Tema 1 Movimiento Armónico Simple - Colegio Sagrado Corazón ...
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<strong>Tema</strong> 1<br />
<strong>Movimiento</strong> Armónico <strong>Simple</strong><br />
1.1 Conceptos de movimiento oscilatorio: el movimiento armónico simple (MAS).<br />
1.2 Ecuación general del MAS.<br />
1.3 Cinemática del MAS.<br />
1.4 Dinámica del MAS.<br />
1.5 Energía del MAS.<br />
1.6 Aplicación al caso del resorte.<br />
1.1. Conceptos de movimiento oscilatorio: el movimiento armónico simple<br />
(M.A.S.).<br />
<strong>Movimiento</strong> oscilatorio, vibratorio o periódico: movimiento caracterizado por:<br />
1. recorrer la misma trayectoria, siempre en torno a la posición de equilibrio;<br />
2. tardar el mismo tiempo (periodo) en recorrer la trayectoria;<br />
3. estar originados por las fuerzas recuperadoras.<br />
Posición de equilibrio: lugar en el que el móvil que oscila no recibe fuerza y donde se<br />
quedaría en reposo si se dejase inicialmente.<br />
Periodo: tiempo que tarda un móvil en completar una oscilación completa en los movimientos<br />
oscilatorios. Estos movimientos se llaman periódicos.<br />
Fuerza recuperadora: fuerza que origina los movimientos oscilatorios y que siempre está<br />
dirigida hacia la posición de equilibrio, donde es nula.<br />
Amortiguamiento: fenómeno consistente en que un movimiento oscilatorio se ve frenado por<br />
rozamientos hasta detenerse.<br />
<strong>Movimiento</strong> armónico simple (M.A.S.): en un movimiento oscilatorio que se caracteriza<br />
porque se puede representar matemáticamente mediante las funciones seno o coseno.
<strong>Tema</strong> 1: <strong>Movimiento</strong> Armónico <strong>Simple</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
Posición de equilibrio<br />
Figura 1.1. Dos ejemplos de movimiento oscilatorio.<br />
Ejemplos de movimientos oscilatorios son el del péndulo, el de una masa conectada a un<br />
muelle, una regla con un extremo fijo y el otro libre, el de una cuerda de un instrumento<br />
musical, las cuerdas vocales, etc. En la figura 1.1 se muestran dos ejemplos típicos de<br />
movimiento oscilatorio.<br />
1.2. Ecuación general del MAS<br />
La ecuación general de un MAS es:<br />
x(t)<br />
⎛ 2π<br />
A sen⎜<br />
t + ϕ<br />
⎝ T<br />
= 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
donde:<br />
- x(t) recibe el nombre de elongación; representa la separación del móvil de la<br />
posición de equilibrio. Se mide en metros.<br />
- A es la amplitud; representa el valor máximo de la elongación. La elongación<br />
siempre estará comprendida entre –A y +A. Se mide en metros.<br />
- T es el periodo; representa el tiempo necesario para que ocurra una oscilación<br />
completa. Su unidad son los segundos.<br />
- ϕ 0 es la fase inicial; permite calcular la posición inicial del oscilador y se mide en<br />
radianes.<br />
⎛ 2π ⎞<br />
- ⎜ t + ϕ 0 ⎟ recibe el nombre de fase; es el argumento de la función trigonométrica.<br />
⎝ T ⎠<br />
Se mide en radianes.<br />
<strong>Tema</strong> 1-2
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
x(t)<br />
6<br />
5<br />
4<br />
T<br />
3<br />
2<br />
1<br />
A<br />
x(t)<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21<br />
-1<br />
t<br />
-2<br />
A<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
-6<br />
Figura 1.2. Representación de un MAS<br />
La magnitud inversa del periodo se denomina frecuencia lineal o simplemente frecuencia (f),<br />
se mide en hercios (Hz) y representa el número de oscilaciones que tienen lugar en un<br />
segundo.<br />
1<br />
f =<br />
T<br />
Otra magnitud muy importante es la frecuencia angular o pulsación (ω), que se mide en rad/s<br />
