Aritmética Entera y Modular

Aritmética Entera y Modular 

James Jerson Ortiz Vega 

Universidad del Valle 

Facultad de Ingeniería 

Matemáticas Discretas 

ARITMÉTICA ENTERA Y MODULAR, Presentación– p.1/51

Aritmética Entera 

El conjunto, que denotaremos por Z, de números 

enteros no es más que un conjunto de número 

en el que se han definido dos leyes de 

composición u operaciones, entre sus 

elementos, que verifican la siguiente lista de 

axiomas: 

Axioma 1 La suma y el producto son leyes de 

composición internas. 

∀a, b ∈ Z ⇒ a+b ∈ Z, ab ∈ Z 

Axioma 2 Ambas leyes son asociativas. 

∀a ∈ Z ⇒ a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c, a(bc)=(ab)c=abc 



Axioma 3 Existen elementos neutros 0 y unidad 1 : 

∀a ∈ Z ⇒ a+0=0+a=a, a · 1=1 · a=a 

Axioma 4 Existen elementos opuestos. Es decir: 

∀a ∈ Z ∃ − a ∈ Z : a+(−a)=−a+a=0 

Axioma 5 Ambas leyes son conmutativas : 

∀a, b ∈ Z ⇒ a+b=b+a, a · b=b · a 

Axioma 6 El producto es distributivo respecto de la suma. 

∀a, b, c ∈ Z ⇒ a · (b+c)=a · b+a · c 

Axioma 7 El producto posee la propiedad cancelativa. 

Si a ≠ 0 y a · b=a · c ⇒ b=c 



En el conjunto de los Z se define la relación de 

orden ” ≤ ” la cual cumple las siguientes 

propiedades: 

Axioma 8 Propiedad reflexiva : 

∀a ∈ Z ⇒ a ≤ a 

Axioma 9 Propiedad antisimétrica : 

a ≤ b y b ≤ a ⇒ a=b 

Axioma 10 Propiedad transitiva : 

a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c 



Axioma 11 [buen ordenación] Todo subconjunto de Z no 

vacío y acotado inferiormente (superiormente) posee un 

primer (último elemento) 

Axioma 12 

a ≤ b y c > 0 ⇒ a · c ≤ b · c y a ≤ b ⇒ a+c ≤ b+c 


División en los Enteros 

Definición Si a y b son enteros con a ≠ 0, tenemos que a 

divide a b si existe un entero c tal que b = a · c. Donde a 

divide a b, decimos que a es factor de b y b es multiplo de 

a. La notación a | b denota que a divide a b. Podemos 

escribir que a | b con a no divide a b. 

Teorema Para a, b ∈ Z con b >0, existen un únicos q, r ∈ Z 

tales que a = q · b + r, 0 ≤ r

División en los Enteros 

Sea a, b y c enteros, entonces 

Si a | b y b | c ⇒ a| c. 

Si a | b y a | c ⇒ a| (b + c). 

Si a | b ⇒ a| b · c, para todo entero c. 

m ≠ 0 ⇒ a| b si, y sólo si, m · a | m · b. 

d | a y a ≠ 0 ⇒| d | ≤ | a |. 

Falta demostraciones. 


Números Primos 

Definición Un entero p >1 se dice que es primo si sus 

únicos divisores son 1 el propio p. Nótese que 1 no es 

primo. El número primo más pequeño es el 2, y todos los 

demás primos (3, 5, 7, 11, ...) son impares. Un entero n >1 

no primo (tal como 4, 6, 8, 9, ...) se dice que es 

compuesto: si dichos enteros pueden expresarse de la 

forma n = ab donde 1


a) 

⎧ 

⎪⎨ 

p es un divisor de a 

o 

⎪⎩ 

p y a son primos entre si. 

b) p|ab ⇒ 

⎧ 

⎪⎨ 

p divide a a. 

o 

⎪⎩ 

p divide a b. 

