuatro magnitu<strong>de</strong>s, y ‘m’ es la masa que se sitúa en ese punto. La<br />
figura muestra un ejemplo en el que se van a calcular cualquiera <strong>de</strong> las cuatro magnitu<strong>de</strong>s<br />
anteriores en el punto P.<br />
Figura 5.8. Principio <strong>de</strong> superposición para tres masas.<br />
5.6. Aplicaciones al estudio <strong>de</strong> la gravedad planetaria. Satélites.<br />
Todo lo que se ha visto hasta ahora es completamente aplicable al caso <strong>de</strong> objetos en<br />
las proximida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> un planeta. Los planetas se pue<strong>de</strong>n aproximar a masas puntuales a<br />
efectos <strong>de</strong> utilizar las expresiones anteriores. Se va a trabajar con el caso <strong>de</strong> la Tierra, pero los<br />
resultados son completamente generalizables a cualesquiera otros cuerpos celestes. Los datos<br />
propios <strong>de</strong> la Tierra son:<br />
M T = 5.98·10 24 kg<br />
R T = 6.37·10 6 m<br />
<strong>Tema</strong> 5-9
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
5.6.1. Campo gravitatorio terrestre. Variación <strong>de</strong> g con la altura.<br />
Normalmente se supone que el valor <strong>de</strong> la gravedad terrestre es constante (g=9.8m/s 2 ),<br />
<strong>de</strong> dirección vertical y sentido hacia abajo. Esta aproximación es correcta siempre que se esté<br />
en la superficie terrestre y se suponga a esta plana. A medida que nos alejamos <strong>de</strong> la<br />
superficie terrestre ocurren dos efectos:<br />
a) La superficie <strong>de</strong>ja <strong>de</strong> ser plana, por lo tanto las líneas <strong>de</strong> campo gravitatorio <strong>de</strong>jan<br />
<strong>de</strong> ser paralelas (figura 5.9).<br />
b) Al alejarnos <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> la Tierra el valor <strong>de</strong> g disminuye.<br />
Figura 2.9. Variación <strong>de</strong> la dirección <strong>de</strong> g con la altura<br />
Como ya se ha visto el valor <strong>de</strong>l campo gravitatorio es:<br />
r M<br />
g = −G<br />
r ˆ<br />
2<br />
r<br />
don<strong>de</strong> ‘r’ representa la distancia entre el centro <strong>de</strong> la Tierra y el objeto. En los experimentos<br />
realizados en la superficie terrestre ‘r’ pue<strong>de</strong> variar en varios kilómetros como mucho que<br />
comparados al radio terrestre 6,370Km no suponen una variación importante en la distancia<br />
que separa los centros. Sin embargo, al elevarnos cientos o miles <strong>de</strong> Km las variaciones si<br />
pue<strong>de</strong>n ser significativas. La siguiente gráfica muestra cómo varía ‘g’ con la altura<br />
g<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 5000 10000 15000 20000<br />
altura en Km<br />
Figura 5.10. Variación <strong>de</strong> g con la distancia a la superficie terrestre.<br />
<strong>Tema</strong> 5-10
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
La fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo, el peso, se calcula mediante la<br />
expresión:<br />
r r<br />
P = mg<br />
pero en el caso <strong>de</strong> no estar en las proximida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la superficie terrestre se <strong>de</strong>be calcular el<br />
valor <strong>de</strong> ‘g’ mediante su expresión general. La dirección siempre es la línea que une los centros<br />
<strong>de</strong> las masas y el sentido hacia el centro <strong>de</strong> la Tierra. De la expresión general se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir<br />
que, a medida que las posiciones estén más alejadas <strong>de</strong> la superficie terrestre, el valor <strong>de</strong> ‘g’<br />
disminuye hasta anularse en infinito. En este tipo <strong>de</strong> cálculos es muy importante tener en<br />
cuenta que las distancias que se emplean en las expresiones <strong>de</strong>ben ser las distancias que<br />
separan los centros <strong>de</strong> los objetos, y en ningún caso <strong>de</strong>ben confundirse con la altura, que es la<br />
distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la superficie terrestre.<br />
5.6.2 Energía potencial <strong>gravitatoria</strong> terrestre<br />
La energía potencial en la superficie terrestre se pue<strong>de</strong> calcular mediante la siguiente<br />
expresión, en la que se ha consi<strong>de</strong>rado constante el valor <strong>de</strong> g:<br />
E p = mgh<br />
don<strong>de</strong> h es la altura <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> referencia que generalmente se toma el punto más bajo<br />
<strong>de</strong> las posiciones que adquiere la masa m. Si se consi<strong>de</strong>ra que g no es constante la energía<br />
potencial se calcula mediante la expresión más general:<br />
GMm<br />
E p = −<br />
R<br />
en la que el origen se encuentra en el infinito. En ambos casos la energía no está bien <strong>de</strong>finida<br />
en un punto y lo que en realidad tiene sentido son las variaciones <strong>de</strong> energía potencial.<br />