y se relaciona con la anterior mediante la expresión:<br />
2π<br />
ω = 2π f =<br />
T<br />
Haciendo uso de estas expresiones el MAS se puede expresar de las siguientes formas siendo<br />
la última las más usual:<br />
x(t) = A sen 2π f<br />
x(t) = A sen ωt<br />
( t + ϕ0<br />
)<br />
( + ϕ )<br />
0<br />
La gráfica posición-tiempo de un MAS consiste en representar en el eje vertical la separación<br />
de la posición de equilibrio (elongación) y en el eje horizontal el tiempo, de modo que en cada<br />
instante se conoce la posición de la partícula. La figura 1.2 muestra un ejemplo de MAS donde<br />
se han tomado los valores siguientes (A=5m, T=8s, ϕ 0 =0.44rad), con lo que la ecuación del<br />
MAS resulta ser:<br />
x(t) = 5 sen(0.79 t + 0.44)<br />
<strong>Tema</strong> 1-3
<strong>Tema</strong> 1: <strong>Movimiento</strong> Armónico <strong>Simple</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
Inicialmente la partícula está en la posición:<br />
x(0) = 5 sen<br />
( 0.44) ≅ 2,13m<br />
a medida que aumenta ‘t’ se va alejando de ella hasta que llega al extremo superior donde la<br />
posición vale 5m. Después la partícula retorna y alcanza la posición de equilibrio y continúa<br />
hacia el otro extremo de su trayectoria moviéndose hacia valores negativos hasta llegar a<br />
x(t)=–5m. Los valores negativos sólo significan estar por debajo del eje o a la izquierda de la<br />
posición de equilibrio si el movimiento es horizontal. Después el móvil vuelve a la posición de<br />
equilibrio, la supera y pasa por x(t)=2.13m de manera que es ese instante ha completado un<br />
ciclo completo, es decir, está en el mismo lugar en el que empezó y va a iniciar otro ciclo<br />
idéntico al anterior. La partícula ha tardado 8 segundos en completar el ciclo.<br />
La representación matemática de un MAS también se puede expresar en función del<br />
coseno e incluso un mismo MAS admite las dos representaciones mediante los cambios:<br />
x(t) = A sen ωt<br />
x(t) = A cos<br />
( + ϕ ) = A cos⎜ωt<br />
+ ϕ − ⎟ = A cos( ωt + ϕ'<br />
)<br />
0<br />
( ωt + ϕ ) = A sen⎜ωt<br />
+ ϕ + ⎟ = A sen( ωt + ϕ'<br />
)<br />
0<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
π ⎞<br />
2 ⎠<br />
π ⎞<br />
2 ⎠<br />
0<br />
0<br />
1.3. Cinemática del MAS<br />
Se ha visto en el apartado anterior que la posición de un móvil que tiene un MAS se<br />
puede expresar de forma general mediante:<br />
x(t) = A sen( ωt + ϕ )<br />
0<br />
Sabiendo que la velocidad de cualquier móvil se puede calcular mediante la derivada<br />
de la posición y teniendo en cuenta que, al ser el movimiento es rectilíneo, queda definido por<br />
una sola coordenada:<br />
dx(t)<br />
v(t) =<br />
dt<br />
Sustituyendo y operando se obtiene:<br />
v(t) = A ω cos<br />
( ωt + ϕ )<br />
0<br />
expresión que permite calcular la velocidad del móvil en cualquier instante. Se considerarán las<br />
velocidades positivas en el sentido izquierda→derecha (o abajo→arriba) y las negativas en el<br />
contrario.<br />
<strong>Tema</strong> 1-4
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Aplicando a la expresión anterior la definición de aceleración para movimientos<br />
rectilíneos:<br />
dv(t)<br />
a(t) =<br />
dt<br />
se obtiene:<br />
a(t) = −Aω<br />
sen ωt<br />
2<br />
a(t) = −ω<br />
x(t)<br />
2<br />
( + ϕ )<br />
0<br />
El signo de la aceleración sigue el mismo criterio que el de la velocidad.<br />
Todas las expresiones anteriores cambian si la ecuación de la posición está expresada<br />
por la función coseno:<br />
x<br />
v<br />
() t = A cos( ωt + ϕ )<br />
() t = A ω sen( ωt + ϕ )<br />
a(t) = −A ω<br />
2<br />
cos<br />
0<br />
0<br />
2<br />
( ωt + ϕ ) = −ω<br />
x(t)<br />
0<br />