Colorario Si p es primo y p divide a a 1 ... a k , entonces p 

divide a a i para algún i. 

[Teorema Fundamental de la Aritmtica] Cada 

entero n >1 admite una descomposición en factores 

primos. n = p e 2 

1 ... p e k 

k 

, donde p 1 , ... , p k son primos 

distintos y e 1 , ..., e k son enteros positivos. 



(por ejemplo, 200 admite la descomposición en factores 

primos 2 3 ·5 2 ). 

Teorema Existen infinitos números primos. ?. (Demostrar). 

Lema Un entero n >1 es compuesto si, y sólo si, es 

divisible por algún primo p ≤ √ n. Ejemplo : 101 es primo. 

Teorema Si m >1 y a m - 1 es primo, entonces a = 2 y m es 

primo. 

Los enteros de la forma 2 p - 1, con p primo, se denominan 

números de Mersenne, los que son primos se denominan 

primos de Mersenne. Para los primos p = 2,3,5,7 los 

números de Mersenne, M p = 3,7,31,127, (2047). 


Máximo Común Divisor 

Definición Si d | a y d | b decimos que d es un divisor 

común (o factor común) de a y b. Este es el máximo 

común divisor de a y b; siendo el único entero d que 

satisface : 

d | a y d | b (por ser d un divisor común) 

Si c | a y c | b ⇒ c ≤ d (pues d es el mayor divisor 

común de a y b). 

Teorema El máximo comn divisor de dos números enteros 

es único. 

Ejemplo : Cuál es el mcd(24,36) = ?. mcd(17,22) = ?. 



Definición Dos enteros a yb son primos relativos 

(coprimos) si mcd(a,b) =1. Por ejemplo, 10 y 21 son 

primos entre sí, pero 10 y 12 no lo son. 

En general, un conjunto de enteros a 1 , a 2 , ..., son primos 

relativos si mcd(a 1 , a 2 , ...) = 1, y son primos relativos 

mutuamente si mcd(a i , a j ) = 1 para cualesquiera i ≠ j. 

Ejemplo 10, 17, 21 o 10, 19, 24 son primos realtivos?. 

La factorización de enteros a y b es expresada como : 

a = p a 1 

1 ·p a 2 

2 ... p a n 

n , b = p b 1 

1 ·p b 2 

2 ... p b n 

n donde cada exponente 

es un entero no negativo. La factorización de los primos es 

dada entonces por : 



mcd(a,b) = p min(a 1,b 1)·p min(a 2,b 2 

... p min(a n,b n ) . donde cada 

min(x,y) representa el minimo de los números x e y. 

Ejemplo 120 y 500 

120 = 2 3·3·5, 500 = 2 2·53 , el más grande común divisor 

mcd(120, 500) = 2 min(3,2)·3min(1,0)·5min(1,3) = 2 3·30·51 = 20. 


Mímimo Común Múltiplo 

Definición Si a y b son dos enteros, un múltiplo común de 

a y b esun entero c tal que a | b y b | c. Es el único entero 

positivo m que cumple : 

a | m y b | m (ya que m es múltiplo común), y 

Si a | c y b |c con c >0, entonces m leq c (ya que 

ningún múltiplo común puede ser menor que m). Se 

denota por mcm(a,b), ejemplo mcm(15,10) = 30 

mcm(a,b) = p max(a 1,b 1)·p max(a 2,b 2 

... p max(a n,b n ) , donde 

max(x,y) denota el máximo de dos números enteros. 

mcm(2 3·35·72 , 2 4·33 ) = 2 max(3,4)·3max(5,3)·7max(2,0) = 2 4·35·72 . 


Mímimo Común Múltiplo 

Definción Si a y b dos enteros positivos con d = mcd(a,b) 

y m = mcm(a,b). Se verifica entonces que dm = ab. 