Ambas expresiones son válidas pero hay que usar cada una en su contexto. Se pue<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>mostrar que a partir <strong>de</strong> la expresión general se pue<strong>de</strong> obtener la expresión válida sólo para<br />
la superficie terrestre.<br />
5.6.3. Satélites; velocidad, periodo y energía orbitales y velocidad <strong>de</strong> escape<br />
Un satélite es un objeto que se mueve alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> otro objeto mucho más masivo,<br />
sometido a la fuerza <strong>gravitatoria</strong> <strong>de</strong> éste, siguiendo una trayectoria que recibe el nombre <strong>de</strong><br />
órbita. Los satélites pue<strong>de</strong>n ser naturales como la Luna o artificiales. En este segundo caso el<br />
artificio humano se sitúa a una altura <strong>de</strong>terminada y se le imprime una velocidad tal que el<br />
satélite no se precipita sobre la Tierra, sino que da vueltas en torno a ella permaneciendo así<br />
mientras se mantengan sus condiciones <strong>de</strong> movimiento. En lo que sigue se va a suponer que<br />
las órbitas son trayectorias circulares.<br />
<strong>Tema</strong> 5-11
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
Es conveniente volver a diferenciar dos magnitu<strong>de</strong>s relativas a la posición <strong>de</strong>l satélite:<br />
• la altura a que se encuentra el satélite, h, se mi<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la superficie terrestre;<br />
• la posición <strong>de</strong>l satélite, R, se mi<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> la tierra, y es igual al<br />
radio <strong>de</strong> la órbita;<br />
La relación entre ambas es: R = h + R T tal y como se muestra en la figura 5.11.<br />
Figura 5.11. Relación entre h, R y R T .<br />
5.6.3.1. Velocidad orbital<br />
Todo satélite tiene una velocidad orbital que está <strong>de</strong>terminada por el radio <strong>de</strong> la órbita<br />
que <strong>de</strong>scribe. Un cambio en la velocidad afectará al radio <strong>de</strong> la órbita <strong>de</strong> manera que el satélite<br />
se acercará o alejará <strong>de</strong> la Tierra. Para calcular la velocidad orbital se parte <strong>de</strong> la fuerza que<br />
experimenta un satélite <strong>de</strong> masa m s a una distancia R <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> la Tierra:<br />
r M<br />
F = −G<br />
m<br />
T s<br />
R 2<br />
rˆ<br />
la fuerza centrípeta que produce el movimiento circular es:<br />
F r r<br />
= m a<br />
c<br />
S<br />
c<br />
teniendo en cuenta que estas dos fuerzas son la misma e igualando los módulos:<br />
MTm<br />
G<br />
2<br />
R<br />
s<br />
= m<br />
s<br />
v<br />
2<br />
o<br />
R<br />
<strong>de</strong>spejando se obtiene el valor <strong>de</strong> la velocidad orbital:<br />
v<br />
o =<br />
GM<br />
R<br />
T<br />
De la expresión se <strong>de</strong>duce que la velocidad orbital <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> solamente <strong>de</strong>l radio <strong>de</strong> la<br />
órbita y no <strong>de</strong> la masa <strong>de</strong>l satélite. La masa <strong>de</strong>l satélite tiene influencia durante el proceso <strong>de</strong><br />
elevar el satélite, pero una vez en órbita ésta no interviene.<br />
<strong>Tema</strong> 5-12
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
5.6.3.2. Periodo orbital<br />
Otro dato que resulta interesante es el periodo orbital, que es el tiempo que tarda el<br />
satélite en completar una vuelta. Partiendo <strong>de</strong> la velocidad orbital y <strong>de</strong> las relaciones entre<br />
velocidad lineal, velocidad angular y periodo:<br />
v<br />
o<br />
= ω ⋅R<br />
2π<br />
v o = R<br />
T<br />
2π<br />
T = R<br />
v<br />
o<br />
T = 2π<br />
3<br />
R<br />
GM<br />
T<br />
El periodo orbital <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> únicamente <strong>de</strong> la masa <strong>de</strong>l planeta y <strong>de</strong>l radio <strong>de</strong> la órbita<br />
pero no <strong>de</strong> la masa <strong>de</strong>l satélite.<br />
5.6.3.3. Energía orbital<br />
La energía que un satélite en órbita posee es la suma <strong>de</strong> las energías cinética y<br />
potencial.<br />
E<br />
m<br />
= Ec<br />
+ Ep<br />
1 2 GMTmS<br />
= mSv<br />
o −<br />
2<br />
R<br />
1 GMT<br />
GMTm<br />
= mS<br />
−<br />
2 R R<br />
E<br />
m<br />
= −<br />
GMTm<br />
2R<br />
S<br />
S<br />
La energía necesaria para que un satélite cambie <strong>de</strong> órbita se pue<strong>de</strong> calcular<br />
fácilmente como la diferencia entre la energía final y la inicial. Un resultado positivo indica que<br />
hay que aportar energía para que se produzca el cambio <strong>de</strong> órbita mientras que uno negativo<br />
significa que el satélite <strong>de</strong>be per<strong>de</strong>r energía.<br />
Un problema diferente es el cálculo <strong>de</strong> la energía necesaria para poner en órbita al<br />