Como se puede observar la aceleración es proporcional a la elongación y de<br />
sentido contrario. Esta condición se tiene que cumplir en cualquier MAS.<br />
La figura 1.3 están representadas la posición, la velocidad y la aceleración de un móvil<br />
que describe un MAS. Por simplicidad se ha supuesto que la fase inicial sea nula, de manera<br />
que en el instante inicial el móvil está pasando por el origen, su velocidad es máxima y su<br />
aceleración es nula (ya que en la posición de equilibrio la fuerza recuperadora vale cero). El<br />
análisis detallado del movimiento consiste en describir en diferentes puntos el estado de<br />
vibración, es decir, la posición, velocidad y aceleración.<br />
(a) → El móvil llega a un extremo de su trayectoria [x(t)=A], y en ese punto su<br />
velocidad es cero porque se detiene para volver. La aceleración es máxima<br />
porque está en el extremo de la trayectoria, donde la fuerza recuperadora es<br />
máxima.<br />
(b) → El móvil está retornando al origen y su velocidad está aumentando. La velocidad<br />
es negativa para indicar el sentido de la misma. La aceleración está<br />
disminuyendo porque la fuerza va siendo menor conforme el móvil se aproxima a<br />
la posición de equilibrio.<br />
(c) → El móvil está pasando por el origen, su velocidad es máxima y la aceleración es<br />
nula porque no hay fuerza recuperadora.<br />
(d) → El móvil se va acercando a [–A] y su velocidad va disminuyendo porque la<br />
aceleración lleva sentido contrario a la misma. La aceleración aumenta conforme<br />
el móvil se acerca al extremo de su trayectoria.<br />
<strong>Tema</strong> 1-5
<strong>Tema</strong> 1: <strong>Movimiento</strong> Armónico <strong>Simple</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
0 2 4 6 8 10<br />
12<br />
x(t)<br />
-4<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0 2 4 6 8 10 12<br />
v(t)<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0 2 4 6 8 10 12<br />
a(t)<br />
a) b) c) d)<br />
Figura 1.3. Posición, velocidad y aceleración de un MAS<br />
Las tres gráficas representan:<br />
- la primera la elongación que oscila entre +A y –A, se mide en m;<br />
- la segunda la velocidad, que varía entre +Aω y –Aω y se mide en m/s;<br />
- la tercera es la aceleración, que toma valores entre +Aω 2 y –Aω 2 y se mide en m/s 2 .<br />
1.4 Dinámica del MAS<br />
Como ya se ha dicho, en los movimientos oscilatorios existe una fuerza recuperadora<br />
que es la que origina el movimiento. Si se aplica la ley fundamental de la dinámica al<br />
movimiento armónico simple de una partícula se obtiene lo siguiente:<br />
<strong>Tema</strong> 1-6
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
F = ma<br />
F = m<br />
2<br />
( − ω x)<br />
F = −mω<br />
2<br />
x<br />
F = − C x<br />
Del resultado obtenido se extraen las características de la fuerza recuperadora.<br />
1. Siempre apunta a la posición de equilibrio, ya que los signos de ‘x’ y ‘F’ son contrarios.<br />
2. Es nula en la posición de equilibrio (x=0) y máxima en los extremos (x=±A).<br />
3. Es directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario.<br />
x(t)<br />
7<br />
1<br />
F r 6<br />
F r máx<br />
F r<br />
x(+) ⇒ F(-)<br />
x(+) ⇒ F(-)<br />
5<br />
2<br />
F r F r<br />
x(-) ⇒ F(+) 4<br />
F r máx<br />
3<br />
t<br />
Figura 1.3. Sentido de la fuerza recuperadora<br />
1.5 Energía del MAS<br />
Se ha visto ya cómo en los movimientos oscilatorios existen fuerzas y desplazamientos,<br />
por lo tanto, las fuerzas recuperadoras deben realizar trabajo sobre la masa que oscila. Las<br />
fuerzas recuperadoras suelen ser elásticas o gravitatorias por lo tanto son conservativas, lo que<br />
significa que existe una energía potencial asociada a los movimientos del oscilador. Además, la<br />