Algoritmo de la División Dados enteros a, b con b 0 

existen enteros q y r tales que a = b q + r y 0 ≤ r

Algoritmo de la División 

Otro forma de hallar el residuo y cociente es : a = 14, b = 3 

14 -3 = 11 

11 - 3 = 8 

8 - 3 = 5 

5 - 3 = 2 

El cociente es 4 y el residuo es 2. 


Algoritmo de Euclides 

El algoritmo de Euclides se describe de la forma siguiente: 

Dados dos enteros a y b cuyo máximo común divisor se 

desea hallar, y asumiendo que a · b >0, (El método 

funciona también si a y b son negativos). Basta trabajar 

con los valores absolutos de estos números, debido a que 

mcd (|a|, |b|) = mcd (a,b) se siguen los siguientes pasos: 

1) Se usa el algoritmo de la división para obtener a = 

q1b + r1 con 0 ≤ r1


2) Si r1 ≥ 0 se divide b por r1 y se producen enteros 

q2 y r2 que satisfacen b = q2 r1 + r2 con 0 ≤ r2 r2>.....≥0 no puede haber más de b enteros. Es 

decir, el proceso es finito. 



5) En estas circunstancias, el máximo común divisor 

de a y b no es más que el último residuo no cero del 

proceso anterior. 

Aplicando la sucesivas ecuaciones dadas anteriormente 

para a, b, r1, ..., r n−1 observamos que 

d=mcd(a,b)=mcd(b,r1)=mcd(r1,r2)=...=mcd(r n−2 ,r n−1 ). 

La ultima ecuación r n−2 = q n r n−1 prueba que r n−1 divide 

a r n−2 , por lo que mcd(r n−2 ,r n−1 ) = r n−1 y, por lo tanto d = 

r n−1 . 



Implementación : procedure (a, b enteros) 

x = a y = b 

while y ≠ 0 

begin 

r = x mod y 

x = y y = r 

end 

Ejemplo a = 504 y b= 396 


Aritmética Modular 

La aritmética modular se utiliza para simplificar los problemas 

teóricos-numéricos sustituyendo cada entero por el 

resto de dividirlo entre un entero positivo fijo n. Esto produce 

el efecto de sustituir el conjunto infinito Z por un conjunto 

Z n que sólo contiene n elementos. Encontraremos 

que se pueden sumar, restar y multiplicar los elementos de 

Z n (igual que en Z), aunque encontraremos dificultades en 

la división. Z n hereda muchas de las propiedades de Z pero 

mucho más fácil de trabajar con ellos. (ax = b). 



Utilización de la aritmética modular : 

Máquina binaria (8 casillas para almacenar ceros y 

unos), utiliza aritmética modular (no entera). 

Si contamos 100 días a partir de hoy, £qué día de la 

semana caerá?. 



Definición Sea a un entero y n un entero possitivo, se 

representa a mod n el residuo de a divido por n. 

La forma de definir el residuo de a mod n es un entero r tal 

que a = q·n + r con 0≤ r


Ejemplo 17 ≡ 5 (mod 6), 241 ≡ 6 (mod 9), 22051946 ≡ 2 

(mod 4) 

Teorema Sea n un entero positivo, los enteros a y b son 

congruentes modulo n si solo si existe un entero k tal que 

a = b + km. (Demostrar) 

Teorema Sea n un entero positivo, si a ≡ b (mod n) y c ≡ 

d (mod n) entonces a + c ≡ b + d (mod n) y a·c ≡ b·d 

(mod n). (Demostrar) 

Para cualquier entero n ≥ 1 se verifican las siguientes propiedades 

: 



Reflexiva a ≡ a (mod n) para cualquier entero a; 

Simétrica a ≡ b (mod n) ⇒ b ≡ a (mod n). 

Transitiva a ≡ b (mod n) y b ≡ c (mod n) ⇒ a ≡ c (mod 

n). 

Estas propiedades definen una relación de equivalencia o 

de congruencia módulo n en los Z. Queda así particionado 

Z en clases de equivalencia o congruencias disjuntas. 