satélite. En este caso la energía inicial es la que posee en la superficie <strong>de</strong> la Tierra que,<br />
mientras no se indique lo contrario, se va a suponer que es sólo potencial. La energía final es la<br />
energía orbital, que incluye la energía potencial y la cinética.<br />
<strong>Tema</strong> 5-13
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
5.6.3.4. Velocidad <strong>de</strong> escape<br />
Se <strong>de</strong>fine la velocidad <strong>de</strong> escape <strong>de</strong> un planeta como la velocidad inicial que habría<br />
que comunicar a un objeto en su superficie para que dicho objeto abandone el campo<br />
gravitatorio <strong>de</strong> dicho planeta y no vuelva a él. Es un caso teórico que sólo tiene sentido<br />
suponiendo que el planeta o sistema está sólo en el Universo. Realmente, si se lanza un objeto<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> un planeta y el objeto cae en el campo gravitatorio <strong>de</strong> otro astro ya no volverá.<br />
Para calcular la velocidad <strong>de</strong> escape se aplica el teorema <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> la<br />
energía mecánica. Se consi<strong>de</strong>ran dos puntos:<br />
• el inicial, que es la superficie terrestre. Aquí la energía <strong>de</strong>l cuerpo es la<br />
energía cinética que se le comunica más la energía potencial <strong>gravitatoria</strong><br />
que tiene:<br />
E<br />
m0<br />
= EC<br />
+ E<br />
1<br />
= mSv<br />
2<br />
P<br />
2<br />
esc<br />
=<br />
M<br />
− G<br />
R<br />
T<br />
T<br />
m<br />
S<br />
• el final, que es el infinito. El cuerpo tiene que llegar como mínimo hasta<br />
el infinito y <strong>de</strong>tenerse allí porque, si se <strong>de</strong>tuviese antes, sentiría la<br />
atracción <strong>gravitatoria</strong> y acabaría volviendo a la Tierra, por lo tanto en el<br />
punto final E C∞ =0. A<strong>de</strong>más, E P∞ =0 ya que no actúa la interacción<br />
<strong>gravitatoria</strong>. Por lo tanto:<br />
E m∞ = 0<br />
La energía mecánica se conserva puesto que solo actúa la fuerza <strong>gravitatoria</strong>,<br />
que es conservativa, y no se tiene en cuenta el rozamiento:<br />
E m0 = E m∞<br />
1 2 MT<br />
mS v esc − G mS<br />
= 0<br />
2<br />
R<br />
T<br />
<strong>de</strong>spejando la velocidad <strong>de</strong> escape se obtiene:<br />
v =<br />
esc<br />
2GM<br />
R<br />
T<br />
T<br />
Como se pue<strong>de</strong> comprobar la velocidad <strong>de</strong> escape solamente <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> las<br />
características <strong>de</strong>l planeta y no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la masa <strong>de</strong>l satélite. Para el caso particular<br />
<strong>de</strong> la Tierra dicha velocidad vale 11.2 km/s.<br />
<strong>Tema</strong> 5-14
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Datos <strong>de</strong>l Sistema Solar<br />
Nombre<br />
Distancia al Sol<br />
(10 6 km)<br />
Radio<br />
(km)<br />
Masa<br />
(kg)<br />
V. Escape<br />
(km/s)<br />
Sol 0 695000 1.989e+30 618.02<br />
Mercurio 0.57910 2439.7 3.303e+23 4.2507<br />
Venus 108.200 6051.8 4.869e+24 10.362<br />
Tierra 149.600 6378.14 5.976e+24 11.182<br />
Luna 0.3844* 1737.4 7.349e+22 2.3760<br />
Marte 227.940 3397.2 6.421e+23 5.0225<br />
Júpiter 778.330 71492 1.9e+27 59.556<br />
Saturno 1429.400 60268 5.688e+26 35.490<br />
Urano 2870.990 25559 8.686e+25 21.297<br />
Neptuno 4504.300 24746 1.024e+26 23.500<br />
Plutón 5913.520 1160 1.29e+22 1.2183<br />
* A la Tierra<br />
<strong>Tema</strong> 5-15
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
Relación <strong>de</strong> ejercicios.<br />
LEYES DE KEPLER<br />
1. Enuncie las leyes <strong>de</strong> Kepler. Razone, a partir <strong>de</strong> la segunda ley <strong>de</strong> Kepler, cómo cambia la<br />
velocidad <strong>de</strong> un planeta a lo largo <strong>de</strong> su órbita al variar la distancia al Sol.<br />
2. Completa la siguiente tabla<br />
Planeta Distancia media al Sol (km) Periodo <strong>de</strong> traslación (años terrestres)<br />
Mercurio 5.79e7<br />
Marte 22.80e7<br />
Saturno 143.00e7<br />
Plutón 591.00e7<br />
3. El cometa Halley completa una órbita cada 76 años. Sabiendo que su órbita es una elipse<br />
muy alargada haz una estimación <strong>de</strong> su alejamiento máximo al Sol. Expresar en resultado en<br />
millones <strong>de</strong> Km y en años luz.<br />
Sol: D = 5382MKm = 5.7 · 10 –4 años-luz<br />
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL<br />
4. Enuncie la ley <strong>de</strong> gravitación universal y comente el significado físico <strong>de</strong> las magnitu<strong>de</strong>s<br />
que intervienen en ella.<br />
5. Según la ley <strong>de</strong> gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es<br />
proporcional a la masa <strong>de</strong> éste. ¿Por qué no caen más <strong>de</strong>prisa los cuerpos con mayor<br />
masa?<br />
6.<br />
a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo <strong>de</strong> 1000kg, situado en<br />