velocidad del oscilador varía entre cero y un valor máximo, por lo que existen variaciones de<br />
energía cinética. En estos movimientos tiene lugar una transformación continua entre<br />
energía cinética y energía potencial.<br />
La energía cinética del oscilador armónico simple se puede calcular partiendo de la<br />
expresión general de la energía cinética sustituyendo la velocidad del MAS:<br />
<strong>Tema</strong> 1-7
<strong>Tema</strong> 1: <strong>Movimiento</strong> Armónico <strong>Simple</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
1<br />
Ec = mv<br />
2<br />
2<br />
1<br />
Ec = m A<br />
2<br />
1<br />
Ec = mω<br />
2<br />
2<br />
( ω cos( ωt<br />
+ ϕ ))<br />
2 2 2<br />
( A − A sen ( ωt<br />
+ ϕ ))<br />
con lo que se obtiene la expresión de la energía cinética del oscilador:<br />
1<br />
Ec = mω<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
( A − x )<br />
2<br />
0<br />
La energía mecánica del oscilador es la suma de la energía cinética más la energía<br />
potencial. Sabemos que en la posición de equilibrio (x=0), la velocidad es máxima, por lo que la<br />
energía cinética debe ser máxima y la potencial nula. En este caso:<br />
1 2<br />
Em = mω<br />
A<br />
2<br />
2<br />
La expresión de la energía potencial se obtiene a partir de la diferencia entre la<br />
energía mecánica y la cinética.<br />
Ep = Em − Ec<br />
1 2<br />
Ep = mω<br />
A<br />
2<br />
2<br />
1<br />
− mω<br />
2<br />
1 2<br />
Ep = mω<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
( A − x )<br />
La representación gráfica de las tres energías sería:<br />
E<br />
Em<br />
Ep<br />
Ec<br />
0<br />
– A -6 0<br />
x<br />
A 6<br />
Figura 1.4. Representación de las energías cinética, potencial<br />
y mecánica en un oscilador armónico.<br />
<strong>Tema</strong> 1-8
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Las transferencias de energía tienen lugar del siguiente modo: cuando la partícula se<br />
va aproximando al extremo de la trayectoria va perdiendo velocidad y, por lo tanto, la energía<br />
cinética va disminuyendo. Al mismo tiempo la energía potencial aumenta al alejarse la partícula<br />
de la posición de equilibrio, ya que la fuerza se va haciendo mayor. Cuando se alcanza el<br />
extremo la partícula se detiene y, durante ese instante, su energía cinética se anula mientras<br />
que la energía potencial es máxima. A medida que la partícula se vuelve a acercar a la posición<br />
de equilibrio aumenta su velocidad (ya que la fuerza actúa en el sentido del movimiento) y por<br />
lo tanto también aumenta su energía cinética, mientras que disminuye su energía potencial. En<br />
la posición de equilibrio, la velocidad es máxima, por lo que la energía cinética es máxima, y la<br />
energía potencial es nula porque no actúan las fuerzas recuperadoras. Durante todo el<br />
movimiento la energía está continuamente transformándose de cinética a potencial y viceversa<br />
pero el valor total permanece constante ya que no se tienen en cuenta las fuerzas de<br />
rozamiento.<br />
Posición E c E p<br />
Posición de equilibrio<br />
Máxima; al ser la velocidad<br />
máxima<br />
Nula; al no haber fuerzas<br />
Extremos Nula; al estar en reposo Máxima; al ser nula la velocidad<br />
Puntos intermedios Intermedia Intermedia<br />
En todo caso la suma E c +E p es constante ya que la energía mecánica<br />
se conserva<br />
En los osciladores amortiguados la energía no se conserva porque actúan fuerzas de<br />
rozamiento que van restando energía al sistema, y las oscilaciones son cada vez menores<br />
hasta que finalmente el oscilador se detiene.<br />
1.6 Aplicación al caso del resorte<br />