[a] = {b ∈ Z : a ≡ b (mod n) } = {. . ., a − 2n, a − n, a, a + 

n, a + 2n, . . .} para a ∈ Z. 



[0] = {. . ., −2n, −n, 0,n,2n, . . .} 

[1] = {. . ., 1 − 2n, 1 −n, 1,1 + n,1 +2n, . . .} 

. 

[n - 1] = {. . ., - n - 1, -1,n - 1,2n - 1, 3n - 1, . . .} 

De forma general, se tiene que [a] = [b] si, y sólo si, a ≡ b 

(mod n). Si n = 1, n = 2, número de clases de 

equivalencia?. 

El conjunto de las n clases de congruencias módulo n lo 

denotamos por Z n y se conoce como el conjunto de los 

enteros módulo n. 



Podemos decir que Z n forma un sistema numérico con 

propiedades similares a los Z (suma, resta, multiplicación). 

[a] + [b] = [a + b], 

[a] − [b] = [a − b], 

[a] · [b] = [a · b] 

Aplicaciones de la congruencia 

Funciones Hashing : h(k) = k mod m, donde k es un 

número de registro (key) y m es el número disponible de 

localizaciones en memoria. 

Ejemplo : m = 46 y k = 946 , k = 567, k = 1362. 



Números Pseudorandom : x n+1 = (ax n + c) mod m, 

donde m es el módulo, a es el multiplicador, c el 

incremento y x 0 es la semilla, con 2≤ m

Representación de Números enteros 

Nuestra forma de escribir los números es llamada sistema 

de numeración en base 10; por tanto para escribir "2653" 

lo podemos expresar como 2 · 1000 + 6 · 100 + 5 · 10 + 3 

· 1, otra forma es 2· 10 3 + 6 · 10 2 + 5 · 10 1 + 3 · 100. 

Este sistema es llamado "decimal". Para la escritura de 

cualquier número se usan diez símbolos especiales 0, 1, 

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 llamados dígitos.En este sistema 

"decimal"se acostumbra decir que la base es diez o el 

sistema es en base diez. 

Ahora, qué ocurre si utilizamos otro número como base, 

digamos seis? 



Este nuevo sistema que se llama "sistema en base seis"el 

número 7 es "11"; 35 es "55 

2 

45 es "113". 

Es fácil ver que podemos escribir cualquier número natural 

en el sistema en base seis. Veamos como podemos 

escribir el número 451 en un sistema base seis ?, la 

representación en base seis de 451 es "2031". 

En conclusión, para escribir un número en base n, se debe 

tener la siguiente representación: 

n = a k b k + a k−1 b k−1 + ... + a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 . 

donde k es un entero, a 0 ,a 1 ,a 2 ,..., a k son enteros menores 

que b y a k ≠ 0. 



Ejemplo : Escribir el número 100 10 en los sistemas cuyas 

bases son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ejemplo : Escribir en 

notación decimal los números 10101 2 , 10101 3 , 211 4 , 126 7 . 

Otras Bases : Base 16 (0,1,2,...,10, A,B,..., F). OxFFF, 

OxF60, Base 8 (0,1, ..., 7) 777, 345. 

Se pueden convertir de una base a otra (Base 2 a 10, 

Base 10 a 2, Base 2 a 8, Base 8 a 2, Base 8 a 10, Base 10 

a 8, Base 16 a 10, ...). 

Podemos realizar operaciones (Sumar, restar, multiplicar y 

dividir) y operaciones a nivel de bits como (and, or, xor). 



Ejemplos 

(1100111) 2 = 2 6 + 2 5 + 2 2 + 2 1 + 1 = (103) 10 . 

(2AE0B) 16 = 2*16 4 + 10*16 3 + 14*16 2 + 0*16 1 + 11 = 

(175627) 10 . 

(211) 4 = 2*4 2 + 1*4 1 + 1 = (38) 10 . 

(126) 7 = 1*7 2 + 2*7 1 + 6 = (69) 10 . 