el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor <strong>de</strong> la fuerza resultante. La<br />
distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> la Tierra hasta el <strong>de</strong> la Luna es 3,84 · 10 8 m.<br />
b) ¿A qué distancia <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y la Luna,<br />
en el que el campo gravitatorio es nulo?<br />
G = 6,67 · 10 –11 Nm 2 kg –2 ; M T = 5,98 · 10 24 kg; M L = 7,35 · 10 22 kg<br />
Sol: F=10.54N, D=3.45e8m.<br />
CAMPO GRAVITATORIO<br />
7. Suponga que la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa.<br />
a) ¿Aumentaría la intensidad <strong>de</strong>l campo gravitatorio en su nueva superficie?<br />
b) ¿Se modificaría sustancialmente su órbita alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l Sol?<br />
8. Suponga que un cuerpo se <strong>de</strong>ja caer <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la misma altura sobre la superficie <strong>de</strong> la Tierra<br />
y <strong>de</strong> la Luna.<br />
a) Explique por qué los tiempos <strong>de</strong> caída serían distintos y calcule su relación.<br />
b) Calcule la altura que alcanzará un cuerpo que es lanzado verticalmente en la superficie<br />
lunar con una velocidad <strong>de</strong> 40 m s - 1 .<br />
M T = 81 M L ; R T = (11/3) R L ; g = 10 ms -2<br />
Sol: a) t Luna /t Tierra = 27/11; b) h = 491.82m<br />
9. Razone la veracidad o falsedad <strong>de</strong> las siguientes afirmaciones:<br />
a) El peso <strong>de</strong> un cuerpo en la superficie <strong>de</strong> un planeta cuya masa fuera la mitad que la <strong>de</strong><br />
la Tierra sería la mitad <strong>de</strong> su peso en la superficie <strong>de</strong> la Tierra.<br />
b) El estado <strong>de</strong> “ingravi<strong>de</strong>z” <strong>de</strong> los astronautas en el interior <strong>de</strong> las naves espaciales<br />
orbitando alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la Tierra se <strong>de</strong>be a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos<br />
es nula.<br />
10. Un bloque <strong>de</strong> 0,2kg está apoyado sobre el extremo superior <strong>de</strong> un resorte vertical, <strong>de</strong><br />
constante 500Nm -1 , comprimido 20cm. Al liberar el resorte, el bloque sale lanzado hacia<br />
arriba.<br />
<strong>Tema</strong> 5-16
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
a) Explique las transformaciones energéticas a lo largo <strong>de</strong> la trayectoria <strong>de</strong>l bloque y<br />
calcule la altura máxima que alcanza.<br />
b) ¿Qué altura alcanzaría el bloque si la experiencia se realizara en la superficie <strong>de</strong> la<br />
Luna?<br />
g T = 10 ms -2 ; M T = 102M L ; R T = 4R L<br />
Sol: a) h Tierra = 5.10m; b) h Luna = 32.53m<br />
11.<br />
a) Determine la <strong>de</strong>nsidad media <strong>de</strong> la Tierra.<br />
b) ¿A qué altura sobre la superficie <strong>de</strong> la Tierra la intensidad <strong>de</strong>l campo gravitatorio<br />
terrestre se reduce a la tercera parte?<br />
G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg -2 ; R T<br />
= 6370km; g = 10ms -2<br />
Sol: a) d = 5620Kg/m 3 ; b) h = (3 1/2 – 1)R Tierra = 4660Km<br />
12. En una región en la que existe un campo gravitatorio <strong>de</strong><br />
intensidad g como el representado por la figura por sus<br />
líneas <strong>de</strong> campo. a) Razonar el valor <strong>de</strong>l trabajo que se<br />
realiza al trasladar la unidad <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto A<br />
al B y <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el B al C. b) Analizar las analogías y<br />
diferencias entre este campo y el campo gravitatorio<br />
terrestre.<br />
d<br />
A<br />
B<br />
d<br />
g r<br />
C<br />
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. POTENCIAL GRAVITATORIO<br />
13. Describe cómo evolucionan la energía potencial y la fuerza <strong>gravitatoria</strong> <strong>de</strong> un planeta en órbita<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> una estrella.<br />
14. El origen elegido habitualmente para la energía potencial <strong>gravitatoria</strong> lleva a que ésta tome<br />
valores negativos. ¿Por qué la energía potencial <strong>gravitatoria</strong> terrestre, en las proximida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh?<br />
15. Discuta la siguiente afirmación: “Puesto que el valor <strong>de</strong> g disminuye al aumentar la<br />
distancia al centro <strong>de</strong> la Tierra, la energía potencial mgh disminuye con la altura sobre el<br />
suelo”.<br />
16. La masa <strong>de</strong> la Luna es 0,01 veces la <strong>de</strong> la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre.<br />
Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es <strong>de</strong> 800N, cae <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una altura <strong>de</strong> 50 m sobre la<br />
superficie lunar.<br />
a) Realice el balance <strong>de</strong> energía en el movimiento <strong>de</strong> caída y calcule la velocidad con que<br />