Un ejemplo muy frecuente de MAS es el caso de una masa ‘m’ conectada a un muelle<br />
de constante elástica ‘k’ que oscila en un plano horizontal. Los resultados obtenidos son<br />
plenamente aplicables al caso de la masa suspendida del muelle y las oscilaciones sean<br />
verticales.<br />
Figura 1.5 . Sistema muelle-masa oscilante<br />
<strong>Tema</strong> 1-9
<strong>Tema</strong> 1: <strong>Movimiento</strong> Armónico <strong>Simple</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
Dado que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión se prescinde del carácter<br />
vectorial y se emplearán solamente las expresiones escalares. La fuerza que ejerce el muelle<br />
sobre la masa vale:<br />
F = −kx<br />
Aplicando la ley fundamental de la dinámica se obtiene:<br />
F = −kx<br />
= ma<br />
− kx = m( −ω<br />
2<br />
x)<br />
ω =<br />
k<br />
m<br />
Aplicando la conocida relación entre pulsación y periodo se puede obtener la relación<br />
entre el periodo (T) y las características del sistema (k y m) y comprobar cómo el periodo de<br />
oscilación depende únicamente de la masa y de la constante elástica del muelle.<br />
2π k<br />
ω = = ⇒ T = 2π<br />
T m<br />
m<br />
k<br />
Para calcular la energía del oscilador se sustituye la expresión de la frecuencia angular<br />
en las expresiones obtenidas en el apartado anterior y se obtiene para la energía cinética:<br />
E<br />
c<br />
=<br />
1<br />
k<br />
2<br />
2 2<br />
( A − x )<br />
para la energía mecánica:<br />
E =<br />
m<br />
1<br />
kA<br />
2<br />
2<br />
y para la energía potencial:<br />
E =<br />
p<br />
1<br />
kx<br />
2<br />
2<br />
<strong>Tema</strong> 1-10
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Relación de ejercicios<br />
ECUACIÓN GENERAL DEL MAS<br />
1. Comprueba qué valores se obtienen en la expresión<br />
⎛ 2π ⎞<br />
x(t) = A sen⎜<br />
t⎟<br />
(S.I.)<br />
⎝ T ⎠<br />
para los valores de tiempo 0, T/4, T/2, 3T/4, y T. Explica ayudándote de una gráfica dichos<br />
valores.<br />
Sol. x(0) = 0m, x(T/4) = A, x(T/2) = 0, x(3T/4) = –A, x(T)=0m.<br />
2. Una partícula oscila con un MAS de 30cm de amplitud. Determina la fase inicial sabiendo<br />
que en el instante inicial estaba 6cm a la derecha del origen.<br />
Sol. ϕ 0 = 0.2rad<br />
3. La fase inicial de una partícula que describe un MAS es 0.35rad. Determina la amplitud si<br />
inicialmente la partícula está en la posición x(0)=0.2m.<br />
Sol. A = 0.58m<br />
4. La ecuación de un MAS es la siguiente:<br />
x(t)=20 cos (45t + 0.15) (S.I.)<br />
calcula: la amplitud, el periodo, la frecuencia lineal, la frecuencia angular y la fase inicial.<br />
Sol. A = 20m, T = 0.14s, f = 7.16Hz, ω = 45 rad/s, ϕ 0 = 0.15 rad.<br />
5. Representa en un gráfico el valor de la elongación (eje vertical) frente al tiempo (eje<br />
horizontal) para el siguiente MAS. x(t) = 3 cos(πt) (S.I.) Usa el intervalo t→[0s, 4s]<br />
6. Calcula la amplitud, el periodo, la fase inicial, la fase y la frecuencia del siguiente MAS:<br />
x(t) = 23 sen (6t+2) (S.I.)<br />
Sol. A = 23m, T = 1.05s, f = 0.95Hz, ω = 6rad/s, ϕ 0 = 2rad.<br />
7. Una partícula inicia un MAS en el extremo izquierdo de su trayectoria y tarda 0.1s en ir al<br />
centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es 20cm calcula la posición de<br />
la partícula tras 1s y 1.72s de iniciar el movimiento.<br />
Sol. x(1) = 0.2m, x(1.72) = 0.062m.<br />
CINEMÁTICA DEL MAS.<br />
8.<br />
a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al<br />
desplazamiento pero de sentido contrario.<br />
b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante<br />
inicial pasa por la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone<br />
cuándo es máxima la aceleración.<br />