(45) 10 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2 5 + 2 3 + 2 2 + 2 0 = (101101) 2 . 


Representación de enteros 

Procedure base b expansión(n: entero) 

q:= n 

k:= 0 

while q ≠ 0 

begin 

a k := q mod b 

q := ⌊ q ⌋ b 

k := k + 1 

end (La expansión de n en base b es ( a k−1 ...a 1 a 0 ) ) 

Ejemplo : 243 10 = ? 8 


Operación de enteros 

Analizaremos el número de operaciones a nivel de bits y la 

complejidad del algoritmo. 

a= (a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 ) 2 b= (b n−1 b n−2 ...b 1 b 0 ) 2 

a 0 + b 0 = c 0 *2 + s 0 

a 1 + b 1 + c 0 = c 1 *2 + s 1 

Ejemplo : a = (1110) 2 y b=(1011) 2 

a 0 + b 0 = 0 + 1 = 0*2 + 1, c 0 = 0 y s 0 = 1 

a 1 + b 1 + c 0 = 1 + 1 + 0 = 1*2 + 0, c 1 = 1 y s 1 = 0 

a 2 + b 2 + c 1 = 1 + 0 + 1 = 1*2 + 0, c 2 = 1 y s 2 = 0 

a 3 + b 3 + c 2 = 1 + 1 + 1 = 1*2 + 1, c 3 = 1 y s 3 = 1 s 4 =c 3 = 1 

a + b = ( 11001) 2 



Procedure add(a, b: entero positivo) 

(Primero se realiza la expansión de a y b) c:= 0 

for j := 0 to n - 1 

begin 

d := ⌊ (a j + b j + c)/2 ⌋ 

s j := a j + b j + c - 2d 

c := d 

end 

s n := c 

( La expansión binaria de la suma es (s n s n−1 ...s 0 ) 2 ) 



La multiplicación de dos números enteros a y b de n bits. 

a*b = a ∑ n−1 

j=0 b j 2 j = ∑ n−1 

j=0 a(b j 2 j ) 

Para multiplicar usamos la ecuación ab j = a si b j = 1 y ab j 

= 0 si b j = 0. En cada caso multiplicamos por 2, lo que 

significa desplazar una posición a la izquierda los bits y 

adicionamos un cero a la cola. 

Ejemplo : a = 110 2 b = 101 2 

ab 0 2 0 = 110 2 *1*2 0 = (110) 2 

ab 1 2 1 = 110 2 *0*2 1 = (0000) 2 

ab 2 2 2 = 110 2 *1*2 2 = (11000) 2 

Se adiciona j cero en la cola después de cada operación. 



Procedure multiply(a, b: entero positivo) 

(Primero se realiza la expansión de a y b) 

for j := 0 to n - 1 

begin 

if b j = 1 then c j := a desplazado j posiciones 

else c j := 0 

end 

(c 0 ,c 1 ,...,c n−1 es el producto parcial) 

p := 0 

for j := 0 to n - 1 

p := p + c j ( p contiene el valor de a*b ) 


Algunos Resultados Importentes 

El máximo común divisor de dos enteros a y b puede ser 

expresado de la forma : d = as + bt donde s y t son enteros. 

En otras palabras mcd(a,b) puede ser expresado como 

una combinación lineal con coeficientes enteros a y b. 

Ejemplo mcd(6,14) = 2, 2 = 6(-2) + 14(1). 

Ejemplo d = mcd(1492,1066) escribimos 

1492 = 1*1066 + 416 

1066 = 2*426 + 214 

426 = 1*214 + 212 

214 = 1*212 + 2 

212 = 106*2 + 0. mcd(1492,1066)= d = 2. 



d = mcd(252, 198) 

252 = 1*198 + 54 

198 = 3*54 + 36 

54 = 1*36 + 18 

36 = 2*18 + 0. mcd(258,198)= d = 18. 

Usando combinación lineal tenemos que : 

18 = 54 - 1*36 

36 = 198 - 3*54 

18 = 54 - 1*36 = 54 - 1*(198 - 3*54) = 4*54 - 1*198. 