el cuerpo llega a la superficie.<br />
b) Determine la masa <strong>de</strong>l cuerpo y su peso en la Luna.<br />
Sol: a) v = 12.52m/s b) m = 81.63Kg, P Luna = 128N<br />
17. Una partícula <strong>de</strong> masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto<br />
B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M.<br />
a) Si el valor <strong>de</strong>l potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si<br />
la partícula se acerca o se aleja <strong>de</strong> M.<br />
b) Explique las transformaciones energéticas <strong>de</strong> la partícula durante el <strong>de</strong>splazamiento<br />
indicado y escriba su expresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera <strong>de</strong> A<br />
a B siguiendo una trayectoria no rectilínea?<br />
18. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea <strong>de</strong> fuerza <strong>de</strong>l campo, siendo B el punto<br />
más cercano a M.<br />
a) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía<br />
potencial? ¿Por qué?<br />
b) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma<br />
distancia <strong>de</strong> M que A, pero en otra línea <strong>de</strong> fuerza, ¿aumenta o disminuye la energía<br />
potencial? Razone su respuesta.<br />
<strong>Tema</strong> 5-17
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
19. La energía potencial <strong>gravitatoria</strong> <strong>de</strong> un cuerpo <strong>de</strong> masa m, situado a una altura h sobre la<br />
superficie terrestre, pue<strong>de</strong> expresarse en las dos formas siguientes:<br />
GMTm<br />
mgh ó -<br />
R T + h<br />
Explique el significado <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> esas expresiones y por qué correspon<strong>de</strong>n a<br />
diferentes valores (y signo).<br />
20. A medida que aumenta la distancia <strong>de</strong> un cuerpo a la superficie <strong>de</strong> la Tierra disminuye la<br />
fuerza con que es atraído por ella. ¿Significa eso que también disminuye su energía<br />
potencial? Razone las respuestas.<br />
21.<br />
a) ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Por qué?<br />
b) ¿Qué mi<strong>de</strong> la variación <strong>de</strong> energía potencial <strong>de</strong>l cuerpo <strong>de</strong> masa m al <strong>de</strong>splazarse<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> una posición A hasta otra B? Razone la respuesta.<br />
22. Venus es el segundo planeta <strong>de</strong>l sistema solar. Su distancia al Sol varía <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el 0.728 veces<br />
la distancia media <strong>de</strong> la Tierra al Sol (150MKm) en el afelio hasta 0.718 veces esa misma<br />
distancia en el perihelio. Teniendo en cuenta que la velocidad en el afelio es <strong>de</strong> 3.48e4m/s<br />
calcula su velocidad en el perihelio. M Sol = 1.99e30Kg<br />
Sol: a) v perihelio = 5821.76 m/s<br />
23. Demostrar que la expresión <strong>de</strong> la energía potencial <strong>gravitatoria</strong> cerca <strong>de</strong> la superficie terrestre<br />
Ep=mgΔh es una buena aproximación <strong>de</strong> la expresión general Ep = –GM T m/R. ¿Bajo que<br />
condiciones es válida dicha expresión?<br />
24. Al <strong>de</strong>splazarse un cuerpo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una posición A hasta otra B, su energía potencial<br />
disminuye. ¿Pue<strong>de</strong> asegurarse que su energía cinética en B es mayor que en A? Razone<br />
la respuesta.<br />
25.<br />
a) Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna <strong>de</strong> una persona <strong>de</strong> 70 kg.<br />
b) Calcule la altura que recorre en 3s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial,<br />
en un punto próximo a la superficie <strong>de</strong> la Luna y explique las variaciones <strong>de</strong> energía<br />
cinética, potencial y mecánica en ese <strong>de</strong>splazamiento.<br />
G = 6,67 · 10 –11 Nm 2 kg –2 ; M L = 7,2 · 10 22 kg; R L = 1,7·10 6 m<br />
Sol: a) m = 70Kg, P = 116.32N; b) Δh = 7.48m<br />
DISTRIBUCIONES DE MASAS<br />
26. En dos vértices opuestos <strong>de</strong> un cuadrado, <strong>de</strong> 6 cm <strong>de</strong> lado, se colocan las masas m 1 =100g<br />
y m 2 = 300g.<br />
a) Dibuje en un esquema el campo gravitatorio producido por cada masa en el centro <strong>de</strong>l<br />
cuadrado y calcule la fuerza que actúa sobre una masa m=10g situada en dicho punto.<br />
b) Calcule el trabajo realizado al <strong>de</strong>splazar la masa <strong>de</strong> 10g <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong>l cuadrado<br />
hasta uno <strong>de</strong> los vértices no ocupados por las otras dos masas.<br />
G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg -2<br />
r<br />
-11<br />
−11<br />
2<br />
Sol: a) F = ( 5.24 ⋅10<br />
,5.24 ⋅10<br />
) m/s ; b) W = 1.84 · 10 -12 J<br />
27. Se tienen cuatro masas idénticas <strong>de</strong> valor m situadas en los vértices <strong>de</strong> un cuadrado <strong>de</strong> lado l<br />