9. Calcular las expresiones de la posición, velocidad y la aceleración de una partícula que se<br />
mueve con un M.A.S. de 10mm de amplitud y 20Hz de frecuencia. Calcular el valor de<br />
dichas magnitudes en el instante t=10 –2 s.<br />
Sol. x(t) = 10 –2 sen(40πt), v(t) = 0.4π cos(40πt), a(t) = –16π 2 sen(40πt),<br />
x(10 –2 ) = 0.0095m, v(10 –2 ) =0.39m/s, a(10 –2 ) = –150.1848m/s 2 .<br />
10. Una masa oscila con un M.A.S. entre dos puntos separados 5m. Si tarda 4s en ir de un<br />
extremo a otro y en el instante inicial estaba a 1.25m hacia la derecha de la posición de<br />
equilibrio, calcular las ecuaciones que rigen el movimiento, la velocidad y la aceleración.<br />
⎛ π ⎞<br />
⎛ π ⎞<br />
⎛ π ⎞<br />
Sol. x () t = 2.5 sen⎜<br />
t + 0.52⎟,<br />
v() t = 1.96 cos⎜<br />
t + 0.52⎟,<br />
a() t = −1.52 sen⎜<br />
t + 0. 52⎟ ⎝ 4 ⎠<br />
⎝ 4 ⎠<br />
⎝ 4 ⎠<br />
11. ¿Cómo cambiaría la solución del problema anterior si la masa estuviera a la izquierda de la<br />
posición inicial?<br />
<strong>Tema</strong> 1-11
<strong>Tema</strong> 1: <strong>Movimiento</strong> Armónico <strong>Simple</strong><br />
Física 2º Bachillerato<br />
12. Calcula la expresión del MAS correspondiente a un movimiento que tarda 3s en ir de un<br />
extremo al otro de la trayectoria si la distancia entre extremos es 10cm y en el instante<br />
inicial el móvil está a 3cm del extremo de la izquierda. Calcula, además, la velocidad y la<br />
aceleración máximas.<br />
⎛ π ⎞<br />
Sol. x () t = 0.05 sen⎜<br />
t − 0. 41⎟ , v máx = 0.052m/s, a máx = 0.055m/s 2 .<br />
⎝ 3 ⎠<br />
13.<br />
a) ¿Qué características debe tener una fuerza para que al actuar sobre un cuerpo le<br />
produzca un movimiento armónico simple?<br />
b) Represente gráficamente el movimiento armónico simple de una partícula dado por:<br />
y = 5 cos ( 10 t + π/2 ) (S I)<br />
y otro movimiento armónico que tenga una amplitud doble y una frecuencia mitad que el<br />
anterior.<br />
14. Demuestra que en un MAS la velocidad se puede calcular mediante la expresión:<br />
v = ω<br />
ENERGÍA DEL MAS.<br />
15. Supóngase que se duplica la amplitud de un MAS. ¿Qué ocurre con las siguientes<br />
magnitudes? Frecuencia, periodo, velocidad máxima, energía total.<br />
16. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas:<br />
a) Si la aceleración de una partícula es proporcional a su desplazamiento respecto de un<br />
punto y de sentido opuesto, el movimiento de la partícula es armónico simple.<br />
b) En un movimiento armónico simple la amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la<br />
energía.<br />
17.<br />
A<br />
a) Represente gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de una partícula<br />
que vibra con movimiento armónico simple.<br />
b) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la frecuencia del<br />
movimiento armónico simple? Razone la respuesta.<br />
18. Una partícula de 0,2Kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje x, de<br />
frecuencia 20Hz. En el instante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndose hacia la<br />
derecha, y su velocidad es máxima. En otro instante de la oscilación la energía cinética es<br />
0,2J y la energía potencial es 0,6J.<br />
a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y calcule su aceleración máxima.<br />
b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios de energía cinética y de energía<br />
potencial durante una oscilación.<br />
Sol. a) x(t) = 0.023 sen(40πt), a máx =355.43m/s 2 .<br />
19. Una partícula describe un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f.<br />
a) Represente en un gráfico la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en<br />
función del tiempo y comente sus características.<br />