54 = 252 - 1*198 

18 = 4* (252 -1*198) - 1*198 = 4*252 - 5*198. 



Una mejora del algoritmo de Euclides y conocida como el 

Algoritmo extendido de Euclides permite, no sólo 

calcular el máximo común divisor d de dos números 

enteros a y b, sino que nos proporciona los números s y t. 

procedure AEE (a, b enteros) 

c = a , s = 0, m = 1 

d = b , t = 1, n = 0, r 

while d ≠ 0 

begin 

q = ⌊ c ⌋ d 



r = c - d*q 

c = d, d = r 

s = m - qs, m = s 

t = n - qt, n = t 

end 

end 

El Algoritmo extendido de Euclides para el calcular 

el máximo común divisor d de dos números enteros a = 

1769 y b = 551 y los números s y t. mcd(1769, 551) = 29 y 

además, que podemos expresar este número como : 



29 = 5*1769 - 16*551 

m s n t c d q r 

1 0 0 1 1769 551 3 116 

0 1 1 −3 551 116 4 87 

1 −4 −3 13 116 87 1 29 

4 5 13 −16 87 29 3 0 



Congruencia Lineal : Con el fin de dar sentido al cociente 

[a]/[b] de dos clases de congruencias [a], [b] ∈ Z n , la 

solución de la congruencia lineal ax ≡ b (mod m). 

La congruencia de la forma ax ≡ b (mod m) donde m es 

un entero positivo, a y b enteros, x una variable. Para dar 

solución a la congruencia lineal, debemos encontrar todos 

los enteros x que satisfacen la congruencia. Un método que 

usaremos describe el uso de un entero a −1 tal que a −1 a ≡ 

1 (mod m), si tal entero existe. Tal entero a −1 es el inverso 

de a modulo m. 



Teorema: Si a y m son primos relativos y m >1, entonces 

el inverso de a modulo m existe. 

Prueba : mcd(a,m) = 1, existe un entero s y t tal que : as + 

mt = 1, lo cual implica que as + mt ≡ 1 (mod m). Si mt ≡ 0 

(mod m), tenemos que as ≡ 1 (mod m). Por lo tanto, s es 

el inverso de a modulo m. 

Ejemplo : Encontrar el inverso de 3 modulo 7. mcd(3,7) = 

1, 1 = 5*3 - 1*7 mostramos que 5 es el inverso 3 modulo 7 

(-2, -9, 12). 

Con el inverso a modulo m se puede solucionar la 

congruencia ax ≡ b (mod m). 



Ejemplo : Cuál es la solución de la congruencia lineal 3x ≡ 

4(mod 7)?. mcd (3,7) = 1 el cual divide a 4 y por lo tanto 

tiene solución, luego buscamos el inverso de 3 mod 7 y 

este es 5. Multiplicamos la ambos lados de la congruencia 

por el inverso (5). 5*3 = 15 ≡ 1 (mod 7) obtenemos 

15x ≡ 5*4 (mod 7), es decir x≡1*5*4≡1*20≡1*6(mod 7). 

x ≡ 6 (mod 7), x = 6. 

Ejemplo : 4x ≡ 13 (mod 47). mcd(4,47) = 1. 

El inverso de 4 mod 47 es 12, 4*12 = 48 ≡ 1 (mod 47). 

48x ≡ 12*13 (mod 47), es decir x ≡ 3*4*13 ≡ 3*52 ≡ 3*5 

(mod 47). x ≡ 15 (mod 7), x = 15. 



Ejemplos : Cuál es la solución de la congruencia lineal 5x 

≡ 3(mod 7)?. 

Cuál es la solución de la congruencia lineal 7x ≡ 3(mod 

12)?. 

Cuál es la solución de la congruencia lineal 10x ≡ 6(mod 

12)?. 