y otra masa m’ en el centro <strong>de</strong>l cuadrado. Calcula la fuerza <strong>gravitatoria</strong> que experimenta m’.<br />
28. Dos masas, <strong>de</strong> 5 y 10 kg, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m, respectivamente.<br />
a) Calcule el campo gravitatorio en el punto (4, 3) m y represéntelo gráficamente<br />
b) Determine el trabajo necesario para trasladar una masa <strong>de</strong> 2 kg <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto (4, 3)<br />
hasta el punto (0, 0) m. Explique si el valor <strong>de</strong>l trabajo obtenido <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l camino<br />
seguido.<br />
G = 6,67 · 10 −11 Nm 2 kg −2<br />
r<br />
-11<br />
−11 2<br />
Sol: a) g = (-2.08 ⋅10<br />
,-7.41⋅10<br />
) m/s , W = 5.56 ·10 –11 J.<br />
<strong>Tema</strong> 5-18
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
29. Se tiene la siguiente distribución <strong>de</strong> masas:<br />
m i (kg) 1000 3000 5000 8000<br />
r (m) (0,0) (5,0) (4,3) (0,8)<br />
a) Calcular el vector intensidad <strong>de</strong> campo gravitatorio y el potencial en el punto P=(2,2).<br />
b) Calcular la fuerza que experimenta y la energía potencial <strong>de</strong> una masa <strong>de</strong> 500kg en P.<br />
r<br />
r<br />
-8<br />
−8<br />
2<br />
Sol: a) g = (6.24 ⋅10<br />
,2.81⋅10<br />
) m/s , U = –3.13·10 –7 -5 −5<br />
J/Kg, b) F = (3.12 ⋅10<br />
,1.40 ⋅10<br />
) N ,<br />
Ep = –1.56·10 -4 J<br />
VARIACIÓN DE g CON LA ALTURA<br />
30.<br />
a) Explique cualitativamente la variación <strong>de</strong>l campo gravitatorio terrestre con la altura y<br />
haga una representación gráfica aproximada <strong>de</strong> dicha variación.<br />
b) Calcule la velocidad mínima con la que habrá que lanzar un cuerpo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la superficie<br />
<strong>de</strong> la Tierra para que ascienda hasta una altura <strong>de</strong> 4000 km.<br />
R T = 6370km; g = 10ms - 2<br />
Sol: b) v 0 = 7.01Km/s<br />
31. ¿A qué altura <strong>de</strong>be subir un cohete para pesar la mitad?<br />
Sol: a) h = 2638 Km<br />
32. Explicando las leyes físicas que utiliza, calcule:<br />
a) A qué altura sobre la superficie <strong>de</strong> la Tierra la intensidad <strong>de</strong>l campo gravitatorio<br />
terrestre es <strong>de</strong> 2ms –2 .<br />
b) Con qué velocidad <strong>de</strong>be lanzarse verticalmente un cuerpo para que se eleve hasta una<br />
altura <strong>de</strong> 500 km sobre la superficie <strong>de</strong> la Tierra.<br />
G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg -2 ; R T = 6370km; g = 10ms –2<br />
Sol: a) h = 7873Km; b) v 0 = 3045m/s<br />
SATÉLITES<br />
33. Haz un esquema <strong>de</strong> un satélite en órbita y dibuja las fuerzas que sobre él actúan.<br />
34. Se <strong>de</strong>sea que un satélite se encuentre en una órbita geoestacionaria (o geosincrónica), es<br />
<strong>de</strong>cir, que su posición respecto <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> la superficie terrestre no varíe. ¿Con qué<br />
período <strong>de</strong> revolución y a qué altura <strong>de</strong>be hacerlo? (M T =5.9e24Kg)<br />
Sol: T = 86400s = 24h, h = 35691Km<br />
35. Un satélite artificial <strong>de</strong> 500 kg gira alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la Luna en una órbita circular situada a 120<br />
km sobre la superficie lunar y tarda 2 horas en dar una vuelta completa.<br />
a) Con los datos <strong>de</strong>l problema, ¿se podría calcular la masa <strong>de</strong> la Luna? Explique cómo lo<br />
haría.<br />
b) Determine la energía potencial <strong>de</strong>l satélite cuando se encuentra en la órbita citada.<br />
G = 6,67 · 10 –11 Nm 2 kg –2 ; R L = 1740 km<br />
Sol: b) Ep = – 1.32e9J.<br />
36. Un satélite artificial <strong>de</strong>scribe una órbita circular alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la Tierra.<br />
a) Explique qué se entien<strong>de</strong> por velocidad orbital y <strong>de</strong>duzca razonadamente su expresión.<br />
b) Conociendo el radio <strong>de</strong> la órbita y su período, ¿po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>terminar las masas <strong>de</strong> la<br />
Tierra y <strong>de</strong>l satélite? Razone la respuesta.<br />
37. Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, razone cómo<br />
se modificarían:<br />
a) La intensidad <strong>de</strong>l campo gravitatorio en su superficie.<br />
b) Su órbita alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l Sol.<br />
38. Demuestre, razonadamente, las siguientes afirmaciones:<br />
a) A una órbita <strong>de</strong> radio R <strong>de</strong> un satélite le correspon<strong>de</strong> una velocidad orbital v<br />
característica;<br />
b) La masa M <strong>de</strong> un planeta pue<strong>de</strong> calcularse a partir <strong>de</strong>l periodo T y <strong>de</strong>l radio orbital R <strong>de</strong><br />
uno <strong>de</strong> sus satélites.<br />
<strong>Tema</strong> 5-19