b) Explique cómo varían la amplitud y la frecuencia del movimiento y la energía mecánica<br />
de la partícula al duplicar el periodo de oscilación.<br />
20. Una partícula de 50g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 10cm a un lado y<br />
a otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que<br />
existe una relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante:<br />
a = -16 π 2 x.<br />
a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del<br />
tiempo, sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por<br />
la posición x = 10 cm.<br />
b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de<br />
la posición de equilibrio.<br />
Sol. a) x(t) = 0.1 cos (4πt), v(t) = – 0.4π sen(4πt); b) Ep = 9.87·10 –3 J, Ec = 2.96·10 –2 J.<br />
2<br />
− x<br />
2<br />
<strong>Tema</strong> 1-12
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
APLICACIÓN AL CASO DEL RESORTE<br />
21. ¿Cómo se modifica la energía total de un oscilador formado por una masa conectada a un<br />
muelle si...<br />
a) ...se reduce la masa a la mitad?<br />
b) ...se reduce la constante elástica a la mitad?<br />
c) ...se reduce la amplitud a la mitad?<br />
22. Calcular para qué valor de x la energía cinética es igual a la potencial en un sistema<br />
masa-muelle.<br />
A<br />
Sol. x =<br />
2<br />
23. Un cuerpo de masa 1.4kg se conecta a un muelle de constante elástica 15Nm –1 . El sistema<br />
oscila en la horizontal con una amplitud de 5cm. Calcula:<br />
a) La energía total del sistema.<br />
b) Las energías cinética y potencial cuando pasa por los puntos P y P’ situados a 2.3cm y<br />
–2.3cm de la posición de equilibrio.<br />
c) La fuerza que ejerce el muelle en el punto P.<br />
d) El periodo de las oscilaciones.<br />
Sol. a) Em = 1.88·10 –2 J; b) Ep P = Ep P’ = 3.97·10 –3 J, Ec P = Ec P’ =1.48·10 –2 J; c) F = 0.35N;<br />
d) T = 1.92s<br />
24. Sobre un plano horizontal sin rozamiento se encuentra un bloque de masa m=2kg, sujeto al<br />
extremo libre de un resorte horizontal fijo por el otro extremo. Se aplica al bloque una<br />
fuerza de 30N, produciéndose un alargamiento del resorte de 10cm y en esta posición se<br />
suelta el cuerpo, que inicia un movimiento armónico simple.<br />
a) Escriba la ecuación de movimiento del bloque.<br />
b) Calcule las energías cinética y potencial cuando la elongación es de 5cm.<br />
Sol. a) x(t) = 0.1 cos (12.25t); b) Ec = 1.13J, Ep = 0.38J.<br />
25. Un objeto de 0,2kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de<br />
0,1πs de período y su energía cinética máxima es de 0,5J.<br />
a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica del<br />
resorte.<br />
b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el<br />
resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa<br />
doble.<br />
Sol. a) x(t) = 0.11 sen(20t); k = 80N/m.<br />
26. Un muelle (k=25N/m) conectado a una masa (m=4kg) oscila entre dos puntos separados<br />
15cm.<br />
a) Calcular la ecuación que describe el MAS si en el instante inicial la masa está 3cm a la<br />
izquierda de la posición de equilibrio.<br />
b) Calcular la energía total del sistema y el punto en el que la energía cinética y la<br />
potencial valen lo mismo.<br />
Sol. a) x(t) = 0.075 sen(2.5t – 0.41); b) Em = 0.07J, x = 0.053m.<br />
27. Un cuerpo de masa 0.5kg se conecta a un muelle, se separa 6cm de la posición de<br />
equilibrio y se suelta, oscilando con una frecuencia de 0.8Hz. Calcular:<br />
a) la constante elástica del muelle;<br />
b) el módulo de la velocidad a los 2s de iniciarse el movimiento;<br />
c) el módulo de la velocidad cuando está a 1cm del extremo derecho de la trayectoria.<br />
Sol. a) k = 12.63N/m; b) v = 0.18m/s; c) v = 0.17m/s<br />
<strong>Tema</strong> 1-13