Otro forma de hallar el inverso : Si m es primo 

x = a m−2 mod m será el inv(a,m) 

Ejemplo : Cuál es el inverso de 3 módulo 7, ( inv(3,7) ). 

Existe a*x mod m = 3*x mod 7 = 1, mcd(3,7) = 1 ⇒ Sí x = 

3 7−2 mod 7 = 5 ⇒ 5*3 = 15 mod 7 = 1. 



Calcular a i mod m cuando los valores de i y a son grandes, 

se hace tedioso pues hay que utilizar la propiedad de la 

reducibilidad repetidas veces, para esto siempre podremos 

encontrar el inverso utilizando el Algoritmo Extendido 

de Euclides. 



Teorema Chino del Residuo : Estudiaremos ahora 

soluciones de sistemas de congruencia lineal. En el siglo I 

el matemático chino Sun-Tsu estudió problemas como el 

de encontrar un número que genere los residuos 2, 3, y 2 

al dividirlo por 3, 5 y 7 respectivamente. Esto equivale a 

encontar un x tal que las congruencias 

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) 

se satisfagan simultáneamente. La solución se presenta 

módulo 105 (3*5*7), lo cual constituye una única clase de 

congruencia. 



Teorema Sean m 1 , m 2 , ..., m k enteros positivos tales que 

mcd(m i , m j ) = 1siempre que i ≠ j, y sean a 1 , a 2 , ..., a k 

enteros cualquiera. Entonces, las soluciones del sistema 

de congruencias lineales 

x ≡ a 1 (mod m 1 ), x ≡ a 2 (mod m 2 ), . . . , x ≡ a k (mod m k ) 

constituyen una única clase de congruencia módulo m, 

donde m = m 1 m 2 ...m k . 

Este resultado tiene aplicaciones en muchas áreas, incluyendo 

la astronomía : si k eventos ocurren regularmente, 

con períodos m 1 , ..., m k y con el i-ésimo evento ocurriendo 



en los tiempos x = a i , a i + m i , a i + 2m i , ... , los k eventos 

ocurren simultáneamente cada x tiempo, donde x ≡ a i 

(mod m i ) para todo i; el teorema prueba que si los 

períodos m i son primos mutuamente entre sí, cada 

coincidencia ocurre con período m. La conjunción de los 

planetas y los eclipses son ejemplos tales eventos 

regulares. 

Prueba del teorema : Para establecer la demotración 

del teorema, necesitamos mostrar que la solución existe y 

es que es única módulo m. 



Para construir la solución simultánea primero : 

M k = m m k 

para 1, 2, ... , n. M k representa el producto de 

todos los módulos excepto m k . Por el teorema sabemos 

que m i y m k no tiene factor común mas grande que 1. 

Conocemos que existe un entero y k el cual es el inverso 

de M k módulo m k , tal que 

M k y k ≡ 1 (mod m k ) 

Construimos una solucón simultánea para la suma 

x ≡ a 1 M 1 y 1 + a 2 M 2 y 2 + . . . + a n M n y n 

Debemos mostrar que x ≡ a k M k y k ≡ a k (mod m k ), para 1, 

2, ... ,n. x es solución simultánea para n congruencias. 



Ejemplo : x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) 

Primero m = 3*5*7 = 105, M 1 = m = 35, M 3 2 = m = 21, 5 

M 3 = m = 15 7 

2 es el inverso de 35 módulo 3, 35 ≡ 2 (mod 3); 1 es el 

inverso de 21 módulo 5, 21 ≡ 1 (mod 5); y 1 es el inverso 

de 15 módulo 7 15 ≡ 1 (mod 7). La solución del sistema 

de congruencia es 

x ≡ a 1 M 1 y 1 + a 2 M 2 y 2 + a 3 M 3 y 3 = 2*35*2 + 3*21*1 + 2*15*1 

(mod 105) = 233 ≡ 23 (mod 105). 23 es el entero positivo 

que es solución simultánea de las n congruencias.

Aritmética Entera y Modular

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