<strong>Tema</strong> 5: Interacción <strong>gravitatoria</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
39. Haciendo uso <strong>de</strong> consi<strong>de</strong>raciones energéticas, <strong>de</strong>termine la velocidad mínima que habría<br />
que imprimirle a un objeto <strong>de</strong> masa m, situado en la superficie <strong>de</strong> un planeta <strong>de</strong> masa M y<br />
radio R, para que saliera <strong>de</strong> la influencia <strong>de</strong>l campo gravitatorio <strong>de</strong>l planeta.<br />
40. Dos satélites idénticos están en órbita alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la Tierra, siendo sus órbitas <strong>de</strong> distinto<br />
radio.<br />
a) ¿Cuál <strong>de</strong> los dos se moverá a mayor velocidad?<br />
b) ¿Cuál <strong>de</strong> los dos tendrá mayor energía mecánica?<br />
41. El satélite <strong>de</strong> investigación europeo (ERS-2) sobrevuela la Tierra a 800 km <strong>de</strong> altura.<br />
Suponga su trayectoria circular y su masa <strong>de</strong> 1000 kg.<br />
a) Calcule <strong>de</strong> forma razonada la velocidad orbital <strong>de</strong>l satélite.<br />
b) Si suponemos que el satélite se encuentra sometido únicamente a la fuerza <strong>de</strong><br />
gravitación <strong>de</strong>bida a la Tierra, ¿por qué no cae sobre la superficie terrestre?<br />
R T = 6370 km; g = 10 ms -2<br />
Sol: a) v o = 7523m/s<br />
42. Un satélite artificial <strong>de</strong> 400 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie<br />
terrestre. A dicha altura el valor <strong>de</strong> la gravedad es la tercera parte <strong>de</strong>l valor en la superficie<br />
<strong>de</strong> la Tierra.<br />
a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en órbita y calcule su<br />
energía mecánica.<br />
b) Determine el período <strong>de</strong> la órbita.<br />
g = 10ms –2 ; R T = 6,4 · 10 6 m<br />
Sol: a) Em = – 7.39 · 10 –9 J; b) T= 11500s= 3.18h<br />
43. La nave espacial Apolo 11 orbitó alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la Luna con un período <strong>de</strong> 119 minutos y a una<br />
distancia media <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> la Luna <strong>de</strong> 1,8 · 10 6 m. Suponiendo que su órbita fue circular y<br />
que la Luna es una esfera uniforme:<br />
a) <strong>de</strong>termine la masa <strong>de</strong> la Luna y la velocidad orbital <strong>de</strong> la nave;<br />
b) ¿cómo se vería afectada la velocidad orbital si la masa <strong>de</strong> la nave espacial se hiciese el<br />
doble? Razone la respuesta.<br />
G = 6,67 · 10 - 11 N m 2 kg - 2<br />
Sol: a) M L = 6.77e22Kg, v o = 1584m/s.<br />
44. Los transbordadores espaciales orbitan en torno a la Tierra a una altura aproximada <strong>de</strong> 300<br />
km, siendo <strong>de</strong> todos conocidas las imágenes <strong>de</strong> astronautas flotando en su interior.<br />
a) Determine la intensidad <strong>de</strong>l campo gravitatorio a 300 km <strong>de</strong> altura sobre la superficie<br />
terrestre y comente la situación <strong>de</strong> ingravi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> los astronautas.<br />
b) Calcule el período orbital <strong>de</strong>l transbordador.<br />
M T = 6 · 10 24 kg; G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg – 2 ; R T = 6,4·10 6 m<br />
Sol: a) g = 8.92m/s 2 ; b) T = 5450s = 1.51h<br />
45. Un satélite <strong>de</strong> 200kg <strong>de</strong>scribe una órbita circular, <strong>de</strong> radio R = 4·10 6 m, en torno a Marte.<br />
a) Calcule la velocidad orbital y el período <strong>de</strong> revolución <strong>de</strong>l satélite.<br />
b) Explique cómo cambiarían las energías cinética y potencial <strong>de</strong>l satélite si el radio <strong>de</strong> la<br />
órbita fuera 2R.<br />
G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg –2 ; M Marte = 6,4 · 10 23 kg<br />
Sol: a) v o = 3267m/s, T = 7693s = 2.14h.<br />
46. Razone las respuestas.<br />
a) Explique qué que es la velocidad <strong>de</strong> escape y <strong>de</strong>duzca razonadamente su expresión.<br />
b) Si consi<strong>de</strong>ramos la presencia <strong>de</strong> la atmósfera, ¿qué ocurriría si lanzásemos un cohete<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la Tierra con una velocidad igual a la velocidad <strong>de</strong> escape?<br />
47. Se quiere lanzar al espacio un objeto <strong>de</strong> 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que le<br />
imprime la velocidad necesaria. Se <strong>de</strong>sprecia la fricción con el aire.<br />
a) Explique los cambios energéticos <strong>de</strong>l objeto <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su lanzamiento hasta que alcanza<br />
una altura h y calcule su energía mecánica a una altura máxima <strong>de</strong> 100Km.<br />
b) ¿Qué velocidad inicial sería necesaria para que alcanzara dicha altura?<br />
M T = 6 · 10 24 kg; G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg -2 ; R T = 6,4 · 10 6 m<br />
Sol: a) Em = –3.08e10J; b) v inicial = 1394m/s<br />
<strong>Tema</strong> 5-20
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
48. Un satélite está en órbita circular alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la Tierra. Razone si la energía potencial, la<br />
energía cinética y la energía total <strong>de</strong>l satélite son mayor, menor o igual que las <strong>de</strong> otro<br />
satélite que sigue una órbita, también circular, pero <strong>de</strong> menor radio.<br />
49. La velocidad <strong>de</strong> escape <strong>de</strong> un satélite, lanzado <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> la Luna, es <strong>de</strong><br />
2370ms -1 .<br />
a) Explique el significado <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong> escape y calcule el radio <strong>de</strong> la Luna.<br />
b) Determine la intensidad <strong>de</strong>l campo gravitatorio lunar en un punto <strong>de</strong> su superficie.<br />
G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg -2 ; M L = 7,4 · 10 22 kg<br />
Sol: a) R Luna = 1760Km; b) g Luna = 1.6m/s 2 .<br />
50.<br />
a) Defina la energía potencial. ¿Para qué tipo <strong>de</strong> fuerzas pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>finirse? ¿Por qué?<br />
b) Un satélite <strong>de</strong> masa m <strong>de</strong>scribe una órbita circular <strong>de</strong> radio r alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un planeta<br />
<strong>de</strong> masa M. Determine la energía mecánica <strong>de</strong>l satélite razonadamente.<br />
51. La misión Cassini a Saturno-Titán comenzó en 1997 con el lanzamiento <strong>de</strong> la nave <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
Cabo Cañaveral y culminó el pasado 14 <strong>de</strong> enero <strong>de</strong> 2005, al posarse con éxito la cápsula<br />
Huygens sobre la superficie <strong>de</strong> Titán, el mayor satélite <strong>de</strong> Saturno, más gran<strong>de</strong> que nuestra<br />
Luna e incluso más que el planeta Mercurio.<br />
a) Admitiendo que Titán se mueve alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> Saturno <strong>de</strong>scribiendo una órbita circular<br />
<strong>de</strong> 1,2·10 9 m <strong>de</strong> radio, calcule su velocidad y periodo orbital.<br />
b) ¿Cuál es la relación entre el peso <strong>de</strong> un objeto en la superficie <strong>de</strong> Titán y en la<br />
superficie <strong>de</strong> la Tierra?<br />
G = 6,67·10 –11 Nm 2 kg –2 ; M Saturno = 5,7 · 10 26 kg; M Titán = 1,3 · 10 23 kg;<br />
R Titán = 2,6 · 10 6 m; g = 10m/s 2<br />
Sol: a) v o = 5628m/s T= 1.34 · 10 6 s = 372h; b) P Titán /P Tierra = 0.13.<br />
52. Un satélite <strong>de</strong>scribe una órbita circular alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la Tierra. Conteste razonadamente a<br />
las siguientes preguntas:<br />
a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza <strong>de</strong> atracción hacia la Tierra a lo largo <strong>de</strong> media órbita?<br />
b) Si la órbita fuera elíptica, ¿cuál sería el trabajo <strong>de</strong> esa fuerza a lo largo <strong>de</strong> una órbita<br />
completa?<br />
53. La Luna se encuentra a una distancia media <strong>de</strong> 384.000 km <strong>de</strong> la Tierra y su periodo <strong>de</strong><br />
traslación alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> nuestro planeta es <strong>de</strong> 27 días y 6 horas.<br />
a) Determine razonadamente la masa <strong>de</strong> la Tierra.<br />
b) Si el radio orbital <strong>de</strong> la Luna fuera 200.000 km, ¿cuál sería su período orbital?<br />
G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg -2<br />
Sol: a) M Tierra = 6.05 · 10 24 Kg, b) T = 8.85 · 10 5 s = 10 días 5 horas 49 minutos 30 segundos<br />
54. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:<br />
a) Si se redujera el radio <strong>de</strong> la órbita lunar en torno a la Tierra, ¿aumentaría su velocidad<br />
orbital?<br />
b) ¿Dón<strong>de</strong> es mayor la velocidad <strong>de</strong> escape, en la Tierra o en la Luna?<br />
M T = 81 M L ; R T = (11/3) R L<br />
55. La masa <strong>de</strong>l planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la <strong>de</strong> la Tierra, su diámetro 10<br />
veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la <strong>de</strong> la Tierra al<br />
Sol.<br />
a) Razone cuál sería el peso en Júpiter <strong>de</strong> un astronauta <strong>de</strong> 75 kg.<br />
b) Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l Sol,<br />
expresado en años terrestres.<br />
g = 10 m s -2 ; radio orbital terrestre = 1,5 · 10 11 m.<br />
Sol: a) P Júpiter = 9000N, b) T = 11.18 años terrestres.<br />
56. Un satélite orbita a 20.000 km <strong>de</strong> altura sobre la superficie terrestre.<br />
a) Calcule su velocidad orbital.<br />
b) ¿Cómo se modificarían sus energías cinética y mecánica si su altura fuera la mitad?<br />
G = 6,67 · 10 -11 Nm 2 kg -2 ; R T = 6370 km; M T = 6 · 10 24 kg<br />
Sol: a) v o = 3896 m/s.<br />
<strong>Tema</strong> 5-21